数学与创新思维学习教案

会计学1数学数学(shxu)与创新思维与创新思维第一页，共114页。第2页/共114页第二页，共114页。恩格斯指出：恩格斯指出：“一个民族要想站在科学一个民族要想站在科学(kxu)(kxu)的最高峰，的最高峰，就一刻也不能没有理论思维。就一刻也不能没有理论思维。”第3页/共114页第三页，共114页。”第4页/共114页第四页，共114页。KL米斯拉指出：米斯拉指出：“数学是代表人类抽象思维方面数学是代表人类抽象思维方面(fngmin)的最高成就和胜利。的最高成就和胜利。”著名的数学家著名的数学家A赛尔伯格指出：赛尔伯格指出：“数学的内容一定要重新斟酌。数学的内容一定要重新斟酌。应该增加一些应该增加一些(yxi)涉及如何发现并令涉及如何发现并令人振奋的内容。人振奋的内容。”塞尔伯格第5页/共114页第五页，共114页。及无限个形如及无限个形如n2+1n2+1的素的素数的存在性。你可以随数的存在性。你可以随意讲一些定理而不加证意讲一些定理而不加证明明第6页/共114页第六页，共114页。因此我认为(rnwi)：数学教学不但应该传授数学知识，还应该培养学生的创新思维。第7页/共114页第七页，共114页。第8页/共114页第八页，共114页。著名数学家拉普拉斯指出：著名数学家拉普拉斯指出：“分析和自然哲学中许多重大的发现，都归功于分析和自然哲学中许多重大的发现，都归功于归纳方法归纳方法牛顿二项式定理和万有引力牛顿二项式定理和万有引力(wn yu(wn yu ynl)ynl)原理，就是归纳方法的成果。原理，就是归纳方法的成果。”“在数学在数学里，发现真理的主要工具和手段是归纳和类比。里，发现真理的主要工具和手段是归纳和类比。”著名数学家高斯曾说：著名数学家高斯曾说：“我的许多发现都是靠归纳取得的。我的许多发现都是靠归纳取得的。”第9页/共114页第九页，共114页。著名数学家沃利斯著名数学家沃利斯说：说：“我把（不完全的）我把（不完全的）归纳归纳(gun)(gun)和类比当和类比当作一种很好的考察方法，作一种很好的考察方法，因为这种方法的确使我因为这种方法的确使我很容易发现一般规律很容易发现一般规律”第10页/共114页第十页，共114页。第11页/共114页第十一页，共114页。第12页/共114页第十二页，共114页。归纳(gun)的方法这是显然这是显然(xinrn)的。但是（逆向思维）的。但是（逆向思维）任何一个偶数，都能分解为两个奇素数之任何一个偶数，都能分解为两个奇素数之和吗？和吗？第13页/共114页第十三页，共114页。第14页/共114页第十四页，共114页。60=7+53（7和和53都是素数）都是素数）.一直到现在还没有一直到现在还没有(mi yu)一个人推翻它，一个人推翻它，但也还没有但也还没有(mi yu)一个人证明它。一个人证明它。第15页/共114页第十五页，共114页。第16页/共114页第十六页，共114页。1956年年王元王元 证明证明(zhngmng)了（了（3+4）；）；1957年年王元王元 证明证明(zhngmng)了（了（2+3）；）；1962年年潘承洞证明潘承洞证明(zhngmng)了（了（1+5）；）；同 年同 年王、潘 又 证 明王、潘 又 证 明(zhngmng)了（了（1+4）；）；第17页/共114页第十七页，共114页。第18页/共114页第十八页，共114页。=1+2；1972年潘、王、丁夏畦简化了陈年潘、王、丁夏畦简化了陈的证明。的证明。第19页/共114页第十九页，共114页。第20页/共114页第二十页，共114页。第21页/共114页第二十一页，共114页。第22页/共114页第二十二页，共114页。第23页/共114页第二十三页，共114页。第24页/共114页第二十四页，共114页。第25页/共114页第二十五页，共114页。宋朝宋朝(sn cho)数学家杨辉数学家杨辉1261年写的详解年写的详解九章算法九章算法*就解释了上述系数三角形的构造法，就解释了上述系数三角形的构造法，并说贾宪用此术。并说贾宪用此术。