弹性力学板弯曲(ding课件

弹性力学板弯曲(ding课件Chapter 12 Bending of Thin Plates.Classical Solutions第十二章第十二章 薄板弯曲问题。经典解答。薄板弯曲问题。经典解答。学习指导学习指导 1.杆件受到纵向（平行于杆轴）荷载的作用杆件的拉压问题；杆件受到横向（垂直于杆轴）荷载的作用梁的弯曲问题。与此相似，薄板受到纵向（平行于板面）荷载的作用平面应力问题；薄板受到横向（垂直于板面）荷载的作用薄板的弯曲问题。薄板的弯曲，可以认为是梁的弯曲的推广，是双向弯曲问题。但不能将薄板的弯曲看成是纵、横梁弯曲的叠加。弹性力学板弯曲(ding课件Chapter 12 Bending of Thin Plates.Classical Solutions第十二章第十二章 薄板弯曲问题。经典解答。薄板弯曲问题。经典解答。学习指导学习指导 2.与平面问题和空间问题不同的是，除了前述的弹性力学的五个基本假定之外，在薄板的弯曲问题中，根据内力和变形的特征，又提出了三个计算假定，用以简化空间问题的基本方程，并从而建立了薄板的弯曲理论。NOTES:与材料力学相似。弹性力学板弯曲(ding课件Chapter 12 Bending of Thin Plates.Classical Solutions第十二章第十二章 薄板弯曲问题。经典解答。薄板弯曲问题。经典解答。学习指导学习指导 3.薄板弯曲问题属于空间问题。薄板弯曲理论，是从空间问题的基本方程和边界条件出发，应用薄板的三个计算假定进行简化，并按位移法导出薄板弯曲问题的基本方程和边界条件。最后归结的基本位置函数（挠度w(x,y)）和相应的方程、边界条件。薄板问题也属于二维问题。4.对于矩形薄板，基本的解法是纳维法和莱维法。5.对于圆板问题，类似于极坐标中的平面问题，可以建立相应的圆板弯曲问题的方程。对于轴对称圆板的弯曲问题，其通解已经解出。弹性力学板弯曲(ding课件Chapter 12 Bending of Thin Plates.Classical Solutions第十二章第十二章 薄板弯曲问题。经典解答。薄板弯曲问题。经典解答。9.1 有关概念和基本假定有关概念和基本假定9.2 弹性曲面的微分方程弹性曲面的微分方程9.3 薄板横截面上的内力薄板横截面上的内力9.4 边界条件边界条件 扭矩的等效剪力扭矩的等效剪力9.5 四边简支矩形薄板的重三角级数解四边简支矩形薄板的重三角级数解9.6 矩形薄板的单三角级数解矩形薄板的单三角级数解9.7 矩形薄板的差分解（矩形薄板的差分解（*）9.8 圆形薄板的弯曲圆形薄板的弯曲弹性力学板弯曲(ding课件Chapter 12 Bending of Thin Plates.Classical Solutions第十二章第十二章 薄板弯曲问题。经典解答。薄板弯曲问题。经典解答。基本要求：基本要求：熟悉薄板问题的有关概念及计算假设，弹熟悉薄板问题的有关概念及计算假设，弹性曲面的微分方程和薄板横截面上的内力。性曲面的微分方程和薄板横截面上的内力。熟悉薄板问题的边界条件，四边简支矩形熟悉薄板问题的边界条件，四边简支矩形薄板的重三角级数解答，圆形薄板的弯曲和圆薄板的重三角级数解答，圆形薄板的弯曲和圆形薄板的轴对称弯曲。形薄板的轴对称弯曲。弹性力学板弯曲(ding课件薄板是一种常见的工程构件形式机械、航空和土建工程中应用广泛特殊形式小挠度薄板弹性力学板弯曲(ding课件弹性力学板弯曲(ding课件弹性力学板弯曲(ding课件弹性力学板弯曲(ding课件Section 9.1 Introduction and Assumption 9.1 有关概念与计算假设工程构件中板的形式多样工程构件中板的形式多样根据几何形状和变形分类：根据几何形状和变形分类：板板中面为平面中面为平面壳壳曲面曲面小挠度的弯曲薄板小挠度的弯曲薄板薄板薄板宽度与厚度的比值在宽度与厚度的比值在15以上。以上。弹性力学板弯曲(ding课件 9.1 有关概念与计算假设 A plate is a body bounded by two closely spaced parallel planes and one or more prismatical surfaces normal to the planes.板：两个平行面和垂直这两个平面的拄面或棱柱面所围板：两个平行面和垂直这两个平面的拄面或棱柱面所围 成的物体，称为平板，或简称板。成的物体，称为平板，或简称板。弹性力学板弯曲(ding课件 Plate faces（板面）（板面）two closely spaced parallel planes 板面：板面：这两个平行面称为板面。