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归纳猜想型问题考点一:猜想数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构,然后通过横比(比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。1(巴中）观察下面的单项式：a，-2a2，4a3，-8a4，根据你发现的规律，第个式子是1a; ；第个数据应为。(-）n-1xn.(南平）给定一列按规律排列的数:，则这列数的第6个数是().C.D.（黔东南州）观察规律:1=2;+=22;1+=3；1+7=42;，则1+35+1的值是11409.4(沈阳)有一组等式:1+2+232，22+62=72,+412=13,42+2+20=12请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第8个等式为2+2+2=73.5.（衡阳）观察下列按顺序排列的等式：a,a2=，a3，a4，试猜想第n个等式(n为正整数):= （南宁）有这样一组数据a1,a2,a3，n,满足以下规律:a=，a,a3，,a=(n2且n为正整数），则2016的值为-1(结果用数字表示).7 (广安)已知直线=（n为正整数)与坐标轴围成的三角形的面积为S,则S+S2+3+2016=8(大庆)已知，,，依据上述规律,计算+的结果为。将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 56 7890 按照以上排列的规律，第5行从左到右的第个数为3；第行（n3）从左到右的第3个数为（用含n的代数式表示)10.请看杨辉三角（），并观察下列等式（2):根据前面各式的规律，则考点二:猜想图形规律根据一组相关图形的变化规律,从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照,仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。1.(牡丹江)用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有小三角形的个数是3n4(娄底）如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n个图形需2n+1根火柴棒.3(江西）观察下列图形中点的个数,若按其规律再画下去,可以得到第n个图形中所有点的个数为_（用含n的代数式表示）（呼和浩特）如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴,依此规律,第11个图案需_根火柴(遂宁）为庆祝“六一”儿童节,某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示：按照上面的规律，摆第(）图,需用火柴棒的根数为6n+2.6(深圳)如图,每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形；按这样的规律下去，第6幅图中有个正方形. 如图所示，下列图形是将正三角形按一定规律排列,则第个图形中所有正三角形的个数为_8. 如图是一组有规律的图案，图案1是由4个组成的，图案是由7个组成的，那么图案3是由个组成的,依此,第个图案是由个组成的.(2重庆(B),8，分)下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图1中有个黑色正方形,图2中有个黑色正方形，图3中有8个黑色正方形,图中有11个黑色正方形,，依此规律，图1中黑色正方形的个数是（)A32 B.29 C D260（2015重庆()，8，分)下列图形中都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的,其中第1个图形中一共有6个小圆圈,第2个图形中一共有9个小圆圈,第3个图形中一共有12个小圆圈,，按此规律排列,则第7个图形中小圆圈的个数为（）A B.24 .7 011 将图1的正方形作如下操作：第1次分别连接对边中点如图2，得到5个正方形；第2次将图左上角正方形按上述方法再分割如图3,得到9个正方形，以此类推,第n次操作后，得到正方形的个数是.12. 如图是一组有规律的图案,它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成,第(1）个图案有4个三角形，第（2)个图案有7个三角形,第（3)个图案有1个三角形，依此规律,第n个图案有个三角形（用含n的代数式表示）13.平移小菱形可以得到美丽的“中国结”图案,下面四个图案是由小菱形平移后得到的类似“中国结”的图案，按图中规律,第20个图案中，小菱形的个数是_个.14. 