杨辉三角形杨辉三角形第26页/共114页第二十六页，共114页。.?1197531?97531,47531,3531,231,112222 他的这个发现他的这个发现(fxin)，后来被刊登在春燕杂志上。，后来被刊登在春燕杂志上。.2nn个奇数的和等于前第27页/共114页第二十七页，共114页。33333333436427161514131211103227898765218143210101 按照上述算例找出它们的一般规律按照上述算例找出它们的一般规律(gul)(gul)，并用，并用适当数学式子表示出来，而且试证明它。适当数学式子表示出来，而且试证明它。，三边形内角和)23()24(四边形内角和问题：下述结论是否问题：下述结论是否(sh fu)成成立？立？?)2(nn边形内角和等于第28页/共114页第二十八页，共114页。.)(,)1ln()(1)(xfxxfn：例xxf11)(解解2)1(1)(xxf.,)1(!3)1()(,)1(!2)1()(43)4(32xxfxxf 从而归纳出nnnxnxf)1()!1()1()(1)(第29页/共114页第二十九页，共114页。并且，有任意阶的导数设函数例)(:2xf2)()(xfxf.)()(xfn求解解因为因为32)(2)()(2)()(2)(xfxfxfxfxfxf,)(!3)()(32)(42xfxfxfxf .)(!)(1)(nnxfnxf因而归纳得到第30页/共114页第三十页，共114页。第31页/共114页第三十一页，共114页。著名天文学、数学家开普勒著名天文学、数学家开普勒说：说：“我珍视类比我珍视类比(lib)(lib)胜胜于任何别的东西，它是我最可信于任何别的东西，它是我最可信赖的老师它能揭示自然的奥秘赖的老师它能揭示自然的奥秘。”著名数学家、教育学家波利亚著名数学家、教育学家波利亚说：说：“类比是一个伟大的引路人，类比是一个伟大的引路人，求解立体几何求解立体几何(ltjh)(ltjh)问题往往有赖于平面问题往往有赖于平面几何中的类比问题。几何中的类比问题。”第32页/共114页第三十二页，共114页。1xyab;1czbyax 222121()()yyxx222212121()()()yyxxzz第33页/共114页第三十三页，共114页。第34页/共114页第三十四页，共114页。(n)(n)(n-1)(n-2)()u v)u vu v,u v)u v2u vu v ,u v)u v3u v3u v u v ,(1)u v)uvuvu v .2!kn knn nnC u 因为（从而 可以归纳出（()0.nkkv莱布尼茨公式莱布尼茨公式将他们比较可以看出将他们比较可以看出:把中右端把中右端K次幂换成次幂换成K阶导数阶导数(零阶导数零阶导数理解为函数理解为函数(hnsh)本身本身),把中把中u+v换成换成uv,n次幂换成次幂换成n阶导数既为阶导数既为.(拉格朗日拉格朗日17岁岁)牛顿二项式展开公式牛顿二项式展开公式1222332230()()2()33()Cnnkn kknkuvuvuvuuvvuvuu vuvvuvuv第35页/共114页第三十五页，共114页。第36页/共114页第三十六页，共114页。ZZ=XX+YY52=32+42Z3=x3+Y3 (X,Y,Z 为正整数)=zxy+公元972年阿拉伯人阿尔科但第（Alkhodjidi)Zn=n+Yn(n2)(Wiles 1994)第37页/共114页第三十七页，共114页。欧拉猜想欧拉猜想(cixing)：下述方程没：下述方程没有整数解：有整数解：4444wzyx没有人能够证明(zhngmng)它是对的，但是在他提出这个猜想之后的200年内大家都相信它是正确的.但是(dnsh)在1998年，诺姆艾利克斯的举出一个反例：44442061567318796760153656392682440后来人们又发现了一个更简单的例子：444442248141456021751995800今天我们能容易地用一个简单的程序寻找反例在没有计算机的年代，很难举出这样的反例！第38页/共114页第三十八页，共114页。