概率统计和随机过程41随机变量函数的分布课件

概率统计和随机过程41随机变量函数的分布课件14.1 随机变量函数的分布随机变量函数的分布问题问题：已知随机变量 X 的概率特性 分布 函数 或密度函数（分布律）Y=g(X)求 随机因变量Y 的概率特性方法方法：将与将与 Y 有关的事件转化成有关的事件转化成 X 的事件的事件第四章第四章 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布概率统计和随机过程41随机变量函数的分布课件2设随机变量 X 的分布律为,2,1,)(kpxXPkk由已知函数 g(x)可求出随机变量 Y 的所有可能取值，则 Y 的概率分布为,2,1,)()(ipyYPikyxgki离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布概率统计和随机过程41随机变量函数的分布课件3例例1 已知 X 的概率分布为X pk-1 0 1 221418181求 Y 1=2X 1 与 Y 2=X 2 的分布律解解Y 1pi-3 -1 1 321418181概率统计和随机过程41随机变量函数的分布课件4Y 2pi1 0 1 421418181Y 2pi0 1 4218381概率统计和随机过程41随机变量函数的分布课件5例例2 已知 X 的概率分布为,2,1,0,)2(kpqkXPk其中 p+q=1,0 p 0 时，)(11)(byafayfXY概率统计和随机过程41随机变量函数的分布课件14当a 0 时，)(1)(byaXPyFY)(11byaFX)(11)(byafayfXY故)(1|1)(byafayfXY概率统计和随机过程41随机变量函数的分布课件15例如，设 X N(,2),Y=a X+b,则)(1|1)(byafayfXY2222)(|21 aabyeayY N(a+b,a22)特别地，若 X N(,2),)1,0(NXY则概率统计和随机过程41随机变量函数的分布课件16例例4 X E(2),Y=3X+2,求)(yfY解解)2(31|3|1)(yfyfXY其他,0032,231322yey其他,02,323)2(2yey概率统计和随机过程41随机变量函数的分布课件17例例5 已知 X N(0,1),Y=X 2,求 f Y(y)解法一解法一 从分布函数出发)()(yYPyFYy)()(2yXPyFYyyy当y 0 时，)(yXyP)()(yFyFXX概率统计和随机过程41随机变量函数的分布课件18)(yFY0,0y0),()(yyFyFXX故)(yfY0,0y0,)()(21yyfyfyXX)(yfY0,0y21/21,02yeyy概率统计和随机过程41随机变量函数的分布课件19解法二解法二 从密度函数出发yyy1x11)(xx2x22)(xx0)(yyYyP)()(222111xxXxPxXxxP2211)()()()(xxfxxfyyfXXY即当 y 0 时yyy2xy概率统计和随机过程41随机变量函数的分布课件2021)()()(21xxXxxXYdxdyxfdxdyxfyf21)()(21xxXxxXdxdyxfdxdyxf()()()()XXxyxyXXxyxyfyfydydydxdxdxdxfyfydydy 概率统计和随机过程41随机变量函数的分布课件212)(2)(2221|2|121|2|1yyeyey221yey故0,210,0)(2yeyyyfyY概率统计和随机过程41随机变量函数的分布课件22一般地yx1x2x3y=g(x)xnxxnXxxXxxXYdxdyxfdxdyxfdxdyxfyf)()()()(2121 xn概率统计和随机过程41随机变量函数的分布课件23特别地，若g(x)为单调函数，则1111()()()XYXxxxxfxdxfyfxdydydx y=g(x)xyx1其中x1=g 1(y)=h(y)()(,)()()yg xa bxh yYg X在在区区间间上上严严格格单单调调，其其反反函函数数有有连连续续导导数数，则则是是一一个个连连续续型型随随机机变变量量，其其概概率率为为()|()|(,)()0 f h yh yyc dy其其它它定理定理1概率统计和随机过程41随机变量函数的分布课件25121212 (),(),(),(),()()yg xIIhyhyhyhyYg X在在区区间间不不相相互互 重重叠叠的的区区间间上上严严格格单单调调，其其反反函函数数为为而而且且，均均为为连连续续函函数数，则则是是一一个个连连续续型型随随机机变变量量，其其概概率率为为1122*()|()|()|()|()0 f h yh yf h yh yyyI其其它它定理定理2概率统计和随机过程41随机变量函数的分布课件26例例6 设xxxfX,)1(1)(231XY求f