将一个面积为1的等边三角形挖去连结三边中点所组成的三角形（如图1)后,继续挖去连结剩余各个三角形三边中点所成的三角形(如图、图)如此进行挖下去，第4个图中，剩余图形的面积为_,那么第n(为正整数）个图中,挖去的所有三角形的面积和为_(用含n的代数式表示)考点三:几何图形计算变化规律随着数字或图形的变化,它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一定规律的。比如,在几何图形按特定要求变化后,只要本质不变，通常的规律是“位置关系不改变，乘除乘方不改变,减变加法加变减,正号负号要互换”。这种规律可以作为猜想的一个参考依据。1.(张家界)如图，OP=1，过P作POP，得OP1；再过P1作PPOP且PP=1，得P2=；又过P2作P2P3O2且PP3=，得O3=2；依此法继续作下去,得OP2016=.2.（黑龙江）已知等边三角形ABC的边长是2,以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边三角形B1C1,再以等边三角形1C1的C1边上的高AB为边作等边三角形,得到第二个等边三角形B2C2，再以等边三角形AB2C2的边BC2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边AB3;，如此下去,这样得到的第个等边三角形ABn的面积为）n3.(牡丹江）如图,边长为1的菱形BC中,DAB=60连结对角线A，以C为边作第二个菱形ACE，使FAC=60.连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEG使HAE按此规律所作的第个菱形的边长是)1.4（六盘水）把边长为1的正方形纸片ABC放在直线m上，边在直线m上，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转0,此时,点O运动到了点1处(即点处)，点C运动到了点1处,点B运动到了点B1处，又将正方形纸片1C1绕B1点,按顺时针方向旋转90,按上述方法经过次旋转后，顶点O经过的总路程为，经过61次旋转后，顶点O经过的总路程为.5.如图,点P1(x1,)，(，y2），P(n，y)均在反比例函数(x0)的图象上,若P1A1,P2AA2，P2A,，nn-1An都是等腰直角三角形,斜边A1，AA2，A3，n-1An都在x轴上(n是大于或等于2的正整数）,则点P的坐标是_,点的坐标是_.(用含的代数式表示）6.二次函数的图象如图，点A0位于坐标原点，点，A2，A3An在y轴的正半轴上,点B，B2，B3Bn在二次函数位于第一象限的图象上，点C1,C2,3在二次函数位于第二象限的图象上,四边形B1AC1,四边形ABA2C，四边形2B3A3C3四边形An-BnAnC都是菱形，A0B1A1=1B22=A23A3-1BAn0，菱形An1C的周长为.（15浙江湖州，1，4分)已知正方形BC1的边长为，延长C1D1到,以A11为边向右作正方形C1C2D2，延长C2D2到A2，以AC2为边向右作正方形A2C3D3,（如图所示)，以此类推,若AC1，过点，D2,D,D10都在同一直线上，则正方形9C0的边长是_.8. 如图,将正ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为的小正三角形，若，则正ABC的边长是_.9.设AB的面积为1，如图1将边C，A分别2等分，B1,AD1相交于点O,AB的面积记为S1；如图将边BC,A分别3等分，E,AD1相交于点O,O的面积记为2；,依此类推,则Sn可表示为_(用含n的代数式表示，其中n为正整数).考点四:坐标系和表格中的规律1.(聊城）如图，在平面直角坐标系中,一动点从原点O出发，按向上，向右，向下,向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点1(,1）,A（1,1)，3(1，0)，A4（2,0),那么点An（n为自然数）的坐标为_(用n表示）。2(抚顺)如图,在平面直角坐标系中,点A、C的坐标分别是(-1，1）、(0，2)、（2,0),点P在y轴上,且坐标为(，-)点关于点A的对称点为1,点P1关于点的对称点为P2，点关于点C的对称点为P3，点P3关于点A的对称点为4，点P关于点B的对称点为5，点关于点C的对称点为P6，点P6关于点的对称点为7,按此规律进行下去,则点01的坐标是_。3. 如图,在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“”方向排列,如(,0)，(2,0)，(2，1),(，1）,(,2)，(2,2）,，根据这个规律,第01个点的坐标为_（湖州)将连续正整数按以下规律排列，则位于第7行第7列的数x是_。5.(恩施州）把奇数列成下表,根据表中数的排列规律，则上起第8行,左起第6列的数是_。6. 如图,抛物线=2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A，A2，A，,An.将抛物线=x2沿直线:y=x向上平移,得一系列抛物线，且满足下列条件：抛物线的顶点M1,2,3,，M都在直线l:y上；抛物线依次经过点A1，A,A，An.