第39页/共114页第三十九页，共114页。特别应该将牛顿特别应该将牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式(gngsh)(gngsh)、格林、格林公式公式(gngsh)(gngsh)、高斯公式、高斯公式(gngsh)(gngsh)、斯托克斯公式、斯托克斯公式(gngsh)(gngsh)进行类比。进行类比。若将牛顿若将牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式(gngsh)(gngsh)()()(aFbFdxxfba 视为，它建立了一元函数视为，它建立了一元函数f(x)f(x)在一个区间的在一个区间的定积分与其原函数定积分与其原函数F(x)F(x)在区间边界在区间边界(binji)(binji)的的值之间的联系；值之间的联系；第40页/共114页第四十页，共114页。通过通过(tnggu)类比，就可将格林公式类比，就可将格林公式LDQdyPdxdxdyyPxQ 视为，它建立了二元函数在一个平面区域视为，它建立了二元函数在一个平面区域(qy)D(qy)D上的二重积分与其上的二重积分与其“原函数原函数”在区域在区域(qy)(qy)边界边界L L的曲线积分之间的联系；的曲线积分之间的联系；第41页/共114页第四十一页，共114页。通过类比通过类比(lib)，就可将高斯公式，就可将高斯公式RdxdyQdzdxPdydzdxdydzzRyQxPS 视为，它建立了三元函数在一个空间区域视为，它建立了三元函数在一个空间区域上的三重积分与其上的三重积分与其“原函数原函数”在区域边界曲面在区域边界曲面(qmin)S(qmin)S上的曲面上的曲面(qmin)(qmin)积分之间的联系；积分之间的联系；第42页/共114页第四十二页，共114页。通过类比通过类比(lib)，就可将斯托克斯公式，就可将斯托克斯公式RdzQdyPdxdxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyRLS 视为，它建立了三元函数在一个空间曲面视为，它建立了三元函数在一个空间曲面S S上的曲面积分与其上的曲面积分与其(yq)“(yq)“原函数原函数”在区域边界曲线在区域边界曲线L L上上的曲线积分之间的联系。的曲线积分之间的联系。第43页/共114页第四十三页，共114页。若引入若引入“外微分运算外微分运算”，就可将格林公式、，就可将格林公式、高斯公式和斯托克斯公式都看作高斯公式和斯托克斯公式都看作(kn zu)(kn zu)牛顿牛顿-莱布尼茨公式的高维推广莱布尼茨公式的高维推广.并都可以用一个简并都可以用一个简单的形式统一表示为单的形式统一表示为DDwwd上的积分边界在区域的低一维空间的“微分形式”上的积分等于低一次的在区域一次的“微分形式”此公式深刻地表明：高DD第44页/共114页第四十四页，共114页。第45页/共114页第四十五页，共114页。异思维。它是一种重要的创造异思维。它是一种重要的创造性思维。性思维。用用“一题多解一题多解”，“一题多一题多变变”等方式，发散式地思考问等方式，发散式地思考问题。题。第46页/共114页第四十六页，共114页。同的方法,给出了370多个证明。第47页/共114页第四十七页，共114页。第48页/共114页第四十八页，共114页。AHKCBDEFGILFBCABD ACKH,CILEGFBA,BDLIFBC,2GFBA正方形正方形矩形矩形正方形正方形矩形矩形正方形正方形矩形矩形 ,ABD2BDLI因此因此(ync)同理同理两 式 相 加 即 得 定 理两 式 相 加 即 得 定 理(dngl)。第49页/共114页第四十九页，共114页。ABCbcaa-b弦图第50页/共114页第五十页，共114页。ababaabcc第51页/共114页第五十一页，共114页。SABED=2y)(x21DE)AD(AB21SBCE+SABC+SDCE 他证明时他证明时,只是一位议员只是一位议员,是他和其他议员讨论数学是他和其他议员讨论数学问题问题(wnt)时想出来的时想出来的,发表在新英格兰教育杂志上发表在新英格兰教育杂志上。