二轮复习讲座

2014高考直通车高考二轮攻略30讲第28讲 实际应用问题(1)【课前诊断】1某单位用3.2万元购买了一台实验仪器，假设这台仪器从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为(nN*)元，若使用这台仪器的日平均费用最少，则一共使用了_天解析设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为，当且仅当时，取得最小值，此时n800.答案8002(2012江西)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润总销售收入总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为_解析线性规划问题利用可行域求最优解设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知求目标函数zx0.9y的最大值，根据题意画可行域如图阴影所示当目标函数线l向右平移，移至点E(30,20)处时，目标取得最大值，即当黄瓜30亩，韭菜20亩时，种植总利润最大答案30,203某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货时的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为_解析设每次进x件费用为y，y22， x，即x1000时y最小答案1000件4从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水填满，再倒出1升混合液又用水填满，这样继续进行，如果倒n次时共倒出纯酒精x升，倒第n1次时共倒出纯酒精f(x)升，那么函数f(x)的表达式是_解析f(x)x1x1.答案f(x)x1【例题探究】(2011湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数(1)当0x200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/时)解：(1)由题意，当0x20时，v(x)60；当20x200时，设v(x)axb，再由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)(2)依题意并由(1)可得f(x)当0x20时，f(x)为增函数，故当x20时，其最大值为60201 200；当20x200时，f(x)x(200x)2，当且仅当x200x，即x100时，等号成立所以当x100时，f(x)在区间20,200上取得最大值.综上，当x100时，f(x)在区间0,200上取得最大值3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时(2012江苏卷)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx(1k2)x2(k0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由解(1)令y0，得kx(1k2)x20，由实际意义和题设条件知x0，k0，故x10，当且仅当k1时取等号所以炮的最大射程为10千米(2)因为a0，所以炮弹可击中目标存在k0，使3.2ka(1k2)a2成立关于k的方程a2k220aka2640有正根判别式(20a)24a2(a264)0a6.所以当a不超过6千米时，可击中目标.(2013江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量cos A，cos C.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解(1)在ABC中，因为cos A，cos C，所以sin A，sin C.从而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由正弦定理，得ABsin C1 040(m)所以索道AB的长为1 040 m.(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50)，因0t，即0t8，故当t(min)时，甲、乙两游客距离最短(3)由正弦定理，得BCsin A500(m)乙从B出发时，甲已走了50(281)550(m)，还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得33，解得v，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内冲刺强化练习(28)1(2010年苏、锡、常、镇四市调研)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了_km.解析设乘客每次乘坐出租车需付费用为f(x)元，由题意可得：令f(x)22.6，解得x9.答案92某地区由于战争的影响，据估计，将产生60100万难民，联合国难民署计划从4月1日起为该地区难民运送食品连续运送15天，总共运送21 300 t；第一天运送1 000 t，第二天运送1 100 t，以后每天都比前一天多运送100 t，直到达到运送食品的最大量，然后再每天递减100 t，则在第_天达到运送食品的最大量解析设在第n天达到运送食品的最大量则前n天每天运送的食品量是首项为1 000，公差为100的等差数列an1 000(n1)100100n900.其余每天运送的食品量是首项为100n800，公差为100的等差数列依题意，得1 000n100(100n800)(15n)(100)21 300(1n15)整理化简得n231n1980.