Plate edges（板边）（板边）prismatical surfaces normal to the plate faces.侧面或板边：侧面或板边：这个柱面或棱柱面称为侧面或板边。弹性力学板弯曲(ding课件 Plate thickness-the distance between the two plate faces.It is denoted by.板的厚度：板的厚度：两个板面之间的距离（）Plate middle plane（中面）（中面）The plane parallel to the faces of the plate and bisecting the thickness is called the middle plane of the plate.中面：中面：平分厚度的平面称为板的中间平面，或简称板的平分厚度的平面称为板的中间平面，或简称板的 中面。中面。弹性力学板弯曲(ding课件 Thin plate（薄板）（薄板）-a b min(a,b)/15 Thick plate（厚板）（厚板）薄板和厚板：薄板和厚板：如果板的厚度远远小于中面的最如果板的厚度远远小于中面的最小尺寸，这个板就称为薄板，否则，就称为厚小尺寸，这个板就称为薄板，否则，就称为厚板。板。弹性力学板弯曲(ding课件弹性力学板弯曲(ding课件弹性力学板弯曲(ding课件弹性力学板弯曲(ding课件弹性力学板弯曲(ding课件 Coordinate system（坐标系）-x and y are in the middle plane and z axis is perpendicular to the middle plane.The system is a right hand system.xyz弹性力学板弯曲(ding课件薄板的小挠度弯曲理论 小挠度弯曲理论小挠度弯曲理论：只讨论这样的薄板，它虽然只讨论这样的薄板，它虽然很薄，但仍然具有相当的弯曲刚度，因而它的很薄，但仍然具有相当的弯曲刚度，因而它的挠度远小于它的厚度挠度远小于它的厚度 因此，位移和形变是微小的基本假设仍然因此，位移和形变是微小的基本假设仍然符合。符合。大挠度弯曲理论：大挠度弯曲理论：如果薄板的弯曲刚度较小，如果薄板的弯曲刚度较小，以致挠度于厚度属于同阶大小，则须另行建立以致挠度于厚度属于同阶大小，则须另行建立所谓所谓大挠度弯曲理论。大挠度弯曲理论。薄模：薄模：如果薄板的弯曲刚度很小，以致挠度远如果薄板的弯曲刚度很小，以致挠度远大于厚度，则薄板称为大于厚度，则薄板称为薄模薄模。弹性力学板弯曲(ding课件荷载（Loads）Longitudinal load in the middle plane and Transverse load 当薄板受一般荷载时，总是可以把每个荷载分解当薄板受一般荷载时，总是可以把每个荷载分解为两个荷载为两个荷载.纵向荷载：纵向荷载：平行于中面的平行于中面的荷载荷载；横向荷载：横向荷载：垂直中面的垂直中面的荷载荷载。弹性力学板弯曲(ding课件 1.Longitudinal load in the middle plane（纵向荷载）-All the external forces are parallel to the faces of the plate and distributed uniformly over the thickness.-plane stress problem.纵向荷载纵向荷载：可以认为他们沿薄板厚度均匀分布，因而可以认为他们沿薄板厚度均匀分布，因而他们所引起的应力、形变和位移可以按平面应力问题他们所引起的应力、形变和位移可以按平面应力问题进行计算，如第二章至第六章所述。进行计算，如第二章至第六章所述。2.Transverse load（横向荷载）-They are perpendicular to the middle plane-plate bending problem.横向荷载横向荷载：将使薄板弯曲，他们所引起的应力、形变将使薄板弯曲，他们所引起的应力、形变和位移，可以按薄板弯曲问题进行计算。和位移，可以按薄板弯曲问题进行计算。Loads（荷载）弹性力学板弯曲(ding课件 Deflection（挠度）-the displacement of a point on the middle plane in the direction of z,w(x,y,0),is called the deflection of the point.挠度：挠度：中面内各点在垂直于中面方向上的位移。中面内各点在垂直于中面方向上的位移。