工程弹塑性力学[1]

工程弹塑性力学工程弹塑性力学第八章第八章 理想刚塑性的平面应变问题理想刚塑性的平面应变问题8.1 平面应变问题的基本方程平面应变问题的基本方程8.2 特征线和滑移线特征线和滑移线8.3 滑移线的性质滑移线的性质8.4 塑性区的边界条件塑性区的边界条件8.5 典型的滑移线场典型的滑移线场8.6 滑移线场的数值求解滑移线场的数值求解8.7 楔体的单边受压楔体的单边受压8.8 刚性压模的冲压问题刚性压模的冲压问题8.9 圆形切口板条的极限拉力圆形切口板条的极限拉力8.10 板条的抽拉拉板条的抽拉拉-定常塑性流动问题定常塑性流动问题8.1 平面应变问题的基本方程物体的各点位移发生在物体的各点位移发生在xoy平面内：平面内：(,)(,)0uu x yvv x yw(8.1),0 xyzuvxy,0 xyyzzxvuxy(8.2)(,),(,)(,)(,),0 xxyyzzxyxyyzzxx yx yx yx y(8.3)应变分量为应变分量为:0z8.1 平面应变问题的基本方程理想刚塑性材料的总应变分量：理想刚塑性材料的总应变分量：pijij(8.4)(,),(,),(,)0 xyzdudvdwv x yvx yv x ydtdtdt1()021()02000yxxyyxijvvvxyxvvvyxy(8.5)忽略弹性变形忽略弹性变形流动速度场流动速度场应变率张量应变率张量,xyxy 只有三个分量不为零8.1 平面应变问题的基本方程采用采用Mises屈服条件屈服条件与其相关连的流动法则：与其相关连的流动法则：ijij(8.6)10,(2)0,3zzzzxys由即(8.7)中间主应力中间主应力刚塑性情况的刚塑性情况的LevyMises关系关系:1()2zxy,xzyzxyxy =0,未知的应力分量只有8.1 平面应变问题的基本方程考虑开始流动的瞬间，不考虑惯性项和体力：考虑开始流动的瞬间，不考虑惯性项和体力：00 xyxxyyxyxy(8.8)注意到：注意到：()/2,0 xxxyyxxyxyzxzyzsss ssss 22222222221()()22xyxyxyxxyxysJsssss(8.9)222()44xyxy222()44xyxy塑性区：塑性区：刚性区：刚性区：(8.10)在在塑性区塑性区由由5个方程求个方程求5个未知量个未知量8.1 平面应变问题的基本方程有速度边界条件的求解问题：有速度边界条件的求解问题：0yxvvxy(8.11),xyxyxyv v 2yxxyyxxyvvxyvvyx(8.12)不可压缩条件：不可压缩条件：LevyMises关系：关系：若采用若采用Tresca屈服条件屈服条件，在刚塑性平面应变条件下，在刚塑性平面应变条件下，其表达式与其表达式与Mises屈服条件相同。屈服条件相同。8.1 平面应变问题的基本方程在刚塑性交界处，应力和速度应满足连续条件：在刚塑性交界处，应力和速度应满足连续条件：(8.13)nnnntt图图 8.1 刚塑性交界线刚塑性交界线连续允许有间断交界线两侧都是塑性区的情形：交界线两侧都是塑性区的情形：222()44ntnt222()44ntnt,nnnntntnt 由则有222tnnt224tttnt两侧应力间断值两侧应力间断值8.2 特征线和滑移线(8.14)一一、应力状态分析、应力状态分析cos2sin222xyxynxyOn21mxy2图图 8.2 摩尔图摩尔图塑性区内任一点的应力可写成塑性区内任一点的应力可写成:cos2sin222xyxytxysin2cos22xyntxy1212cos222n1212cos222t12sin22nt若若x,yx,y方向方向为主方向为主方向8.2 特征线和滑移线(8.15)一一、应力状态分析、应力状态分析On21mxy2图图 8.2 摩尔图摩尔图cos2ncos2tsin2nt1212,22若平均正应力最大切应力=(8.16)cos2xcos2ysin2xyn,tx,y(8.17)12zX方向是主应力方向8.2 特征线和滑移线一一、应力状态分析、应力状态分析(8.17)12z任一点的应力状态任一点的应力状态由静水应力由静水应力 与纯剪与纯剪应力应力叠加而成。