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上饶市重点中学2019届高三六校第二次联考文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意得到关于的不等式，求解不等式可得a的范围.【详解】由题意可得：，求解不等式有：，即实数的取值范围是.故选：C.【点睛】本题主要考查交集的定义与运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.已知复数，在复平面内对应的点关于虚轴对称，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先确定复数，然后利用除法法则确定的值即可.【详解】由题意可得：，则.故选：D.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.某班有40位同学，座位号记为01，02，40，用下面的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的5位同学的座位号，选取方法是从随机数表第一行的第11列和第12列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个志愿者的座位号是（ ）A. 09B. 20C. 37D. 38【答案】B【解析】【分析】由随机数表确定所选取的号码数目，据此即可确定选出来的第5个志愿者的座位号.【详解】由题意结合随机数表可得由左到右依次选取的两个数字为：17,37,23,35,20,故选出来的第5个志愿者的座位号是20.故选：B.【点睛】本题主要考查随机数表及其应用，属于基础题.4.执行如图所示的程序框图，若输出的S为4，则输入的x应为A. B. 16C. 或8D. 或16【答案】D【解析】试题分析：程序框图执行的是函数的求值，所以当时可得到或考点：程序框图及分段函数求值5.若双曲线的实轴长是虚轴长的两倍，则（ ）A. B. C. 4D. 2【答案】C【解析】【分析】首先由双曲线方程确定的值，然后结合题意确定的值即可.【详解】双曲线方程即：，则，由于实轴长是虚轴长的两倍，故，即.故选：C.【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质及其应用，属于中等题.6.已知角的终边经过点，若点在抛物线的准线上，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先确定抛物线的准线方程，然后结合三角函数的定义可得的值.【详解】由题意可得抛物线的准线方程为，即，则，.故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的准线方程，三角函数的定义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.已知命题，；命题，则下列形式的命题中为真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先确定命题p和命题q的真假，然后考查所给的复合命题的真假即可.【详解】当时，不满足，故命题是假命题；当时，故命题是真命题；考查所给的选项：A. 假命题；B. 是真命题；C. 是假命题；D. 是假命题；故选：B.【点睛】本题主要考查命题真假的判定，复合命题真假的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.如图所示是某几何体的三视图，则它的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先确定几何体的空间结构特征，然后利用表面积公式求解其表面积即可.【详解】由三视图可知，该几何体是一个圆柱和圆锥组成的组合体，其中圆柱的底面半径，圆柱的高，圆锥的底面半径，圆柱的高，则圆柱的母线长,故组合体的表面积：.故选：C.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和9.函数是（ ）A. 最小正周期为偶函数B. 最小正周期为的奇函数C. 最小正周期为奇函数D. 最小正周期为的偶函数【答案】A【解析】【分析】由函数的解析式考查函数的奇偶性和函数的周期性确定正确选项即可.【详解】易知函数的定义域为,且，故函数是偶函数，结合选项，故函数的最小正周期为.故选：A.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判定，三角函数的周期性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.有一种“三角形”能够像圆一样，当作轮子用.这种神奇的三角形，就是以19世纪德国工程师勒洛的名字命名的勒洛三角形.这种三角形常出现在制造业中（例如图1中的扫地机器人）.三个等半径的圆两两互相经过圆心，三个圆相交的部分就是勒洛三角形，如图2所示.现从图2中的勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出阴影部分面积和整个勒洛三角形的面积，根据面积型概率公式求解即可.【详解】设圆半径为R，如图，易得ABC的面积为，阴影部分面积为 ,勒洛三角形的面积为若从勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为 故选D.【点睛】本题考查了与面积有关的几何概型的概率的求法，关键是求出相对应的面积，根据概率的计算公式 求解即可.11.