Small deflections（小挠度）-the deflection is much smaller than the thickness.W(x,y,0)/5 Only small deflections are considered here.xMwEI 薄板弹性曲面：薄板弹性曲面：当薄板弯曲时，中面所弯成的曲面。当薄板弯曲时，中面所弯成的曲面。qwD4 xqxxM22dd弹性力学板弯曲(ding课件Basic Assumptions基本假设 Assumption stated in Sec.1.3 1.The body is continuous,perfectly elastic,homogeneous and isotropic.连续的、完全弹性的、均匀的和各向同性的。连续的、完全弹性的、均匀的和各向同性的。2.The displacements and strains are small.位移和形变都是微小的。位移和形变都是微小的。The deflection of the plate is small.薄板的挠度也是微小的。薄板的挠度也是微小的。Thin plates 弹性力学板弯曲(ding课件Assumption 1：is neglected,since they are small.薄板假设薄板假设1 1：垂直中面方向的线应变：垂直中面方向的线应变 可以不计。可以不计。z00zwz),(yxww 即即：横向位移：横向位移w(x,y)只是只是x,y的函数，不随的函数，不随z变化。变化。因此因此，在中面的任一根法线上各点都具有相同的横向，在中面的任一根法线上各点都具有相同的横向位移，也就等于挠度。位移，也就等于挠度。z弹性力学板弯曲(ding课件薄板假设薄板假设2 2：应力分量：应力分量 远远小于其余三个应远远小于其余三个应力分量，因而是次要的，它们所引起的形变可以不计力分量，因而是次要的，它们所引起的形变可以不计注意：注意：这这3个次要应力分量本身是维持平衡所必须的，不个次要应力分量本身是维持平衡所必须的，不能不计。能不计。zyzxz和,0,0yzxz0,0ywzvxwzuxwzuywzv弹性曲面的法线。保持不伸缩，并且称为板弯曲时，可见中面的法线在薄和由于00,0zyzxz思考：梁弯曲时中性轴的概念？弹性力学板弯曲(ding课件薄板假设薄板假设2 2：应力分量应力分量 远远小于其余三个应远远小于其余三个应力力分量，因而是次要的，它们所引起的形变可以不计。分量，因而是次要的，它们所引起的形变可以不计。注意：注意：这这3个次要应力分量本身是维持平衡所必须的，不个次要应力分量本身是维持平衡所必须的，不能不计。能不计。zyzxz和,xyxyxyyyxxEEE)1(2)(1)(1 薄板小挠度问题中的物理方程与薄板平面应力问题的薄板小挠度问题中的物理方程与薄板平面应力问题的物理方程相同（但两种问题中应力和形变分量沿厚度方物理方程相同（但两种问题中应力和形变分量沿厚度方向的分布是不同的）。向的分布是不同的）。弹性力学板弯曲(ding课件薄板假设薄板假设3 3：薄板中面内的各点都没有平行中面的位移，即：薄板中面内的各点都没有平行中面的位移，即：0)(,0)(00zzvuyuxvyvxuxyyx,因为：0)(,0)(,0)(000zxyzyzx 也就是说：也就是说：中面的任意一部分，虽然弯曲成弹性曲面的一部分，但中面的任意一部分，虽然弯曲成弹性曲面的一部分，但它在它在xy面上的投影性状却保持不变面上的投影性状却保持不变。在材料力学里分析直梁的弯曲时，也采用了与上相似的计算假设，只在材料力学里分析直梁的弯曲时，也采用了与上相似的计算假设，只是在这里，是在这里，薄板的中面代替了梁的轴线，薄板的弹性曲面代替了直梁的弹薄板的中面代替了梁的轴线，薄板的弹性曲面代替了直梁的弹性曲线，性曲线，薄板的双向弯曲（实际上是薄板的双向弯曲（实际上是连弯带扭连弯带扭）代替了直梁的单向弯曲。）代替了直梁的单向弯曲。弹性力学板弯曲(ding课件9.2 Differential Equation for Bending of Thin Plates9.2 弹性曲面的微分方程弹性曲面的微分方程 Basic unknown function w(x,y)薄板的小挠度弯曲问题是按位移求解的，只取挠度薄板的小挠度弯曲问题是按位移求解的，只取挠度w(x,y)作为基作为基本未知数。本未知数。Fifteen equations for spatial problems-one equation in term of for plate bending problem.