叠加而成。在与主应力在与主应力 1 1成成角的方向上：角的方向上：(8.18)xyxy,cos2sin2,sin2cos24 sin2xsin2ycos2xy(8.19)O图图 8.3 微元体上的应力微元体上的应力xy45。18.2 特征线和滑移线二、滑移线二、滑移线sin2xsin2ycos2xy(8.19)00 xyxxyyxyxy(8.20)代入代入2(cos2sin2)02(sin2cos2)0 xxyyxy双曲线方程双曲线方程Oxy2s1sL取活动坐标取活动坐标OsOs1 1s s2 2，s s1 1表示沿的表示沿的L L切线方向，切线方向，s s2 2为沿的为沿的L L法线方向法线方向1122122(cos2sin2)02(sin2cos2)0ssssss(8.21)8.2 特征线和滑移线特征线方法特征线方法:xyxdxdydxydddy（在（在XYXY平面内平面内,线线L L给定了函数给定了函数、）2(cos2sin2)2(sin2c0os20)xxyyxy方程组的解为方程组的解为:1234,DDxDyDDDxDyD102 cos22 sin2012 sin22 cos2,0000kkkkDdxdydxdy其中1234,D D D DD分别为将 中的第一列,二列,三列,四列各元素代之以0,0,d,d 之后形成的行列式(8.20)8.2 特征线和滑移线特征线方法特征线方法:102 cos22 sin2012 sin22 cos20000kkkkDdxdydxdy若若D=0,则方程没有唯一解则方程没有唯一解,表明已知表明已知L L线一侧导数线一侧导数,若无其他条件若无其他条件,就不能求出就不能求出L L线另一侧的导数线另一侧的导数,具有这种性质的曲线叫做具有这种性质的曲线叫做特征线特征线。若若D0,则方程有唯一解。则方程有唯一解。当最大剪应力当最大剪应力 maxmax=(1 1-3 3)/2=)/2=k k时，材料进入塑性流动状态。时，材料进入塑性流动状态。塑性应变状态下的应变增量是一个纯剪变形，材料沿最大剪应力塑性应变状态下的应变增量是一个纯剪变形，材料沿最大剪应力线滑动，所以最大剪应力线（线滑动，所以最大剪应力线（、线线）又叫）又叫滑移线滑移线。8.2 特征线和滑移线如坐标轴如坐标轴s1,s2与滑移线的切线重合与滑移线的切线重合:(2)0(2)0ssOxy2s1sL(8.22),2,2dytgconstdxdyctgconstdx 沿 线:沿 线:(8.23)积分积分22 沿 线:沿 线:(8.24)写成改变量形式写成改变量形式8.2 特征线和滑移线三、沿滑移线上的速度方程式三、沿滑移线上的速度方程式(8.25)0yxvvxy2yxxyyxxyvvxyvvyxtan22xyxy tan2()00yyxxyxvvvvxyyxvvxy0 代入0,0yxvvxy(8.26)沿特征线的正应变率沿特征线的正应变率等于零，没有伸缩。等于零，没有伸缩。8.2 特征线和滑移线三、沿滑移线上的速度方程式三、沿滑移线上的速度方程式0代入(8.26)并令cossinsincosxyvvvvvv(8.27)xyxvvyvv图图 8.4 速度的坐标变换速度的坐标变换o0(cossin)0vvx0(sincos)0vvy0vvxx0vvyy或或00dvv ddvv d 沿 线,沿 线,(8.28)dvv ddvv d沿特征线及等于零8.3 滑移线的性质根据根据H.HenckyH.Hencky的研究得出的研究得出xybaab图图 8.5 压力变化与角度变化之间的关系压力变化与角度变化之间的关系(1)、沿着滑移线的压力变化与滑移线和沿着滑移线的压力变化与滑移线和X轴所成的角度变化成比例，轴所成的角度变化成比例，滑移线的方向变化得愈大，即滑移线的方向变化得愈大，即(ab)愈大，平均应力的变化也就愈大。