2z212xy2 第52页/共114页第五十二页，共114页。思考思考(sko)：他的证明对否？好不好？他的证明对否？好不好？caABBCBD22 cbABACAD22 BD+AD=AB=c第53页/共114页第五十三页，共114页。高斯被誉为：高斯被誉为：“能能从九霄云外的高度按从九霄云外的高度按某 种 观 点 掌 握 星 空某 种 观 点 掌 握 星 空(xngkng)(xngkng)和深奥数和深奥数学的天才学的天才”和和“数学数学王子王子”。第54页/共114页第五十四页，共114页。欧拉勒让德欧拉勒让德第55页/共114页第五十五页，共114页。第一个证明是用归纳法；第一个证明是用归纳法；第二个证明是用二次型理论；第二个证明是用二次型理论；第三个和第五个证明是用高斯第三个和第五个证明是用高斯(o s)(o s)引理；引理；第四个证明是用高斯第四个证明是用高斯(o s)(o s)和；和；第六个和第七个证明是用分圆理论；第六个和第七个证明是用分圆理论；第八个证明是用高次幂剩余理论。第八个证明是用高次幂剩余理论。他的每一种证明思路都导致数论他的每一种证明思路都导致数论(shln)的新方向的新方向。其后。其后19世纪多位数论世纪多位数论(shln)大家如狄里克雷、大家如狄里克雷、雅可比、艾森斯坦、库默、戴德金、希尔伯特等人雅可比、艾森斯坦、库默、戴德金、希尔伯特等人都给出了新的证明并发展了该理论。都给出了新的证明并发展了该理论。第56页/共114页第五十六页，共114页。是吸引是吸引(xyn)(xyn)我去继续研究的我去继续研究的主动力，并且最能使我们有所主动力，并且最能使我们有所发现。发现。”高斯这些言行，很值高斯这些言行，很值得我们学习和深思。得我们学习和深思。第57页/共114页第五十七页，共114页。第58页/共114页第五十八页，共114页。dxxx231第59页/共114页第五十九页，共114页。xydydxydxx222 02)(22 xydydxyxy2xQyP 第60页/共114页第六十页，共114页。xydydxydxx222 )(2)(12xyxydxdy 得知它是齐次微分方程，从而用齐次微分得知它是齐次微分方程，从而用齐次微分方程的解法求出其通解；方程的解法求出其通解；第61页/共114页第六十一页，共114页。xydydxydxx222 yxyxdxdy1221 化为线化为线性微分方程，然后用线性微分方程的解法求出性微分方程，然后用线性微分方程的解法求出其通解。其通解。高等数学一题多解高等数学一题多解200200例选编例选编 （产品：手表、收音机、电视机等）（产品：手表、收音机、电视机等）第62页/共114页第六十二页，共114页。一位老太太有两个女儿。大女儿嫁给雨一位老太太有两个女儿。大女儿嫁给雨伞店老板，小女儿当了洗衣作坊伞店老板，小女儿当了洗衣作坊(zu fang)(zu fang)的女主管。于是，老太太整天忧心忡忡，逢的女主管。于是，老太太整天忧心忡忡，逢上雨天，她担心洗衣作坊上雨天，她担心洗衣作坊(zu fang)(zu fang)的衣服的衣服晾不干；逢上晴天，她怕伞店的雨伞卖不出晾不干；逢上晴天，她怕伞店的雨伞卖不出去，日子过得很忧郁。去，日子过得很忧郁。后来后来(huli)(huli)有一位聪明的人劝她：有一位聪明的人劝她：老太太老太太，你真好福气，下雨天，你大女儿家生意兴隆，你真好福气，下雨天，你大女儿家生意兴隆；大晴天，你小女儿家顾客盈门，哪一天你都；大晴天，你小女儿家顾客盈门，哪一天你都有好消息啊。有好消息啊。这么一说，老太太生活的色彩这么一说，老太太生活的色彩竟焕然一新。竟焕然一新。一则小一则小故事故事:第63页/共114页第六十三页，共114页。第64页/共114页第六十四页，共114页。（1）如果遇到某些问题顺推不行，可以考虑逆）如果遇到某些问题顺推不行，可以考虑逆推。推。（2）如果遇到某些问题直接解决）如果遇到某些问题直接解决(jiju)困难，困难，想法间接想法间接 解决解决(jiju)。