根据空间问题的基本方程和边界条件，以及上述的三个计算假设，根据空间问题的基本方程和边界条件，以及上述的三个计算假设，将其他未知数将其他未知数纵向位移纵向位移u和和v，主要应变分量，主要应变分量 ，主要，主要应力分量应力分量 ，次要应力分量，次要应力分量 及更次要应力分及更次要应力分量量 ，分别都用挠度，分别都用挠度w(x,y)来表示，并导出求解挠度的方程来表示，并导出求解挠度的方程。xyyx,xyyx,yzxz,z弹性力学板弯曲(ding课件9.2 Differential Equation for Bending of Thin Plates9.2 弹性曲面的微分方程弹性曲面的微分方程基本未知函数:w(x,y)小挠度薄板位移解法小挠度薄板位移解法zywvzxwu,zyxwxvyuzywyvzxwxuxyyx222222位移与应变：位移与应变：弹性力学板弯曲(ding课件9.2 Differential Equation for Bending of Thin Plates9.2 弹性曲面的微分方程弹性曲面的微分方程薄板薄板应力：应力：yxwEzxwywEzywxwEzxyyx2222222222221)(1)(1弹性力学板弯曲(ding课件yxwDMxwywDMywxwDMxyyx222222222)1()()()1(1223EDyxwywxwxyyx22222广义力 广义应变 曲率扭率 薄板弯曲内力：薄板弯曲刚度弹性力学板弯曲(ding课件Dqywyxwxw44224442q22wD薄板平衡方程：弹性力学板弯曲(ding课件1.Express u and v in terms of w 1.将u 和 v 用挠度w表示xwzuywzv前面已经导出：对 z 进行积分),(1yxfzywv),(2yxfzxwu0)(0zu由于：0),(2yxf0),(1yxf0)(0zv因此：zxwuzywv ，弹性力学板弯曲(ding课件2.Express strain components in terms of w2.将主要应变分量 用挠度w表示 将将u，v用代入几何方程用代入几何方程xyyx,zywvxuxzxwuzxwx22yvyzywy22xvyuxyzxwuzyxwxy22zywv弹性力学板弯曲(ding课件3.Express stress components x，y，xyin terms of w3.将主要应力分量 x，y，xyin用挠度w表示由薄板的物理方程：xyxyzyyyxxEEE)1(2)(1)(1xyxyxyyyxxEEE)1(2)(1)(122zxwx22zywy22zyxwy22yxwEzxwywEzywxwEzxyyx22222222222)1()(1)(1由于 w 不随 z 而变，三个主要应力分量都与z 成正比，与梁的弯曲应力相似。弹性力学板弯曲(ding课件4.Express strain components zx,zyin terms of w 4.将次要应力分量 zx,zy用挠度 w表示 由于次要应力分量zx,zy引起的形变忽略不计，相应的物理方程已经放弃。使用平衡方程推导。yxzyxxzx平衡方程前两式：xyzyxyzy0,0yxff体力分量：yxwEzxwywEzywxwEzxyyx22222222222)1()(1)(1将应力分量代入后，得：wyEzxywywEzzwxEzyxwxwEzzzyzx222333222233321)(11)(1对 z 进行积分弹性力学板弯曲(ding课件4.Express strain components zx,zyin terms of w 4.将次要应力分量 zx,zy用挠度 w表示wyEzxwxEzxzyzx22222211对 z 进行积分),()1(2),()1(222221222yxFwyEzyxFwxEzzyzx上下板面边界条件：0|)(2zzxwxEyxF2221)1(2)2/(),(wyEyxF2222)1(2)2/(),(0|)(2zzxwyzEzwxzEzyzx222222222)4()1(2)4()1(2两个切应力沿横向为抛物线分布，与材料力学中梁的切应力相似。弹性力学板弯曲(ding课件5.Express stress components z in terms of w 5.更次要应力 z 用挠度 w表示平衡方程第三式：0zf体力分量：表示。即：并用上板面的面力中去，一归入到面积内的体力和面力都，可以把薄板的每单位若体力分量qfz02/2/22dz)()(zzzzzfffq这样处理只会对z引起误差，对其他应力分量无影响。这样处理，和材料力学中对梁的处理相同。