愈大，平均应力的变化也就愈大。8.3 滑移线的性质根据根据H.HenckyH.Hencky的研究得出的研究得出221()21()4CCCCCC(8.29)(2)、如果由一条滑移线如果由一条滑移线 l转到另一条滑移线转到另一条滑移线 2，则沿任何，则沿任何一个一个 族的滑移线而变化的族的滑移线而变化的 角和压力角和压力 的改变值将保持常数的改变值将保持常数。Oxy(1.1)(1.2)(2.1)(2.2)1.11.22.22.1122112图图 8.6 滑移线场的单元网格滑移线场的单元网格沿族滑移线沿族滑移线,C C 过同一点的关系式8.3 滑移线的性质根据根据H.HenckyH.Hencky的研究得出的研究得出1111121221212 22211112212212 22111(),()4411(),()441()41()4CCCCCCCCCCCC(8.30)1112212 2121112212 2(8.31)同理同理:(8.32)1112212 2如果如果 1 1线沿任意线沿任意 线转到线转到 2 2线线,同样可得同样可得:1112212 2HenckyHencky第一定理第一定理(8.29)(8.32)表示单元网格四个结点上的应力和倾斜角的相互关系表示单元网格四个结点上的应力和倾斜角的相互关系8.3 滑移线的性质根据根据H.HenckyH.Hencky的研究得出的研究得出(3)、假定滑移线网格中各点的坐标、假定滑移线网格中各点的坐标(x，y)，值均为已知，则只值均为已知，则只要知道滑移线网格中任何一点的要知道滑移线网格中任何一点的 值，就可定出场内各处的值，就可定出场内各处的 值。值。11A(已知)BC12AAC沿沿 1 1线线:12BBC1C可算出B即算出12BBC沿沿 1 1线线:12CCC1C可算出C即算出同理，滑移线场内任何点的同理，滑移线场内任何点的 值均可求出值均可求出。8.3 滑移线的性质根据根据H.HenckyH.Hencky的研究得出的研究得出,2CC常数常数常数设设 线的线段是直线线的线段是直线2C如果在某些区域中两族滑移线是直线如果在某些区域中两族滑移线是直线,则在这种区域则在这种区域中的应力是均匀分布的中的应力是均匀分布的,并且参数并且参数C C ,C C 是常数。是常数。(4)、如果滑移线的某些线段是直线，则沿着那些直线的如果滑移线的某些线段是直线，则沿着那些直线的，C，C，以及应力分量以及应力分量 x，y，xy都是常数。都是常数。sin2,sin2cos2xyxy常数常数,常数11CC常数8.3 滑移线的性质根据根据H.HenckyH.Hencky的研究得出的研究得出(5)、如果如果 族族(或或 族族)滑移线的某一线段是直线，则被滑移线的某一线段是直线，则被 族族(或或 族族)滑移线滑移线所切截的所有所切截的所有(或或)线的相应线段皆是直线。线的相应线段皆是直线。0ABABABBA图 8.8设设ABAB为直线为直线AB说明说明ABAB亦亦为直线为直线ABB AC 在的全部区域中常数8.3 滑移线的性质根据根据H.HenckyH.Hencky的研究得出的研究得出(6)、若沿着某一滑移线移动，则这时在交叉点处的另外一族滑移线的、若沿着某一滑移线移动，则这时在交叉点处的另外一族滑移线的曲率半径的变化即为沿该线所通过的距离。曲率半径的变化即为沿该线所通过的距离。