（3）正命题研究过后，研究逆命题。）正命题研究过后，研究逆命题。（4）探讨可能性发生困难时，转而探讨不可能）探讨可能性发生困难时，转而探讨不可能性。性。下面举几个高等数学中的例子下面举几个高等数学中的例子:第65页/共114页第六十五页，共114页。求解求解(qi ji)微分方程：微分方程：)2(12yxydxdy若将若将 x 视为自变量，视为自变量，y 视为未知函数，解此方程就视为未知函数，解此方程就比较困难。因为它既不是可分离变量方程，也不是比较困难。因为它既不是可分离变量方程，也不是齐次方程，也不是全微分方程齐次方程，也不是全微分方程(wi fn fn chn)，也不是线性方程和伯努里方程。，也不是线性方程和伯努里方程。但是，如果利用逆向思维，即反过来将但是，如果利用逆向思维，即反过来将 x 视为视为未知函数未知函数(hnsh),y 视为自变量，将方程变为视为自变量，将方程变为)2(2yxydydx第66页/共114页第六十六页，共114页。它就是(jish)未知函数x 的线性微分方程。很容易求出其通解。)1(21222Ceyexyy第67页/共114页第六十七页，共114页。若直接若直接(zhji)解决解决困难，想法间接解困难，想法间接解决。决。?!limnnnn例例1 1：试求试求解法：用间接的方法，即转化为判断级解法：用间接的方法，即转化为判断级数数1!nnnn11)11(1limlim1enuunnnnn.!1收敛故知级数nnnn级数收敛的必要条件是通项趋向于零，于是级数收敛的必要条件是通项趋向于零，于是0!limlim nnnnnnu第68页/共114页第六十八页，共114页。解法解法(ji f)(ji f):利用夹逼利用夹逼定理定理!1!11!1 ,nnnnnnnnnnnnnnn即即11!lim0,lim0,lim0.nnnnnnnnn而故而故第69页/共114页第六十九页，共114页。第70页/共114页第七十页，共114页。欧几里得几何原本第一卷中给出了五欧几里得几何原本第一卷中给出了五个公设，其中前四个简单明了，（前三个是作个公设，其中前四个简单明了，（前三个是作图的规定，第四个是图的规定，第四个是“凡直角都相等凡直角都相等”），符），符合亚里士多德公理合亚里士多德公理“自明性自明性”的要求，唯独的要求，唯独(wi d)(wi d)第五公设不仅文字啰嗦，而且所肯定第五公设不仅文字啰嗦，而且所肯定的事实也不明显。的事实也不明显。而且只有第而且只有第5 5公设涉及到无限公设涉及到无限,这是人们经这是人们经验之外的东西验之外的东西.第71页/共114页第七十一页，共114页。两内角的一两内角的一侧相交侧相交”。lm0180 lm第72页/共114页第七十二页，共114页。l欧欧第73页/共114页第七十三页，共114页。设。设。达朗贝尔曾把第五公设的达朗贝尔曾把第五公设的证明证明(zhngmng)称为称为“几何原几何原理中的家丑理中的家丑”。第74页/共114页第七十四页，共114页。高斯高斯(o s)(1799,1813)罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基 (1826,1829)(1826,1829)鲍耶鲍耶 （18321832）第75页/共114页第七十五页，共114页。l罗罗第76页/共114页第七十六页，共114页。罗巴切夫斯基把欧氏几何的罗巴切夫斯基把欧氏几何的命题按是否依赖于第五公设命题按是否依赖于第五公设(gngsh)（平行公设（平行公设(gngsh)）分为两部分：分为两部分：不依赖于第五公不依赖于第五公设得到设得到(d do)证证明的命题（绝对几明的命题（绝对几何）。何）。依赖于第五公依赖于第五公设设(gngsh)才才能证明的命题。能证明的命题。“在一个平面上，过直线在一个平面上，过直线AB外一点至少可以作一条直线与外一点至少可以作一条直线与AB不相交不相交”。1.仅可作一条（第五公设）仅可作一条（第五公设）欧氏几何；欧氏几何；2.