yxzzyzxz对 z 进行积分),()34()1(234322yxFwzzEzwzEzz4222)4()1(2弹性力学板弯曲(ding课件5.Express stress components z in terms of w 5.更次要应力 z 用挠度 w表示),()34()1(234322yxFwzzEz下板面边界条件：0)(2zzwEyxF43323)248()1(2),(wzzEz43322)8(31)2(4)1(2wzzE4223121)1(6弹性力学板弯曲(ding课件6.The differential Equation of deflection w 6.推导挠度挠度 w 的微分方程由上板面的边界条件：qzz2)(zwzzE4223121)1(6qwE423)1(12q为薄板每单位面积内的横向荷载，包括横向面力及横向体力。)1(1223EDqwD4D薄板的弯曲刚度薄板的弹性曲面微分方程，或挠曲线微分方程。在上述推导过程中，已经考虑并完全满足空间问题的平衡方程、在上述推导过程中，已经考虑并完全满足空间问题的平衡方程、几何方程和物理方程，以及薄板上下板面的主要边界条件，并得几何方程和物理方程，以及薄板上下板面的主要边界条件，并得出了求解挠度出了求解挠度w的基本微分方程。基本微分方程结合薄板侧面的的基本微分方程。基本微分方程结合薄板侧面的边界条件，可以求出挠度边界条件，可以求出挠度w,然后可以求得应力分量然后可以求得应力分量。弹性力学板弯曲(ding课件D4w(x,y)=q(x,y)1.Fifteen equations for spatial problems become one equation in term of w(x,y)for plate bending problem.2.Boundary conditions on z=/2 are satisfied.3.Boundary conditions on edges of plate have to be satisfied.弹性力学板弯曲(ding课件9.3 Stress Resultants and Stress Couples-Internal Forces9.3 薄板横截面上的内力薄板横截面上的内力 薄板内力：薄板内力：薄板横截面上的内力。是指 薄板横截面薄板横截面的每每单位宽度单位宽度 上，由应力合成的主矢量和主矩应力合成的主矢量和主矩。为什么求薄板内力？为什么求薄板内力？（1）薄板是按内力设计的，因此，需要求内力。（2）由于在板的侧面上，通常很难使应力分量精确满足应力边界条件，但板的侧面是板的次要边界条件，可以应 用圣维南原理，用次要边界条件代替。弹性力学板弯曲(ding课件yxwDMxwywDMxyy22222)1()()(2222ywxwDMx)1(1223EDyxwywxwxyyx22222广义力 广义应变 曲率扭率 薄板弯曲内力：薄板弯曲刚度弹性力学板弯曲(ding课件9.3 薄板横截面上的内力薄板横截面上的内力wyEFwxEFMyxwEMxwywEMywxwEMSySxxyyxyx22222223222223222223)1(12)1(12)1(12)()1(12)()1(12弹性力学板弯曲(ding课件12.3 Internal Forces 12.3 薄板横截面上的内力薄板横截面上的内力从薄板中取出一个平行六面体，如下图所示：).()(,xyxxyxxzxyxMMzx和扭矩只可能分别合成弯矩上的主矢量都等于零，所以他们在薄板全厚度零，成正比，且在中面上为都与及。因为着为常量的截面上，作用在弹性力学板弯曲(ding课件12.3 薄板横截面上的内力薄板横截面上的内力x面上面上合成扭矩合成弯矩合成横向剪力xxMxyxyMSxxzF2/2/dzzMxx2/2/dzzMxyxy2/2/dzFxzSx2/2/222222)(1dzzywxwEMx)()1(12222223ywxwE弹性力学板弯曲(ding课件12.3 薄板横截面上的内力薄板横截面上的内力x面上面上合成扭矩合成弯矩合成横向剪力xxMxyxyMSxxzF2/2/dzzMxx2/2/dzzMxyxy2/2/dzFxzSxxM)()1(12222223ywxwE2/2/22)1(dzzyxwEMxyyxwE23)1(12弹性力学板弯曲(ding课件12.3 薄板横截面上的内力薄板横截面上的内力x面上面上合成扭矩合成弯矩合成横向剪力SxxzF2/2/dzFxzSx)()1(12222223ywxwEMxyxwEMxy23)1(122/2/2222)4()1(2dzzwxEFSxwxE222)1(12弹性力学板弯曲(ding课件12.3 