则顶点M 06的坐标为（_，_）.课后练习考点一:猜想数式规律1(205湖北黄冈中学自主招生）两列数如下：，10,1,16，1，2,25,28,37,11，15,19,23，27,31，35，3第1个相同的数是7,第10个相同的数是()A1 B7 C911(205浙江宁波)一列数b0，b1,b，具有下面的规律，b2n+1=bn，b2n+2=n+bn1,若b0=，则2 05的值是(）A1 B6 C.9 D193（2015山东德州）一组数1，1,2,x,5，满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为（）A. B.9 C13 14(213山东日照)如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律，图形中与m,n的关系是()M=mnB.M=n（1) C.M=n1 D.m(1)(24贵州毕节)观察下列一组数：,，,它们是按一定规律排列的,那么这一组数据的第n个数是_. 人民公园的侧门口有9级台阶，小聪一步只能上1级台阶或2级台阶,小聪发现当台阶数分别为级、2级、级、4级、5级、6级、7级逐渐增加时,上台阶的不同方法的种数依次为、2、5、8、13、2这就是著名的斐波那契数列那么小聪上这9级台阶共有_种不同方法.7.（04江苏扬州,1，3分)设1，a214是从1，0,1这三个数中取值的一列数,若a1+a2+a01469,(a1+1)2(a1)+(a01+1)2=4 001,则a1，a2,，a2 014中为0的个数是_. 数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式,作出了一个著名的猜想.=2+2; 2=57；633; 14=31=+7；8=5； 1313+1;0=5+518=5+371; 通过这组等式,你发现的规律是_(请用文字语言表达）9. 观察下列等式:第一个等式:；第二个等式：;第三个等式：；第四个等式：.按上述规律,回答以下问题：（1）用含的代数式表示第个等式：_；（2）式子_10. 下面是一个按某种规律排列的数阵:1 第1行 第2行3 第3行4 第4行根据数阵排列的规律，第n（是整数，且3）行从左向右数第n-个数是_.考点二:猜想图形规律1（015广东深圳,9,4分)观察下列图形,它们是按一定规律排列的,依照此规律,第5个图形有_个太阳. 观察下列图形规律：当n时,图形“”的个数和“”的个数相等.3. 希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.例如：他们研究过图1中的1,3,6,10，,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地，称图2中的1,4，9，16这样的数称为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是(）A89 B124C1 22D1 374.如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2,4，2n，,请你探究出前n行的点数和所满足的规律.若前n行点数和为9,则n=()A.29 B3 C31 D.25图（)是一个水平摆放的小正方体木块，图（2)、（3)是由这样的小正方体木块叠放而成,那么图（)中的小正方形有_块;按照这样的规律继续叠放下去,至第七个叠放的图形，此时第七个图形中小正方体木块总数应是_块6.（重庆）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成,其中第个图形有棵棋子，第个图形一共有6棵棋子，第个图形一共有16棵棋子，,则第个图形中棋子的颗数为（)A.51B.70C76D.81(2012浙江丽水,10,3分）小明用棋子摆放图形来研究数的规律,图1中棋子围成三角形,其颗数，6,9，12，称为三角形数，类似地,图2中的4，8,12,16,称为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是()图1 图2A2 010 B2 12 C214 D.20168(201重庆,分）下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形,第二个图形中共有8个三角形,第三个图形中共有14个三角形,依此规律,第五个图形中三角形的个数是()A.22 B. C2 D.289.观察下列图形，它们是按一定的规律排列的,依照此规律,第0个图形中的“”有(）A.7个0个C.6个.85个10. 观察下列一组图形中点的个数，其中第一个图形中共有4个点,第个图形中共有10个点，第个图形中共有19个点，按此规律第6个图形中共有点的个数是().38 B46C D.6411. 如图,AB的三个顶点和它内部的点P1，把BC分成3个互不重叠的小三角形；ABC的三个顶点和它内部的点P1、P，把AB分成5个互不重叠的小三角形；BC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P，把A分成7个互不重叠的小三角形；ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、3、Pn，把AB分成个互不重叠的小三角形12. 