可作不止一条，若能由此推出与绝对几何定理相矛盾可作不止一条，若能由此推出与绝对几何定理相矛盾的命题，这就无异于证明了第五公设。的命题，这就无异于证明了第五公设。可是他不但没有发现任何矛盾，反而推导出了一连串奇妙可是他不但没有发现任何矛盾，反而推导出了一连串奇妙的结果，构成了逻辑上既无矛盾，又与绝对几何不相冲突，但的结果，构成了逻辑上既无矛盾，又与绝对几何不相冲突，但又和欧氏几何不同的新的几何体系。又和欧氏几何不同的新的几何体系。第77页/共114页第七十七页，共114页。h)h)）。）。第78页/共114页第七十八页，共114页。l黎黎第79页/共114页第七十九页，共114页。现在人们现在人们(rn men)(rn men)把把“罗巴切夫斯基几何与罗巴切夫斯基几何与黎曼几何统称为黎曼几何统称为“非欧几里得几何非欧几里得几何”。黎曼黎曼(1854)(1854)第80页/共114页第八十页，共114页。非欧几里得几何的创立是几何学上的革非欧几里得几何的创立是几何学上的革命，它不仅使数学家大开眼界，引起一些重命，它不仅使数学家大开眼界，引起一些重要数学分支的产生，它的重要意义还在于使要数学分支的产生，它的重要意义还在于使数学哲学的研究进入一个崭新的历史时期，数学哲学的研究进入一个崭新的历史时期，它使人们对空间的认识更深刻，更完全它使人们对空间的认识更深刻，更完全(wnqun)(wnqun)了。例如，它对爱因斯坦的相对了。例如，它对爱因斯坦的相对论提供了最合适的数学工具。因此许多人采论提供了最合适的数学工具。因此许多人采用非欧几何学作为宇宙的几何模型。用非欧几何学作为宇宙的几何模型。(太太平洋平洋)第81页/共114页第八十一页，共114页。欧几里得：欧几里得：三角形内角和三角形内角和=两直角两直角 ,2r=c 2r=c，a2+b2=c2 a2+b2=c2 罗巴切夫斯基：三角形内角和罗巴切夫斯基：三角形内角和 两直角两直角,2rc 2rc，a2+b2c2 a2+b2 两直角两直角 ,2rc 2rc ，a2+b2c2 a2+b2c2 后来许多几何理论都建立在改变和推广欧几后来许多几何理论都建立在改变和推广欧几里得几何概念里得几何概念(ginin)(ginin)的基础之上。例如：的基础之上。例如：18441844年格拉斯曼建立的年格拉斯曼建立的n n维仿射空间和度量空间几何。维仿射空间和度量空间几何。18711871年克来因年克来因第82页/共114页第八十二页，共114页。在在16世纪之前，数学家们就成功地找到世纪之前，数学家们就成功地找到了一般的一次、二次、三次、四次以及某些了一般的一次、二次、三次、四次以及某些特殊特殊(tsh)的五次及五次以上代数方程的根的五次及五次以上代数方程的根式解法。如：式解法。如：aacbbxcbxax24,022,12 那么，一般五次及五次以上的代数方程是否那么，一般五次及五次以上的代数方程是否也存在也存在(cnzi)(cnzi)根式解法呢？根式解法呢？第83页/共114页第八十三页，共114页。这个这个(zh ge)问题吸引着众多的数学家，他们相问题吸引着众多的数学家，他们相信这种解法一定存在，包括：卡当（信这种解法一定存在，包括：卡当（Cardano）、）、韦达韦达(Viete)、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨、拉格朗、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨、拉格朗日等等，但相继经历了两百多年的努力都未能找日等等，但相继经历了两百多年的努力都未能找到解法。到解法。韦达韦达拉格朗日拉格朗日第84页/共114页第八十四页，共114页。经过无数次的失败之后经过无数次的失败之后,直到直到19世纪初，一些数学家世纪初，一些数学家产生了逆向思维产生了逆向思维(swi)：首：首先是鲁非尼（先是鲁非尼（Ruffini）和拉）和拉格朗日，接着是阿贝尔格朗日，接着是阿贝尔(Abel)，把问题的提法倒了，把问题的提法倒了过来，去思考它的反问题：过来，去思考它的反问题：一般五次及五次以上的方程一般五次及五次以上的方程不存在根式求解法。