薄板横截面上的内力薄板横截面上的内力x面上面上合成扭矩合成弯矩合成横向剪力)()1(12222223ywxwEMxyxwEMxy23)1(12wxEFsx222)1(12弹性力学板弯曲(ding课件12.3 薄板横截面上的内力薄板横截面上的内力y面上面上方法与方法与x面上类似：面上类似：合成扭矩合成弯矩合成横向剪力wyEFMyxwEMxwywEMSyxyyxy22223222223)1(12)1(12)()1(12yyMyxyxMSyyzF弹性力学板弯曲(ding课件12.3 薄板横截面上的内力薄板横截面上的内力归纳归纳wyEFwxEFMyxwEMxwywEMywxwEMSySxxyyxyx22222223222223222223)1(12)1(12)1(12)()1(12)()1(12弹性力学板弯曲(ding课件Express positive internal forces on the middle plane薄板内力的正负方向的规定薄板内力的正负方向的规定由应力的正负方向的规定得出：正的应力合成的主矢量为正，正的应力乘以正的矩臂合成的主矩为正；反之为负。弹性力学板弯曲(ding课件应力分量表达式应力分量表达式前面讲过：yxwEzxwywEzywxwEzxyyx22222222222)1()(1)(1wyzEzwxzEzyzx222222222)4()1(2)4()1(2wzzEz4223121)1(6wyEFwxEFMyxwEMxwywEMywxwEMSySxxyyxyx22222223222223222223)1(12)1(12)1(12)()1(12)()1(12弹性力学板弯曲(ding课件应力分量表达式应力分量表达式3312,12yyxxMzM)4(6)4(6223223zFzFSyyzSxxzzzqz12122zMxyyxxy312各应力分量与弯矩、扭矩、横向剪力或荷载之间的关系。弹性力学板弯曲(ding课件应力分量沿板的厚度情况应力分量沿板的厚度情况面。的最大值发生在板的上的最大值发生在中面，的最大值发生在板面，zyzxzxyyx,2226)()(xzxzxM23)(23)(00SyzyzSxzxzFFqzz2/)(22/2/6)()(xyzxyzxyM2226)()(yzyzyM注意：以上提到的内力，都是作用在薄板每单位宽度上的内力，所以弯矩和扭矩的量纲为：LMT-2,横向剪力的量纲为：MT-2。注意：在薄板弯曲问题中，弯应力和扭应力在数值注意：在薄板弯曲问题中，弯应力和扭应力在数值上最大，因而是上最大，因而是主要应力主要应力；横向切应力在数值上较；横向切应力在数值上较小，是小，是次要应力次要应力；挤压应力在数值上最小，是；挤压应力在数值上最小，是更次更次要的应力要的应力。因此在计算薄板的内力时，主要计算弯。因此在计算薄板的内力时，主要计算弯矩和扭矩，横向剪力一般无需计算。因此有关手册矩和扭矩，横向剪力一般无需计算。因此有关手册中只给出弯矩和扭矩的计算公式或图表，而并不提中只给出弯矩和扭矩的计算公式或图表，而并不提及横向剪力。及横向剪力。成正比，称为挤压应力与荷载力，成正比，称为横向切应与横向剪力切应力成正比，称为扭应力，与扭矩切应力成正比，称为弯应力；分别与弯矩正应力qFFMMMzSySxyzxzxyxyyxyx,弹性力学板弯曲(ding课件 Mx My-bending moment per unit width.force Mxy=Myx-twisting moment per unit width.force A positive moment corresponds to a positive stress component in the positive half of the plate.Mx My and Mxy are of order of qa2 Fsx Fsy-transverse shearing force per unit width forcelength-1 The positive direction of Fsx is the same as xz The positive direction of Fsy is the same as yz Fsx and Fsy are of order of qa薄板横截面上的内力的正负方向规定薄板横截面上的内力的正负方向规定弹性力学板弯曲(ding课件Mx,My,Mxy,FSx,Fsy,q之间的关系利用平衡方程：力矩式和投影式。