解得n9或22(不合题意，舍去)即在第9天达到运送食品的最大量答案93(2011陕西)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为_米解析 设20名同学是1号到20号依次排列，使每位同学的往返所走的路程和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁边，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，所有同学往返所走的路程总和为S920201020202 000(米)答案2 0004旅客在候车室排队等候检票，并且排队的旅客按一定的速度增加，设检票的速度一定，当车站开放一个检票口时，需用半小时方可将排队旅客全部检票进站；同时开放两个检票口，只需10分钟便可将排队旅客全部检票进站现有一班增开列车过境载客，必须在5分钟内旅客全部检票进站则此时车站最少要开放_个检票口解析设原有（0）名旅客在候车室排队等候检票解法1：设检票开始后每分钟新增加的旅客为人，检票的速度为每个检票口每分钟人，5分钟内检票完毕要同时开放个检票口，依题意得: ，由（1）、（2）消去得（4），代入（1）得（5），将（4）和（5）代入（3）得，而，所以3.5，又为整数，因此4，故至少需同时开放4个检票口。解法2：利用检票时间相等建立等量关系，即不管开放几个检票口，每位旅客的检票时间相等，得（字母含义与解法1相同），以下解法略解法3：设开始检票后每分钟新增加旅客为人，检票的速度为每分钟人，开放检票口的个数为个，检票时间为分钟，依题意，与之间的函数关系为，而30，1；10，2，因此可求出函数关系为，即，当5时，3.5，故至少需同时开放4个检票口答案45如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求在上，N在AD上，且对角线MN过C点，已知AB4米，AD3米，设AN的长为x米（x 3）。（1） 要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？ABCDMNP（2） 求当AM、AN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小面积解：设AN的长为x米（x 3），|AM|SAMPN|AN|AM|（x 3）（1）由SAMPN 54 得 54 ，x 3，（2x9）（x9） 0即AN长的取值范围是（2）令y， 令 则- 10分48，当且仅当即时取等号此时，最小面积为486(2009年高考上海卷)有时可用函数f(x)描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数(xN*)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关(1)证明：当x7时，掌握程度的增长量f(x1)f(x)总是下降；(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121，(121,127，(127,133当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科解：(1)证明：当x7时，f(x1)f(x).而当x7时，函数y(x3)(x4)单调递增，且(x3)(x4)0，故f(x1)f(x)单调递减当x7，掌握程度的增长量f(x1)f(x)总是下降(2)由题意可知0.115ln0.85，整理得e0.05，解得a620.506123.0，1230(121,127由此可知，该学科是乙学科7某公司为帮助尚有26.8万元的无息贷款，但没有偿还能力的残疾人商店，借出20万元，将该商店改建为经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(不计息)已知：该种消费品的进价为每件40元，该店每月销售量q(百件)与销售价p(元/件)的关系用图中的一条折线表示职工每人每月工资600元，该店应交付的其它费用为每月13200元(1)若当销售价p为52元/件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；(2)若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品价格定为多少元？解：(1)设该店每月的利润为S元，有职工m名，则Sq(p40)100600m13200.又由图可得q，当40p58时，S(2p140)(p40)100600m13200，当58p81时，S(p82)(p40)100600m13200，由已知，当p52时，S0，即(252140)(5240)100600m132000.解得m50，即此时该店有员工50名(2)由题意知S，当40p58时，求得p55时，S取最大值7800(元)；当58p81时，求得p61时，S取最大值6900(元)当p55时，S有最大值7800(元)设该店最早可在n年后还清所有债务，依题意得127800n2680002000000，解得n5.即该店最早可在5年后还清所有债务，此时消费品价格定为每件55元2014高考直通车高考二轮攻略30讲第29讲 实际应用问题(2)【课前诊断】1设yf(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0t24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数yf(t)的图象可以近似地看成函数ykAsin(x)的图象，下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是_解析由表格知最大值为15，最小值为9，最小正周期为12，故A3，k12，.又t0时，y12，所以0.