不存在根式求解法。阿贝尔阿贝尔(Abel)第85页/共114页第八十五页，共114页。几何的三大难题：几何的三大难题：1.1.三等分任意三等分任意(rny)(rny)角角;2.2.化圆为方化圆为方;3.3.倍立方倍立方.(只用圆规、直尺只用圆规、直尺)第86页/共114页第八十六页，共114页。从已有思路的反方向去思考问题。顺推不从已有思路的反方向去思考问题。顺推不行，考虑逆推；直接解决不行，想办法间接行，考虑逆推；直接解决不行，想办法间接解决解决;正命题研究过后，研究逆命题；探讨正命题研究过后，研究逆命题；探讨可能发生困难时，考虑探讨不可能性。它有可能发生困难时，考虑探讨不可能性。它有利于克服思维定势的保守性，它对解放思想、利于克服思维定势的保守性，它对解放思想、开阔思路、发现开阔思路、发现(fxin)(fxin)新生事物，开辟新新生事物，开辟新的方向，往往能起到积极作用。的方向，往往能起到积极作用。第87页/共114页第八十七页，共114页。第88页/共114页第八十八页，共114页。桂陵（今长垣县西边），大梁桂陵（今长垣县西边），大梁(dling)（今开封）。（今开封）。大梁大梁第89页/共114页第八十九页，共114页。（诸葛亮草船借箭(co chun ji jin)、20只船）第90页/共114页第九十页，共114页。牛顿：牛顿：没有大胆的猜想，就做不出伟大没有大胆的猜想，就做不出伟大(wid)(wid)的的发现。发现。G.G.波利亚：波利亚：要想成为一个好的数学家，要想成为一个好的数学家，你必须是一你必须是一个好的猜想家。个好的猜想家。牛顿牛顿(n i dn)波利亚波利亚第91页/共114页第九十一页，共114页。数学猜想是指依据某些已知事实数学猜想是指依据某些已知事实(shsh)(shsh)和数学知识对未知量及关系所作出的一种似真和数学知识对未知量及关系所作出的一种似真的推断，它是数学研究的一种常用的科学方法，的推断，它是数学研究的一种常用的科学方法，又是数学发展的一种重要思维形式，它是科学又是数学发展的一种重要思维形式，它是科学假说在数学中的具体表现。假说在数学中的具体表现。数学猜想作为一种数学潜形态数学猜想作为一种数学潜形态,它常常是数它常常是数学理论（定理）的萌芽和胚胎，它往往是数学学理论（定理）的萌芽和胚胎，它往往是数学发展到积累了大量资料，需要进行理论整理，发展到积累了大量资料，需要进行理论整理，探索其理论内部的矛盾规律这一阶段上产生出探索其理论内部的矛盾规律这一阶段上产生出来的，数学的创造过程与其它知识的创造过程来的，数学的创造过程与其它知识的创造过程一样。你先得把观察到结果加以归纳、类比，一样。你先得把观察到结果加以归纳、类比，通过猜想通过猜想。第92页/共114页第九十二页，共114页。立方体立方体方锥方锥三棱柱三棱柱三棱锥三棱锥五棱柱五棱柱五棱锥五棱锥著名数学教育家波利亚（Polya）说：“在前辈数学家中，欧拉对我的影响最大.主要原因在于，欧拉做了一些跟他才能相当的伟大(wid)数学家从没做过的事，即他解释了他是如何发现他的结果的.对此，我是如获至宝.”欧拉关于(guny)多面体的猜想第93页/共114页第九十三页，共114页。八面体八面体“塔顶塔顶”体体截角立方体截角立方体第94页/共114页第九十四页，共114页。猜想猜想:是否面是否面(F)的数目的数目(shm)越多越多,顶点的数顶点的数(V)越多越多?第95页/共114页第九十五页，共114页。猜想猜想:是否是否(sh fu)边边(E)的数目越多的数目越多,面数面数(F)越多越多?顶点顶点(V)也越多呢也越多呢?第96页/共114页第九十六页，共114页。F+V=E+2F+V=E+2由归纳由归纳(gun)得出得出:第97页/共114页第九十七页，共114页。F+V=E+2F+V=E+2第98页/共114页第九十八页，共114页。F+V=E+2第99页/共114页第九十九页，共114页。