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2021年全国中考数学真题分类解析二次函数专题一、选择填空1.（2021年湖南张家界）若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一个坐标系内的大致图象为（ ）A. B. C. D. 2.（2021年山东聊城）已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，则一次函数ybxc的图象和反比例函数y的图象在同一坐标系中大致为（ ）A. B. C. D. 3.（2021年山东东营）一次函数yax+b（a0）与二次函数yax2+bx+c（a0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）ABCD4.（2021年深圳）二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）5. （2021年山东聊城）如图，四边形ABCD中，已知ABCD，AB与CD之间的距离为4，AD5，CD3，ABC45，点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQAB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，APQ的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）A. B. C. D. 6.（2021年山东威海）如图，在菱形ABCD中，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿ACD的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿ABCD的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动设运动时间为x（s），的面积为y（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）A. B. C. D. 7.（2021年北京） 如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与与满足的函数关系分别是（ ）A. 一次函数关系，二次函数关系B. 反比例函数关系，二次函数关系C. 一次函数关系，反比例函数关系D. 反比例函数关系，一次函数关系8.（2021年江苏无锡）设P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数C1，C2图象上的点，当axb时，总有1y1y21恒成立，则称函数C1，C2在axb上是“逼近函数”，axb为“逼近区间”则下列结论：函数yx5，y3x+2在1x2上是“逼近函数”；函数yx5，yx24x在3x4上是“逼近函数”；0x1是函数yx21，y2x2x的“逼近区间”；2x3是函数yx5，yx24x的“逼近区间”其中，正确的有（）ABCD9.（2021年福建） 二次函数的图象过四个点，下列说法一定正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则10.（2021年黑龙江大庆） 已知函数，则下列说法不正确的个数是（ ）若该函数图像与轴只有一个交点，则方程至少有一个整数根若，则函数值都是负数不存在实数，使得对任意实数都成立A. 0B. 1C. 2D. 311.（2021年贵州铜仁）10已知抛物线ya（xh）2+k与x轴有两个交点A（1，0），B（3，0），抛物线ya（xhm）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（）A5B1C5或1D5或112.（2021年湖北江汉油田） 若抛物线与x轴两个交点间的距离为4对称轴为，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（ ）A. B. C. D. 13.（2021年四川南充）关于抛物线yax22x+1（a0），给出下列结论：当a0时，抛物线与直线y2x+2没有交点；若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界），则a1其中正确结论的序号是 14.（2021年四川泸州） 直线l过点(0，4)且与y轴垂直，若二次函数（其中x是自变量）的图像与直线l有两个不同的交点，且其对称轴在y轴右侧，则a的取值范围是（ ）A. a4B. a0C. 0a4D. 0a415.（2021年内蒙古呼和浩特）已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于两点（m，0），（n，0），且过A（0，b），B（3，a）两点（b，a是实数），若0mn2，则ab的取值范围是（）A0abB0abC0abD0ab16.（2021年湖南娄底） 用数形结合等思想方法确定二次函数的图象与反比例函数的图象的交点的横坐标所在的范围是（ ）A B. C. D. 17.（2021年四川资阳）已知A、B两点的坐标分别为（3，4）、（0，2），线段AB上有一动点M（m，n），过点M作x轴的平行线交抛物线ya（x1）2+2于P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点若x1mx2，则a的取值范围为（）A4aB4aCa0Da018.（2021年内蒙古包头）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点当的值最小时，的面积为_19.