0;0)(;0)(zxyFMM弹性力学板弯曲(ding课件Mx,My,Mxy,FSx,Fsy,q之间的关系00)(0)(zxyFMM0)(yMyMxMFxyxSx0)(xMxMyMFxyySy弹性力学板弯曲(ding课件00)(0)(zxyFMM0zFqyFxFSySxwyEFwxEFSySx222222)1(12)1(120)()(qdxdydydxxFFdxFdxdyyFFdxFSxSxSxSySySyqwE423)1(12弹性力学板弯曲(ding课件9.4 Boundary Conditions9.4 边界条件满足基本方程和给定的边界条件基本方程 为四阶偏微分方程矩形薄板，每个边界必须给出两个边界条件。q22wD弹性力学板弯曲(ding课件 1 几何边界条件几何边界条件在边界上给定边界挠度w和边界切线方向转角 。固定边界2混合边界条件混合边界条件边界同时给出广义 力和广义位移简支边界 tw 薄板弯曲问题的薄板弯曲问题的典型边界条件典型边界条件弹性力学板弯曲(ding课件3 面力边界条件 在边界上给定横向在边界上给定横向剪力和弯矩剪力和弯矩自由边界弹性力学板弯曲(ding课件9.4 Boundary Conditions9.4 边界条件 与板的上下板面相比，板边是板边是次要边界条件。次要边界条件。因此，在板边可以应用圣维南原理，把应力边界条件替换称为内力的边界条件，即横向剪力及横向剪力及弯矩边界条件弯矩边界条件。同时，板边的位移边界条件也相应地替换为中面的挠度及转角为中面的挠度及转角的条件的条件。弹性力学板弯曲(ding课件9.4 Boundary Conditions9.4 边界条件简支边OC边(y=0):如右图：OA边为固定边，OC边是简支边，AB边和BC边为自由边。0,0)(022220yyxwyww简支边简支边OC边边(y=0):0,0)(00yyyMw0,0|)0,(0220yyxwxw0,0)(0220yyyww如果简直边上有分布的力矩荷载M(一般是x的函数)，则(My)y=0=M。但仍可以化简为挠度w的形式。弹性力学板弯曲(ding课件9.4 Boundary Conditions9.4 边界条件固定边OA边(x=0):如右图：OA边为固定边，OC边是简支边，AB边和BC边为自由边。固定边OA边(x=0):简支边OC边(y=0):0,0)(00 xxxww0,0)(0220yyyww弹性力学板弯曲(ding课件9.4 Boundary Conditions9.4 边界条件自由边AB边(y=b)自由边自由边AB边边(y=b):0,0,0)(bySybyyxbyyFMM薄板任一边的扭矩都可以变换薄板任一边的扭矩都可以变换为等效的横向剪力为等效的横向剪力，即，即扭扭矩的等效剪力矩的等效剪力。与原来的横向剪力合并，。与原来的横向剪力合并，边界条件由三边界条件由三个归并为两个个归并为两个。弹性力学板弯曲(ding课件Twisting moments are replaced by a statically equivalent shearing force扭矩的等效剪力自由边AB（y=b）边界AB上的分布扭矩就变换为等效的分布剪力。xMxy等效的分布剪力为：xMFFxySytSy总的分布剪力为：。（也就等于集中反力）点没有抵消的集中剪力点和在BAByxRBAAyxRABMFMF)(,)(弹性力学板弯曲(ding课件9.4 Boundary Conditions9.4 边界条件自由边AB边(y=b)自由边AB边(y=b):0,0,0)(bySybyyxbyyFMM0)(,0)(byxySybytSybyyxMFFM用挠度w表示0)2(,023332222bybyyxwywxwyw自由边边界条件注意：若在这个自由边上由分布的力矩荷载M和分布的横向荷载Ft，上式边界条件右边不等于零。弹性力学板弯曲(ding课件9.4 Boundary Conditions9.4 边界条件自由边BC边(x=a)自由边BC边(x=a)(与y=b)类似。0,0,0)(axSxaxxyaxxFMM0)(,0)(axyxSxaxtSxaxxyMFFM用挠度w表示0)2(,023332222axaxxywxwywxw自由边边界条件注意：若在这个自由边上由分布的力矩荷载M和分布的横向荷载Ft，上式边界条件右边不等于零。BxyRBCCxyRCBMFMF)(,)(弹性力学板弯曲(ding课件9.4 Boundary Conditions9.4 边界条件自由边AB与BC的交点(x=ay=b)自由边AB与BC的交点(x=a,y=b)用挠度w表示BBRxywDF2)1(2两个自由边交点集中力表达式。注意：若在注意：若在B点没有任何支柱对薄板对薄点没有任何支柱对薄板对薄板施以此项集中反力，则在板施以此项集中反力，则在B点还需要补点还需要补充以交点条件：充以交点条件：FRB=00)()(,byaxRBCRBAbyaxRBFFF0)(,2,byaxbyaxRBxywF如果在B交有支柱阻止挠度发生。