nEE1VV1nFF (F+n-1)+(V+1)=(E+n)+2 从而从而(cng r)F+V=E+2截角立方体的推广截角立方体的推广:nEE1nVV1FF (F+1)+(V+n-1)=(E+n)+2 从而从而(cng r)F+V=E+2第100页/共114页第一百页，共114页。第101页/共114页第一百零一页，共114页。显然有显然有 V =E (*)角角(顶点顶点)=边边(棱棱)将将(*)改写改写(gixi)为为(按维数增加的顺序按维数增加的顺序)V -E +1 =1 (*)顶点数顶点数 边数边数 多边形内部面数多边形内部面数 (0维维)(1维维)(2维维)第102页/共114页第一百零二页，共114页。现将现将 F+V=E+2 改写为改写为(按维数增加的顺序按维数增加的顺序)V -E +F -1 =1 (*)顶点数顶点数 边数边数 面数面数 多面体内部多面体内部(nib)立体数立体数 (0维维)(1维维)(2维维)(3维维)比较比较(*)和和(*),它们它们(t men)多么类似多么类似.V -E +1 =1 (*)第103页/共114页第一百零三页，共114页。若：若：BxgAxfxxxx )(lim,)(lim00则：则：)(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx )(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx )0)(lim(;)(lim)(lim)()(lim0000 xgxgxfxgxfxxxxxxxx)(),(xgxf若若可导，可导，有：有：)()()()(xgxfxgxf 第104页/共114页第一百零四页，共114页。猜想（类比猜想（类比(lib)），是），是否有：否有：)()()()(xgxfxgxf )()()()(xgxfxgxf实际实际(shj)应应为：为：)x(f)x(g)x(g)x(f)x(g)x(f 2)()()()()()()(xgxgxfxgxfxgxf 第105页/共114页第一百零五页，共114页。利用利用(lyng)比较判别法，判定正项级比较判别法，判定正项级数数 1nnu的敛散性时，首先，应对该级数的敛散性时，首先，应对该级数(j sh)的敛的敛散性作一个猜想：若猜想该级数散性作一个猜想：若猜想该级数(j sh)收敛，收敛，就需要找一个（或构造一个）收敛的级数就需要找一个（或构造一个）收敛的级数(j sh)nn1nnvu,v 且且，则猜想，则猜想(cixing)正确；正确；若猜想若猜想(cixing)该级该级数发散，就需要找一个（或构造一个）数发散，就需要找一个（或构造一个）nn1nnvu,v 且且发散的级数发散的级数第106页/共114页第一百零六页，共114页。著名教育家苏霍姆林斯基说：“思维就像一棵花，它是逐渐地积累生命汁液的，只要(zhyo)我们用这种汁液浇灌它的根，让它受到阳光照射，它的花朵就会绽开。”第107页/共114页第一百零七页，共114页。我讲得不当之处,请大家谅解并指正(zhzhng).谢谢大家!第108页/共114页第一百零八页，共114页。匈牙利数学家，匈牙利数学家，1913年生于布年生于布达佩斯达佩斯(b d pi s)，1984年年获沃尔夫奖，时年获沃尔夫奖，时年71岁。岁。主要专长与成就：数论、集合、主要专长与成就：数论、集合、概论、组合数学等，特别是与美概论、组合数学等，特别是与美籍挪威数学家塞尔贝格分别独立籍挪威数学家塞尔贝格分别独立地用初等到方法成功地证明了数地用初等到方法成功地证明了数论中的素数定理。论中的素数定理。第109页/共114页第一百零九页，共114页。第110页/共114页第一百一十页，共114页。（5）四海为家，数学中心，）四海为家，数学中心，第111页/共114页第一百一十一页，共114页。第112页/共114页第一百一十二页，共114页。第113页/共114页第一百一十三页，共114页。感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)！第114页/共114页第一百一十四页，共114页。