（2021年安徽） 设抛物线，其中a为实数（1）若抛物线经过点，则_；（2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是_20（2021年吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线yax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 二、 简答题21.（2021年安徽） 已知抛物线的对称轴为直线（1）求a的值；（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且，比较y1与y2的大小，并说明理由；（3）设直线与抛物线交于点A、B，与抛物线交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比22.（2021年湖南常德）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边与y轴交于E点，F是的中点，B、C、D的坐标分别为（1）求过B、E、C三点的抛物线的解析式；（2）试判断抛物线的顶点是否在直线上；（3）设过F与平行的直线交y轴于Q，M是线段之间的动点，射线与抛物线交于另一点P，当的面积最大时，求P的坐标23.（2021年湖南衡阳）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”例如都是“雁点”（1）求函数图象上的“雁点”坐标；（2）若抛物线上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）当时求c的取值范围；求的度数；（3）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线上一点，连接，以点P为直角顶点，构造等腰，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由24.（2021年江苏连云港） 如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知（1）求m的值和直线对应的函数表达式；（2）P为抛物线上一点，若，请直接写出点P的坐标；（3）Q为抛物线上一点，若，求点Q的坐标（2021年山东聊城） 如图，抛物线yax2xc与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是A（1，0），C（0，2），连接AC，BC（1）求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；（2）将ABC沿BC所在直线折叠，得到DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上，若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；（3）若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接BP，BPQ的面积记为S1，ABQ的面积记为S2，求的值最大时点P的坐标 参考答案：1.【答案】D【解析】【分析】先根据抛物线的开口方向确定a0，对称轴可确定b的正负，与y轴的交点可知c0，然后逐项排查即可【详解】解：抛物线开口方向向下a0，抛物线对称轴 b0抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴c0的图像过二、一、四象限，的图象在二、四象限D选项满足题意故选D2.【答案】D【解析】【分析】先通过二次函数的图像确定a、b、c的正负，再利用x=1代入解析式，得到a+b+c的正负即可判定两个函数的图像所在的象限，即可得出正确选项【详解】解：由图像可知：图像开口向下，对称轴位于y轴左侧，与y轴正半轴交于一点，可得：又由于当x=1时，因此一次函数的图像经过一、二、四三个象限，反比例函数的图像位于二、四象限；故选：D3. C【解答】解：A、二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，a0，b0，一次函数图象应该过第二、三、四象限，A不可能；B、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，a0，b0，一次函数图象应该过第一、二、四象限，B不可能；C、二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，a0，b0，一次函数图象应该过第二、三、四象限，C可能；D、二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，a0，b0，一次函数图象应该过第二、三、四象限，D不可能故选：C4.【解答】A5.【答案】B【解析】【分析】依次分析当、三种情况下的三角形面积表达式，再根据其对应图像进行判断即可确定正确选项【详解】解：如图所示，分别过点D、点C向AB作垂线，垂足分别为点E、点F，已知ABCD，AB与CD之间的距离为4，DE=CF=4，点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQAB，PQDECF，AD=5，,当时，P点在AE之间，此时，AP=t，,，因此，当时，其对应的图像为，故排除C和D；CD3，EF=CD=3，当时，P点位于EF上，此时，Q点位于DC上，其位置如图中的P1Q1，则，因此当时，对应图像为，即为一条线段；ABC45，BF=CF=4，AB=3+3+4=10，当时，P点位于FB上，其位置如图中的P2Q2，此时，P2B=10-t，同理可得，Q2P2=P2B=10-t，因此当时，对应图像为，其为开口向下的抛物线的的一段图像；故选：B6.