则上述交点的边界条件变为：0)(,byaxw弹性力学板弯曲(ding课件9.5 四边简支矩形薄板的重三角级数解答0,0)(0220 xxxww边界条件为：0,0)(0220yyyww0,0)(22bybyyww0,0)(22axaxxww弹性力学板弯曲(ding课件9.5 四边简支矩形薄板的重三角级数解答纳维把挠度w的表达式取为重三角级数：11sinsinnmnmbymaxmAwm，n为正整数。上式满足全部边界条件。qwE423)1(12qbymaxmAbnamDimni1222214sinsin把q=q(x,y)展开为重三角级数：11sinsinimnibymaxmCqdydxsinsin400 bamnbymaxmqabC弹性力学板弯曲(ding课件9.5 四边简支矩形薄板的重三角级数解答纳维把挠度w的表达式取为重三角级数：11sinsinnmnmbymaxmAw1222214sinsinimnibymaxmAbnamD11sinsinimnibymaxmCqdydxsinsin400 bamnbymaxmqabC2222400dydxsinsin4bnamabDbymaxmqabAbamn11sinsinnmnmbymaxmAw弹性力学板弯曲(ding课件9.5 四边简支矩形薄板的重三角级数解答利用均布荷载作用的结果，可以求出集中力F作用的结果。bmambnamabDFbmamyxFbnamabDAmnsinsin4dxdysinsindd422224222241222214sinsinsinsin4nmbymaxmbnambmamabDFw),(弹性力学板弯曲(ding课件9.5 四边简支矩形薄板的重三角级数解答均布荷载作用下：22224000dydxsinsin4bnamabDbymaxmqabAbamn11sinsinnmnmbymaxmAw0qq22226016bnamDmnqAmn)5,3,1;5,3,1(nm5,3,15,3,1sinsinnmnmbymaxmAw求出内力。弹性力学板弯曲(ding课件9.6 矩形薄板的单三角级数解答0,0)(0220 xxxww边界条件为：0,0)(22axaxxww承受任意横向荷载：),(yxq莱维将表达式取为：1sinmmaxmYw弹性力学板弯曲(ding课件9.6 矩形薄板的单三角级数解答莱维把挠度w的表达式取为单三角级数：qwE423)1(12DqaxmYamdyYdamdyYdmmmm1422244sin2把q=q(x,y)展开为三角级数：10sin2maaxmdxaxmDqaDq)(coshsinhsinhcoshyfaymaymDaymCaymaymBaymAYmmmmmm1sinmmaxmYw弹性力学板弯曲(ding课件9.6 矩形薄板的单三角级数解答莱维把挠度w的表达式取为单三角级数：)(coshsinhsinhcoshyfaymaymDaymCaymaymBaymAYmmmmmm1sinmmaxmYw)(yfm非其次方程的任意一个特解。非其次方程的任意一个特解。待定系数由边界条件求得。（参考书上待定系数由边界条件求得。（参考书上P193194）重三角函数解和单三角函数解的比较（参考书上重三角函数解和单三角函数解的比较（参考书上P194）弹性力学板弯曲(ding课件9.7 矩形薄板的差分解Dqw004)(弹性曲面的微分方程：差分方程：Dhq401211109876543210)()(2)(820弹性力学板弯曲(ding课件9.7 矩形薄板的差分解差分方程：Dhq401211109876543210)()(2)(820边界条件：只有简支边和固定边界：0w简支边：022Constxxw022Constyyw固定边：0Constxxw0Constyyw弹性力学板弯曲(ding课件9.7 矩形薄板的差分解差分方程：Dhq401211109876543210)()(2)(820边界条件：自由边：边界上的结点值作为未知量。利用边界条件可以将边界外第一行和第二行用边界上和边界内的结点表示。弹性力学板弯曲(ding课件9.8 圆形薄板的弯曲（P198200）自学9.8 圆形薄板的轴对称问题（P200202）自学弹性力学板弯曲(ding课件9.7 矩形薄板的差分解内力：0222002220002300222223002222230)1(12)()1(12)()1(12)()1(12)()()1(12)(wyEFwxEFMyxwEMxwywEMywxwEMSySxxyyxyx