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一、向量及其有关概念一、向量及其有关概念向量向量向量的几何表示向量的几何表示向量的模向量的模零向量零向量单位向量单位向量平行向量平行向量共线向量共线向量相等向量相等向量相反向量相反向量有向线段有向线段二、向量的运算二、向量的运算向量的运算向量的运算几几 何何 方方 法法坐坐 标标 方方 法法加法加法减法减法实数与向量的积实数与向量的积加法加法减法减法实数与向量的积实数与向量的积平面向量数量积平面向量数量积几何方法：几何方法：OABOABCBAOABOAOBOBOAOCOBOABA)0(aa)0(a实数与向量的积的实质是：实数与向量的积的实质是：向量的伸缩变换向量的伸缩变换。MOBAab|cos|OAOMbaba坐标方法坐标方法设向量设向量），（），（2211yxbyxa则则ababa),(2121yyxx),(2121yyxx）（11,yx说明：两个向量和说明：两个向量和与差的坐标分别等与差的坐标分别等于这两个向量相应于这两个向量相应坐标的和与差。坐标的和与差。说明：实数与向量的积的坐标说明：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。相应坐标。),(2121yyxxba说明：两个向量的数量积等说明：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。于它们对应坐标的乘积的和。向量运算律向量运算律1、实数与向量的积运算律、实数与向量的积运算律aa)(1）（）（aaa）（2baba）（）（32、平面向量数量积的运算律、平面向量数量积的运算律cbcacbabababaabba)(3()()()(2(1）（思考：你能将此思考：你能将此运算律用坐标表运算律用坐标表示出来吗？示出来吗？例例1判断下列命题及其逆命题的真假：判断下列命题及其逆命题的真假：1、若、若|=|，则，则 与与 是共线向量；是共线向量；2、若、若 ，则，则 在在 方向上的投影是方向上的投影是 ；3、若、若 ，则，则 ；4、若、若 ，则，则 且且ababaabba1|ba1ba0a00a例例2判断下列运算律的正误判断下列运算律的正误)()(30,200,01cbacbacabcbbabbaa、例例3 3设设 ，若，若 ，求，求 的值。的值。),2(),7,(),2,3(cbacba2，解：由已知条件，得：解：由已知条件，得：ba2=（3 3，2 2）-2-2（，7 7）=（3-23-2，-12-12）=（-2-2，）3-2 3-2=-2=-2 =-12=-12=，=-12=-1225三、两个重要定理三、两个重要定理 1、向量共线充要条件、向量共线充要条件 向量向量 与非零向量与非零向量 共线的充要条件是有且只有共线的充要条件是有且只有一个实数一个实数，使得使得baab 2、平面向量基本定理、平面向量基本定理 如果如果 是同一个平面内的两个不共线向量，是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面的任一个向量那么对于这一平面的任一个向量 ，有且只有一对实，有且只有一对实数数 ，使，使21,eea21,2211eea注意：这是判断两个向量共线（平行）的重要方法。注意：这是判断两个向量共线（平行）的重要方法。四、数量积的主要应用四、数量积的主要应用1、计算向量的模：、计算向量的模：aaaaaa,2坐标表示：坐标表示：22yxa2、两点间距离公式：、两点间距离公式：221221)()(yyxxAB3、计算两个向量的夹角：、计算两个向量的夹角：babacos5、向量共线（平行）充要条件：、向量共线（平行）充要条件：ab4 4、向量垂直充要条件：、向量垂直充要条件：0ba坐标表示：坐标表示：x x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 1=0=0坐标表示：坐标表示：x1x2+y1y2=0注意：这两个充要条件分别是判断两个向量（直线）注意：这两个充要条件分别是判断两个向量（直线）垂直或平行的重要方法之一。垂直或平行的重要方法之一。例例4 4已知已知 =（1 1，2 2），），=（-3-3，2 2），当），当k k为何为何值时，值时，（1 1）与与 垂直；垂直；（2 2）与与 平行？平行时它们是同向平行？平行时它们是同向还是反向？还是反向？abbak ba3bak ba3解：由已知解：由已知 =（k-3k-3，2k+22k+2），），=（1010，-4-4）（1 1）当当 时，这两个向量垂直。时，这两个向量垂直。由（由（k-3k-3）10+10+（2k+22k+2）（）（-4-4）=0=0，得：得：k=19k=19bak ba30)3()(babak（2）当）当 与与 平行时，存在唯一实数平行时，存在唯一实数，使使 =，由（由（k-3，2k+2）=（10，-4）bak ba3bak)3(ba422103kk解得解得31,31k反向反向五、两个重要公式五、两个重要公式1、定比分点坐标公式、定比分点坐标公式2、平移公式、平移公式112121yyyxxx222121yyyxxx中点公式中点公式1kyyhxx设设P（x，y），），P1（x1，y1），），P2（x2，y2），），且且 ，则，则21PPPP如果点如果点P（x1，y2）按向量按向量平移至平移至 ，则，则),(kha),(yxP例例5设设P1（2，-1），），P2（0，5），），且且P在直线在直线P1P2上使上使 ，求点，求点P 的坐标。的坐标。212PPPP例例6（1）函数）函数 的图象经过的图象经过怎样的平移，可以得到函数怎样的平移，可以得到函数 的图象？的图象？（2）函数）函数 的图象经过怎样的的图象经过怎样的平移，可以得到函数平移，可以得到函数 的图象？的图象？3)2(log2xyxy2log2)3cos(xyxycos六、正弦定理及其变形公式六、正弦定理及其变形公式RCcBbAa2sinsinsinCRcBRbARasin2,sin2,sin2RcCRbBRaA2sin,2sin,2sincbaCBA:sin:sin:sinCabBcaAbcSABCsin21sin21sin21六、余弦定理及其变形公式六、余弦定理及其变形公式CabbacBcaacbAbccbasin2sin2sin2222222222变形变形abcbaCcabacBbcacbA2cos2cos2cos2222222221、完成试卷（九）、（十），星期三上交、完成试卷（九）、（十），星期三上交2、看试卷（七），明天讲解、看试卷（七），明天讲解
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