已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先确定函数的奇偶性，然后对不等式进行恒等变形，结合函数图像确定不等式的解集即可.【详解】由函数的解析式可得函数为奇函数，绘制函数图像如图所示，则不等式即，即，观察函数图像可得实数的取值范围是.故选：A.【点睛】本题主要考查分段函数的性质，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.己知，若轴上方的点满足对任意，恒有成立，则点纵坐标的最小值为（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】由题意首先利用平面向量的坐标运算法则确定纵坐标的解析式，然后结合二次函数的性质确定点P纵坐标的最小值即可.【详解】设，则，故，恒成立，即恒成立，据此可得：，故，当且仅当时等号成立.据此可得的最小值为，则的最小值为.即点纵坐标的最小值为2.故选：D.【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，二次函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.曲线在点处的切线方程为_.【答案】【解析】【分析】首先求得导函数而确定切线的斜率，然后利用点斜式求解切线方程即可.【详解】由函数的解析式可得：，则所求切线的斜率，切线方程为，即.【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.14.若，满足约束条件，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】首先绘制可行域，然后结合目标函数的几何意义确定目标函数取得最小值处点的坐标，最后求解最小值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数其几何意义表示点与可行域内的点连线的斜率，据此可知目标函数在点A处取得最小值，联立直线方程：，可得点的坐标为：，据此可知目标函数的最小值为：.故答案为：【点睛】(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义15.在中，角，的对边分别为，若，且，则_.【答案】【解析】【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合大边对大角确定的值即可.【详解】由结合正弦定理可得：，故，由可得，故为锐角，则故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.已知椭圆的方程为，为椭圆的左右顶点，为椭圆上不同于.的动点，直线与直线，分别交于，两点，若，则过，三点的圆必过轴上不同于点的定点，其坐标为_.【答案】【解析】【分析】利用椭圆的性质首先证明，然后结合题意设出直线方程，由点的坐标确定圆的直径所在的位置，最后由直线垂直的充分必要条件可得点D的坐标.【详解】首先证明椭圆的一个性质：椭圆，点是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上异于上的一个点，则.证明如下：设，由于点是椭圆上的两点，故，两式作差可得：，此时 .故结论成立.回到本题，由题意可知：，设直线PA的方程为：，则，设直线PB的方程为：，则，故，故为外接圆的直径，设所求的点为，则：，即，解得：，(舍去).综上可得：所求点的坐标为：.【点睛】本题主要考查椭圆中的定值问题，外接圆方程的性质，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题（解答应写出必要计算过程，推理步骤和文字说明，共70分）17.已知等比数列的各项均为正数，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设.求的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)由题意首先求得数列的公比和首项，然后利用等比数列通项公式确定其通项公式即可；(2)首先确定数列的通项公式，然后利用裂项求和的方法可得数列的前项和【详解】（1）设数列的公比为，由，可得，则，数列各项均为正数，即，由可得.解得，.（2）由（1）知 ， ，.【点睛】本题考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的18.如图，在中，分别为，的中点，将沿折起到的位置.（1）证明：平面；（2）若，求四棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)由题意利用线面垂直的判定定理结合平行线的性质即可证得题中的结论；(2)由几何关系结合(1)中的结论分别求得底面直角梯形的面积和四棱锥的高，利用棱锥体积公式即可确定四棱锥的体积.【详解】（1），分别为，的中点，平面，平面.（2）在中.由，得，由三角形中位线的性质可得：,结合勾股定理可得：,.在中，点到的距离为， .【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，四棱锥体积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.