【答案】A【解析】【分析】先证明CAB=ACB=ACD=60，再分0x1、1x2、2x3三种情况画出图形，求出函数解析式，根据二次函数、一次函数图象与性质逐项排除即可求解【详解】解：四边形ABCD是菱形，AB=BC=CD=AD，B=D=60，ABC，ACD都是等边三角形，CAB=ACB=ACD=60如图1，当0x1时，AQ=2x，AP=x，作PEAB于E，故D选项不正确；如图2，当1x2时，CP=2-x，CQ=4-2x，BQ=2x-2，作PFBC与F，作QHAB于H，故B选项不正确；当2x3时，CP=x-2，CQ=2x-4，PQ=x-2，作AGCD于G，故C不正确故选：A7.【答案】A【解析】【分析】由题意及矩形的面积及周长公式可直接列出函数关系式，然后由函数关系式可直接进行排除选项【详解】解：由题意得：，整理得：，y与x成一次函数的关系，S与x成二次函数的关系；故选A8. A.【解答】解：y1y22x7，在1x2上，当x1时，y1y2最大值为9，当x2时，y1y2最小值为11，即11y1y29，故函数yx5，y3x+2在1x2上是“逼近函数”不正确；y1y2x2+5x5，在3x4上，当x3时，y1y2最大值为1，当x4时，y1y2最小值为1，即1y1y21，故函数yx5，yx24x在3x4上是“逼近函数”正确；y1y2x2+x1，在0x1上，当x时，y1y2最大值为，当x0或x1时，y1y2最小值为1，即1y1y2，当然1y1y21也成立，故0x1是函数yx21，y2x2x的“逼近区间”正确；y1y2x2+5x5，在2x3上，当x时，y1y2最大值为，当x2或x3时，y1y2最小值为1，即1y1y2，故2x3是函数yx5，yx24x的“逼近区间”不正确；正确的有，故选：A9.【答案】C【解析】【分析】求出抛物线对称轴，根据抛物线的开口方向和增减性，根据横坐标的值，可判断出各点纵坐标值的大小关系，从而可以求解【详解】解：二次函数的对称轴为：，且开口向上，距离对称轴越近，函数值越小，A，若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；B,若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；C，若，所以，则一定成立，故选项正确，符合题意；D，若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；故选：C10.【答案】C【解析】【分析】对于：分情况讨论一次函数和二次函数即可求解；对于：分情况讨论a0和a0时方程的根即可；对于：已知条件中限定a0且a1或a0，分情况讨论a1或a0时的函数值即可；对于：分情况讨论a0和a0时函数的最大值是否小于等于0即可【详解】解：对于：当a0时，函数变为，与只有一个交点，当a0时，故图像与轴只有一个交点时，或，错误；对于：当a0时，方程变为，有一个整数根为，当a0时，方程因式分解得到：，其中有一个根为，故此时方程至少有一个整数根，故正确；对于：由已知条件得到a0，且a1或a0当a1时，开口向上，对称轴为，自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大， ，离对称轴的距离一样，将代入得到，此时函数最大值小于0；当a0时，开口向下，自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，时，函数取得最大值为，a0，最大值，即有一部分实数，其对应的函数值，故错误；对于：a0时，原不等式变形为：对任意实数不一定成立，故a0不符合；a0时，对于函数，当a0时开口向上，总有对应的函数值，此时不存在a对对任意实数都成立；当a0时开口向下，此时函数的最大值为，a0，最大值，即有一部分实数，其对应的函数值，此时不存在a对对任意实数都成立；故正确；综上所述，正确，故选：C11.C【解答】解：抛物线ya（xh）2+k的对称轴为直线xh，抛物线ya（xhm）2+k的对称轴为直线xh+m，当点A（1，0）平移后的对应点为（4，0），则m4（1）5；当点B（3，0）平移后的对应点为（4，0），则m431，即m的值为5或1故选：C12.【答案】A【解析】【分析】设抛物线与轴的两个交点坐标分别为，且，根据“两个交点间的距离为4，对称轴为”建立方程可求出的值，再利用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得顶点的坐标，然后根据关于轴的对称点的坐标变换规律即可得【详解】解：设抛物线与轴的两个交点坐标分别为，且，由题意得：，解得，则抛物线与轴的两个交点坐标分别为，将点代入得：，解得，则抛物线的解析式为，顶点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标是，故选：A13.【解答】解：由,消去y得到，ax24x10,16+4a,a0,的值可能大于0，抛物线与直线y2x+2可能有交点，故错误抛物线与x轴有两个交点,44a0,a1,抛物线经过(0,1),且x1时，ya10,抛物线与x轴的交点一定在（0,0）与（1,0）之间故正确，抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界），0,a0,10,解得，a1,故正确，故答案为：14.【答案】D【解析】【分析】由直线l：y=4，化简抛物线，令，利用判别式，解出，由对称轴在y轴右侧可求即可【详解】解：直线l过点(0，4)且与y轴垂直，直线l：y=4，二次函数（其中x是自变量）图像与直线l有两个不同的交点，又对称轴在y轴右侧，0a4故选择D15.C【解答】解法1、函数是一个二次项系数为1的二次函数，此函数的开口向上，开口大小一定，抛物线与x轴交于两点（m，0），（n，0），且0mn2，a0，b0，ab0，（ab）2a2+b22ab0（ab时取等号），即a2+b22ab（当ab时取等号），当ab时，ab才有可能最大，二次函数过A（0，b），B（3，a）两点，点A，B关于抛物线的对称轴对称，即抛物线的对称轴为直线x1.5，抛物线与x轴交于两点（m，0），（n，0），且0mn2，抛物线的顶点越接近x轴，ab的值越大，即当抛物线与x轴只有一个交点时，是ab最大值的分界点，当抛物线与x轴只有一个交点时，此时mn，抛物线的解析式为y（x）2x23x+，ab，ab（）2，0ab，故选：C16.