答案y123sint2 (2013高考陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为_(m)解析设矩形花园的宽为y m，则，即y40x，矩形花园的面积Sx(40x)x240x(x20)2400，当x20 m时，面积最大答案203在轴的正方向上，从左向右依次取点列，在曲线上从左向右依次取点列，使都是等边三角形，其中是坐标原点，则第2012个等边三角形的边长是解析设第个等边三角形的边长为，则第个等边三角形的在抛物线上的顶点的坐标为：；再从第个等边三角形上，可得的纵坐标为：；从而有：；即有：；由此可得：； （1）以及：； （2）（1）减（2）即得：；变形可得：；由于，所以；在（1）式中取，可得：，而，故；因此第2012个等边三角形的边长为：答案2012【例题探究】海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2012届高三联合考试，17如图，将边长为3的正方形ABCD绕中心O顺时针旋转a (0a)得到正方形ABCD根据平面几何知识，有以下两个结论：AFEa；对任意a (0a)，EAL，EAF，GBF，GBH，ICH，ICJ，KDJ，KDL均是全等三角形（1）设AEx，将x表示为a的函数；（2）试确定a，使正方形ABCD与正方形ABCD重叠部分面积最小，并求最小面积解：（1）在RtEAF中，因为AFEa，AEx，所以EF，AF 由题意AEAEx，BFAF，所以ABAEEFBFx3所以x，a(0，) 6分 （2）SAEFAEAFx()2 9分 令tsinacosa，则sinacosa 因为a(0，)，所以a(，)，所以tsin(a)(1， SAEF(1)(1) 正方形ABCD与正方形ABCD重叠部分面积 SS正方形ABCD4SAEF99 (1)18(1) 当t，即a时等号成立 14分答：当a时，正方形ABCD与正方形ABCD重叠部分面积最小，最小值为18(1)无锡市2010年秋学期高三期末考试，17已知A、B两地相距2R，以AB为直径作一个半圆，在半圆上取一点C，连结AC、BC，在三角形ABC内种草坪(如图)，M、N分别为弧AC、弧BC的中点，在三角形AMC、三角形BNC内种花，其余是空地设花坛的面积为S1，草坪的面积为S2，ABC.(1) 用及R表示S1和S2；(2) 求的最小值解：(1) 因为ABC，则AC2Rsin，BC2Rcos，则S2ACBC2R2sincosR2sin2.(3分)设AB的中点为O，连MO、NO，则MOAC，NOBC.易得三角形AMC的面积为R2sin(1cos)，(5分)三角形BNC的面积为R2cos(1sin)，(7分)故S1R2sin(1cos)R2cos(1sin)R2(sincos2sincos)(8分)(2) 1，(10分)令sincost(1，则2sincost21. 11.(12分) 的最小值为1.(14分)南京市2013届高三第二次模拟考试，17如图，某广场中间有一块扇形状绿地OAB，其中O为扇形所在圆的圆心，AOB60.广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在上选一点C，过C修建与OB平行的小路CD，与OA平行的小路CE.问C应选在何处，才能使得修建的道路CD与CE的总长最大，并说明理由解：由题意知，四边形ODCE是平行四边形因为AOB60，所以ODC120.连结OC.设OCr.解法1：设ODx，OEy，则CEx，CDy.在ODC中，由余弦定理，得OC2OD2DC22ODDCcos120，即r2x2y2xy.(4分)所以(xy)2r2xyr2.(10分)解得xyr，当且仅当xyr时取等号，所以xy的最大值为r，此时C为的中点故点C应选在的中点处，才能使得修建的道路总长最大(14分)解法2：设COA，060，所以OCD60.在ODC中，根据正弦定理，得，即.(4分)所以ODrsin(60)，CDrsin.所以CECDODCDrsin(60)sin(6分)r(sin60coscos60sinsin)r(sin60coscos60sin)rsin(60)(10分)因为0a)以及实数x(0x0，所以x21x，即x2x10，解得x，又0x3)千元，设该容器的建造费用为y千元(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.解(1)设容器为V，则由题意，得Vr2lr3.又V，故lr.由于l2r，所以0r2.所以建造费用y2rl34r2c2r34r2c.因此y4(c2)r2，0r2.(2)由(1)得y8(c2)r，03，所以c20，故当r30，即r 时令 m，则m0，所以y(rm)(r2rmm2)当0m时，若r(0，m)，则y0所以当rm是函数y的极小值点，也是最小值点当m2即3c时，若r(0,2)时，y0，函数单调减，所以当r2是函数y的最小值点综上所述，当3时，建造费用最小时r .6如图，开发商欲对边长为1 km的正方形ABCD地段进行市场开发，拟在该地段的一角建设一个景观，需要建一条道路EF(点E、F分别在BC、CD上)，根据规划要求ECF的周长为2 km.(1)试求EAF的大小；(2)欲使EAF的面积最小，试确定点E、F的位置解：(1)设BAE，DAF，CEx，CFy(0x1，0y1)，则tan1x，tan1y，由已知得：xy2，即2(xy)xy2，tan()1.0，即EAF.(2)由(1)知，SAEFAEAFsinEAFAEAF.0，2，即时AEF的面积最小，最小面积为1.tan，tan1，此时BEDF1，所以，当BEDF1时，AEF的面积最小2014高考直通车高考二轮攻略30讲第30讲 新情景试题例举【课前诊断】123(2012山东)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为_解析设A(2,0)，B(2,1)，由题意知劣弧的长为2，ABP2.设P(x，y)，则x21cos2sin 2，y11sin1cos 2，的坐标为(2sin 2,1cos 2)答案(2sin 2,1cos 2)45【例题探究】已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立,（1）函数是否属于集合？说明理由；（2）若函数属于集合，试求实数和的取值范围；（3）设函数属于集合，求实数的取值范围解：（1），若，则存在非零实数，使得 ，即，3分 因为此方程无实数解，所以函数4分 （2），由，存在实数，使得 ， 解得， 所以，实数和的取得范围是， （3）由题意，由，存在实数，使得 ， 所以，化简得， 当时，符合题意 当且时，由得，化简得 ，解得综上，实数的取值范围是PMNxyO30如图所示，将平面直角坐标系中的纵轴绕点O顺时针旋转30(坐标轴的长度单位不变)构成一个斜坐标系xOy，平面上任一点P关于斜坐标系的坐标(x,y)用如下方式定义：过P作两坐标轴的平行线分别交坐标轴Ox于点M，Oy于点N，则M在Ox轴上表示的数为x，N在Oy轴上表示的数为y在斜坐标系中，若A，B两点的坐标分别为(1，2)，(2，3)，则线段AB的长为 .