十九大提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫，我省某帮扶单位为帮助定点扶贫村真正脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植脐橙，并利用互联网电商进行销售，为了更好销售，现从该村的脐橙树上随机摘下100个脐橙进行测重，其质量分布在区间（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：（1）按分层抽样的方法从质量落在，的脐橙中随机抽取5个，再从这5个脐橙中随机抽2个，求这2个脐橙质量至少有一个不小于400克的概率；（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的脐橙种植地上大约还有100000个脐橙待出售，某电商提出两种收购方案：A.所有脐橙均以7元/千克收购；B.低于350克的脐橙以2元/个收购，其余的以3元/个收购请你通过计算为该村选择收益较好的方案.（参考数据：（）【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】(1)由题意首先确定各个区间内脐橙的个数，然后列出所有可能的取值，利用古典概型计算公式确定所求的概率值即可；(2)由题意分别计算两种方案的收益值，选择收益高的方案即可.【详解】（1）由题得脐橙质量在和的比例为3：2.应分别在质量为和的脐橙中各抽取3个和2个.记抽取质量在的脐橙为，质量在则从这5个脐橙中随机抽取2个的情况共有以下10种：，其中质量至少有一个不小于400克7种情况，故所求概率为（2）方案好，理由如下：由频率分布直方图可知，脐橙质量在的频率为同理，质量在，的频率依次为0.16.0.24.0.3，0.2，0.05若按方案收购：脐橙质量低于350克的个数为个脐橙质量不低于350克的个数为55000个收益为元若按方案收购：根据题意各段脐橙个数依次为5000，16000.24000，30000，20000.5000.于是总收益为 （元）方案的收益比方案的收益高，应该选择方案.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，古典概型计算公式，利用概率统计的方法选择合理方案的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.设抛物线 的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于.（1）求的值；（2）如图，过点 作互相垂直的两条直线交抛物线于，且，分别是，的中点，求面积的最小值.【答案】（1）2；（2）4【解析】【分析】(1)由题意得到关于p的方程，解方程即可确定p的值；(2)设出直线AB的方程，联立方程得到点M的坐标，利用垂直关系得到点N的坐标，由几何特征可得面积关于斜率的函数，最后利用均值不等式即可确定面积的最小值.【详解】（1）由已知结合抛物线的定义可得.即.（2）由（1）知，抛物线方程为，直线斜率存在，设的直线方程为，则由与抛物线的方程消得：， .当且仅当，即时，面积有最小值为4.【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.21.已知函数，.（1）求单调区间；（2）若在上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)首先求得函数解析式，然后结合函数的解析式确定函数的单调性即可；(2)构造函数，原问题等价于恒成立，结合(1)的结论分类讨论即可确定的取值范围.【详解】（1），由得，由得，分别在区间上单调递增.在区间上单调递减.（2）令 ，则 ，由（1）知在上单调递增，.当，即时，.在上单调递减，令，得，即时，存在.使，当时，当时，在上单调递增，在上单调递减. ，不能恒成立.综上：.【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的最值，导数研究恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，.（1）当时，判断曲线与曲线的位置关系；（2）当曲线上有且只有一点到曲线的距离等于时，求曲线上到曲线距离为的点的坐标.【答案】（1）相切；（2）和【解析】【分析】(1)将C的参数方程化为普通方程，将l的极坐标方程化为直角坐标方程，考查圆心到直线的距离与半径的大小即可确定直线与圆的位置关系.(2)由题意可得，圆心到直线的距离为，据此确定过圆心与直线平行的直线方程，联立直线方程与圆的方程即可确定点的坐标.【详解】（1）圆的方程为（为参数）.圆的普通方程为.直线的极坐标方程为，.直线的直角坐标方程为：.圆心到直线距离为.直线与圆相切.（2）圆上有且只有一点到直线的距离等于.即圆心到直线的距离为.过圆心与直线平行的直线方程为：.联立方程组，解得，故上到直线距离为的点的坐标为和【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23.己知函数.（1）求不等式的解集；（2）若有解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】(1)由函数的解析式零点分段求解不等式的解集即可；(2)结合(1)的结论首先确定函数的最小值，然后求解绝对值不等式即可确定实数的取值范围.【详解】（1）当时，.解得：.当时，恒成立，即，当时，.解得：.综合得不等式的解集为：.（2）由（1）得，.所以不等式有解等价于解得：或【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想- 18 -
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