【答案】D【解析】【分析】在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，来判断出交点横坐标所在的范围【详解】解：在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，如下图：由图知，显然，当时，将其分别代入与计算得；，此时反比例函数图象在二次函数图象的上方，故选：D17.C【分析】如图，由题意，抛物线的开口向下，a0求出抛物线经过点A时a的值即可【解答】解：如图，由题意，a<0当抛物线ya（x1）5+2经过点A(3,5)时,a,观察图象可知，当抛物线与线段AB没有交点或经过点A时,a<0故选：C18.【答案】419.【答案】 . 0 . 220.2+221.【解答】解：把A（2，4）代入yax2中得44a，解得a1，yx2，设点C横坐标为m，则CDCE2m，点E坐标为（m，42m），m242m，解得m1（舍）或m1+CD2m2+2故答案为：2+2详解】解：（1）由题意得：（2）抛物线对称轴为直线，且当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大当时，y1随x1的增大而减小，时，时，同理：时，y2随x2的增大而增大时， 时， （3）令 令 AB与CD的比值为22.【详解】解：（1）平行四边形，B、C、D的坐标分别为A（3，10），设直线AB的解析式为y=kx+b，则 ，解得，直线AB的解析式为y=2x+4，当x=0时，y=4，则E的坐标为（0,4），设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c， ，解得，过B、E、C三点的抛物线的解析式为；（2）顶点是在直线上，理由如下：F是的中点，F（8,10），设直线EF的解析式为y=mx+n，则，解得，直线EF的解析式为y=x+4，抛物线的顶点坐标为（3，），=3+4，抛物线的顶点是否在直线上；（3），则设P点坐标为（p，），直线BP的解析式为y=dx+e，则 ，解得，直线EF的解析式为y=x+，当x=0时，y=，则M点坐标为（0，），AB/FQ ，设FQ的解析式为y=2x+f，则10=28+f，解得f=-6，FQ的解析式为y=2x-6 ，Q的坐标为（0，-6），|MQ|=+6，SPBQ= SMBQ+ SPMQ= =当p=9时，的面积最大时，P点坐标为（9，）23.【详解】解：（1）联立，解得或 即：函数上的雁点坐标为和（2） 联立得 这样的雁点E只有一个，即该一元二次方程有两个相等的实根， 将代入，得解得， 对于，令有解得 过E点向x轴作垂线，垂足H点，EH=，MH= 为等腰直角三角形，（3）存在，理由如下：如图所示：过P作直线l垂直于x轴于点k，过C作CHPK于点H设C（m，m），P（x，y） CPB为等腰三角形，PC=PB，CPB=90，KPB+HPC=90，HPC+HCP=90，KPB=HCP，H=PKB=90，CHPPKB，CH=PK，HP=KB，即当时， 如图2所示，同理可得：KCPJPB KP=JB，KC=JP设P（x，y），C（m，m）KP=x-m，KC=y-m，JB=y，JP=3-x，即解得令解得或如图3所示，RCPTPBRC=TP，RP=TB设P（x，y），C（m，m）即解得令解得 此时P与第种情况重合综上所述，符合题意P的坐标为或或【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，图形与坐标，等腰三角形的判定与性质，二次函数的综合运用，理解题意和正确作图逐步求解是解题的关键24.【详解】（1）将代入，化简得，则（舍）或，得：，则设直线对应的函数表达式为，将、代入可得，解得，则直线对应的函数表达式为（2）如图，过点A作BC，设直线与y轴的交点为G，将直线BC向下平移 GC个单位，得到直线，由（1）得直线BC的解析式为，直线AG的表达式为，联立，解得：（舍），或，由直线AG的表达式可得，直线的表达式为，联立，解得：，（3）如图，取点，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作于点，AD=CD，又，又，则，设，由，则，即，解之得，所以，又，可得直线对应的表达式为，设，代入，得，又，则所以25.【详解】解；（1）抛物线过A（1，0），C（0，2），解得：，抛物线的表达式为 设 AC 所在直线的表达式为，解得，AC 所在直线的表达式为；（2）点D不在抛物线的对称轴上，理由是抛物线的表达式是，令y0，则，解得，点B坐标为（4，0），又，将ABC沿 BC折叠，点 A 的对应点D一定在直线AC上如下图，延长AC 到点D，使 DCAC，过点D作DEy轴，垂足为点E又，DEOA1，点D的横坐标为1，抛物线的对称轴是直线，点D不在抛物线的对称轴上；（3）设过点 B，C的直线表达式为，点C 坐标是（0，2），点B 坐标是（4，0），过点 B，C的直线表达式为过点 A 作x 轴的垂线交BC的延长线于点M，则点M坐标为，如下图，过点P作x轴的垂线交BC于点N，垂足为点H，设点P 坐标为，则点N坐标为，若分别以PQ，AQ为底计算BPQ与BAQ的面积，则BPQ与BAQ的面积的比为，即，当m2时，的最大值为，将m2代入，得，当取得最大值时，点P坐标为（2，3）【点睛】本题考查了用待定系数法求函数表达式，二次函数图像与性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握二次函数的图像与性质及相似三角形的判定与性质是解决本题的关键
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