观察下列图形的构成规律，依照此规律,第10个图形中共有个“”.13. 如图是由火柴棒搭成的几何图案,则第个图案中有根火柴棒(用含n的代数式表示）1.“梅花朵朵迎春来”,下面四个图形是由小梅花摆成的一组有规律的图案，按图中规律,第个图形中小梅花的个数是.考点三：几何图形计算变化规律1. 如图，在1BC1中，已知117，B1=4,A1C1=5，依次连接B1C1三边中点,得A2B2C2，再依次连接A22C2的三边中点得A33,，则A5BC5的周长为_2. 已知RtBC中,=90,C=1,A=4，如图所示把边长分别为x1，x2,3，,x的个正方形依次放入ABC中,则第n个正方形的边长xn=_(用含的式子表示,1)3. 如图,正B的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正ABC1,BC与ABC1公共部分的面积记为S1;再以正AB1C1边B1C1上的高B为边作正AB2C2，A1C与B2公共部分的面积记为S2；，以此类推，则S=_.(用含n的式子表示）4. 如图，在矩形CD中,已知AB4,BC=3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转0至图位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90至图位置，以此类推,这样连续旋转215次后，顶点在整个旋转过程中所经过的路程之和是_。5. 如图，将ABC沿着过A中点D的直线折叠,使点A落在C边上的A1处,称为第1次操作,折痕E到B的距离记为h1;还原纸片后,再将D沿着过A中点1的直线折叠,使点A落在D边上的2处，称为第2次操作,折痕DE到BC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去,经过第215次操作后得到的折痕D204201到B的距离记为h5,到C的距离记为h205若h=1,则25的值为_.6. 如图,已知1，A2，A3，,n，An+1是x轴上的点,且O=A1=A2A3AnAn+1=1，分别过点A1，A2，A，n,An+1作x轴的垂线,交直线y=x于点1，B2，B3，,，B+，连接A1B2,B1A，A2B3，B2A3，,nBn+,Bnn+1，依次相交于点P，2，3,Pn.11P1,AB2P2，3B33，AnBPn的面积依次记为S1，2,S，n，则为(）A.BD7. 如图,已知点1，A2，A均在直线上,点B1,B2，B均在双曲线上，并且满足:AB1x轴,B1A2轴，A2B2x轴，BA3y轴，,AnBnx轴,BnA1y轴，记点A的横坐标为an（为正整数）.若,则a2015.8. 如图,在平面直角坐标系x中,已知(,0）,B(0，4）将BO绕点A顺时针旋转到AB1C的位置，点B,O分别落在点1，处，点1在x轴上，再将AB1C1绕点1顺时针旋转到A1BC2的位置，点C2在x轴上,将A1B1C绕点C顺时针旋转到AB2C2的位置,点A2在轴上，依次进行下去，则点B2016的横坐标为_考点四:坐标系和表格中的规律.(5江苏淮安第18题)将连续正整数按如下规律排列：第列第2列第3列第4列第5列第1行1234第行8765第3行910112第4行1413第5行1110若正整数56位于第行，第列，则=。2. 将自然数按以下规律排列：第一列第二列第三列第四列第五列第一行1 4 5 1第二行2 6 15第三行8 74第四行011 1 3第五行表中数在第二行第一列,与有序数对（2,）对应,数5与(1,3)对应，数与(3，）对应,根据这一规律,数2 1对应的有序数对为_3如图，在一个单位长度为1的方格纸上，A1A2A3,A3A4A5，5A6A7,，均是斜边在x轴上、且斜边长分别为2，4，6，的等腰直角三角形若A1AA3的顶点坐标分别为A1(2，0）,A（1，-1)，A(0，0）,则依图中所示规律,A2 01的坐标为_4. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,），我们把点P（y1,x+1)叫做点的伴随点.已知点A的伴随点为A2,点A2的伴随点为A3，点3的伴随点为A4,这样依次得到点A1,A2,3,，n.若点A1的坐标为(3,1)，则点A的坐标为_，点204的坐标为_;若点A的坐标为(a，b），对于任意的正整数n，点An均在轴上方,则a，应满足的条件为_5. 如图所示,在平面直角坐标系中,半径均为个单位长度的半圆O1，O2，O3,组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度,则第2 015秒时,点的坐标是()A(2 014，0)B(2 015,)C（2 1，)（2 16，0）- 14 -
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