Y(y)x31xyyx=(1-y)3解解3)1(3)1()(yxXYdxdyyfyf3)1(3)1(yxXdydxyfyyy,)1(1)1(362概率统计和随机过程41随机变量函数的分布课件27例例7 设 X 的概率密度函数为其他,00,2)(2xxxfXXYsin求的概率密度函数解解故当 y 0 或 y 1 时yf Y(y)=0 x)0(sinxxy100.511.522.530.20.40.60.81y由图可知,Y 的取值范围为(0,1)概率统计和随机过程41随机变量函数的分布课件28yarcsiny-arcsiny1x)0(sinxxy00.511.522.530.20.40.60.81当0 y 1 时222)arcsin(2arcsin211)(yyyyfY212y故其他,010,12)(2yyyfY概率统计和随机过程41随机变量函数的分布课件29注意注意：连续型随机变量的函数的分布函数 不一定是连续函数例如例如：X U(0,2)其他,020,21)(xxfX1100,1,0)(xxxxxg令 Y=g(X)xy11,110,2,0,0)(yyyyyFYFY(y)不是连续函数概率统计和随机过程41随机变量函数的分布课件304.2 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布问题：已知二维随机变量(X,Y)的概率特性 g(x,y)为已知的二元函数，Z=g(X,Y)求：Z 的概率特性方法：转化为(X,Y)的事件 概率统计和随机过程41随机变量函数的分布课件31当(X,Y)为离散型随机变量时，Z 也为离散型，),(kkjikyxgzZkkjkikkzyxgjikyYxXPzZP),(),()(,2,1k离散型二维随机变量的函数离散型二维随机变量的函数概率统计和随机过程41随机变量函数的分布课件32例例1 设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布为X Y pij-1 1 2-1 04161418112181求XYXYYXYX,的概率分布概率统计和随机过程41随机变量函数的分布课件33解解 根据(X,Y)的联合概率分布可得如下表格：P 4141618181121 X+Y X-Y X Y Y/X(X,Y)(-1,-1)(-1,0)(1,-1)(1,0)(2,-1)(2,0)-2 -1 0 1 1 2 0 -1 2 1 3 2 1 0 -1 0 -2 0 1 0 -1 0 -1/2 0概率统计和随机过程41随机变量函数的分布课件34故得PX+Y-2 -1 0 1 241414161121PX-Y-1 0 1 2 34141418181概率统计和随机过程41随机变量函数的分布课件35PX Y-2 -1 0 1 6141812411PY/X-1 -1/2 0 14181241161概率统计和随机过程41随机变量函数的分布课件36q 设设 X B(n1,p),Y B(n2,p),且且 X,Y 相互独立，相互独立，则则 X+Y B(n1+n2,p)关于离散型随机变量的两个重要结论：重要结论：q 设设 X P(1),Y P(2),且且 X,Y 相互独立，相互独立，则则 X+Y P(1+2)概率统计和随机过程41随机变量函数的分布课件37X B(n1,p),Y B(n2,p),则Z=X+Y 的可能取值为 0,1,2,n1+n2,),()(0kiikYiXPkZP设n1 n2,当k n1时，,)()(0kiikYPiXPkiiknikikniniinppCppC02211)1()1(knnkknnppC2121)1(关于二项分布的和的分布的说明：概率统计和随机过程41随机变量函数的分布课件38knnkiikninCCC21210其中当 n1 k n2 时10),()(niikYiXPkZP112120(1)(1)nnink iiik ik inniC ppCpp knnkknnppC2121)1(112210(1)nnnkjkjknnjkijC Cpp（令令）概率统计和随机过程41随机变量函数的分布课件39当 n2 k n1+n2 时12),()(nnkiikYiXPkZP112122(1)(1)nnink iiik ik inni k nC ppCpp 122212122()0()(1)nnkjk nnjnnkknnjjiknCCpp 令令概率统计和随机过程41随机变量函数的分布课件40故 X+Y B(n1+n2,p)事实上，从二项分布的背景，若每次试验事件A 发生的概率为 p,则X+Y 表示做了n1+n2 次独立试验事件A 发生的次数knnkknnppC2121)1(12121212121212()0(1)(1)nnknj k nnnkjknnjnnknnkknnCC ppCpp 概率统计和随机过程41随机变量函数的分布课件41作作 业业 习题四习题四 2，3，5，8，14