11RSRS 曲率半径曲率半径:(8.33)DBCA0Rs0Rs图 8.9 正向正向正向正向AB的平行线:考察滑移线面素 SSBC SSS()RSS SSSS8.3 滑移线的性质根据根据H.HenckyH.Hencky的研究得出的研究得出()RSS SSSSRS(8.34)性质性质2 2和和为常数为常数11RSRS (8.35)HenckyHencky第二定理第二定理AABPQOB图图 8.10如果塑性状态扩张的足够远，曲率半径最后必须变为零。8.4 塑性区的边界条件(8.36)一、用一、用、表示的应力边界条件表示的应力边界条件xynTS边界O图图 8.11 应力边界条件应力边界条件sin2xsin2ycos2xysin2()sin2()cos2()ntnt将将x x轴取在轴取在n n轴方向上轴方向上1arccos(/)2sin2()ntnm给定给定 n n,ntnt,值值(8.37)sinarccos(/)nntsinarccos(/)nnt2()arccos(/)nt 2 sinarccos(/)nt(8.38)平均应力的间断值平均应力的间断值:8.4 塑性区的边界条件二、符号的选择方法二、符号的选择方法OnnABBCC(,)nn t图 8.12 平均应力的间断值xyO1122ABCD图 8.13给定n，n=-nt后,、的取值需要从整体运动状态来进行判断。例例:在右边界上在右边界上 n n=1 1,n n=0,=0,取取m=0m=0112122tt若若:AB边拉力边拉力BC边拉力边拉力12t0,sin2()14 8.4 塑性区的边界条件三、刚塑性交界线三、刚塑性交界线一根滑移线或滑移线的包络线若若:不计刚体位移不计刚体位移:0:,0vvv v刚性区域塑性区域不全为交界线要发生速度间断交界线要发生速度间断8.5 典型的滑移线场一、均匀应力的滑移场一、均匀应力的滑移场OAB及及OCD区域区域:,0nntconst在直边界上AODCB图图 8.14 均匀应力和简单应力滑移线均匀应力和简单应力滑移线滑移线与边界成滑移线与边界成45 区域内区域内，都是常数都是常数二、简单应力滑移场二、简单应力滑移场OBC区域区域:紧接着均匀应力区的塑性区紧接着均匀应力区的塑性区;和均匀应力场连接处应力导数发生跳跃和均匀应力场连接处应力导数发生跳跃;点点O处的处的 是不确定的。是不确定的。8.5 典型的滑移线场三、轴对称应力滑移场三、轴对称应力滑移场px图图 8.15 轴对称应力滑移场轴对称应力滑移场1rrrOAPB图图 8.16 对数螺旋线滑移场对数螺旋线滑移场8.5 典型的滑移线场三、轴对称应力滑移场三、轴对称应力滑移场1rrrOAPB图图 8.16 对数螺旋线滑移场对数螺旋线滑移场在极坐标在极坐标(r,)中中 r=0,以以r=f()表示滑移线轨迹表示滑移线轨迹tan14rddr 0lnrR积分得积分得:(8.39)边界上r=R处的角,在r时,沿线取+号例例:图中图中A点点:0 lnrR 沿沿 线线:2,45dd ;222(ln)rddddddR 积分积分:2 ln22(12ln)(12ln)rrrrpRrpRrpR8.7 楔体的单边受压10nAB 一一、作出滑移场，定出、作出滑移场，定出 、线线AODCB图图 8.19 楔体单边受压楔体单边受压xyp()V x2问：问：当当p(x)等于多大时，达到塑性极限荷等于多大时，达到塑性极限荷载载(即允许以即允许以vy向下滑动向下滑动)。这个问题在研究。这个问题在研究边坡的稳定性问题时有意义。边坡的稳定性问题时有意义。OABOAB区域，区域，OCDOCD区域是均匀应力场区域是均匀应力场OBCOBC区域是退化黎曼问题，是中心场区域是退化黎曼问题，是中心场OBOB线是线是 线，线，ABAB线是线是 线线二、求出各点的应力值及确定塑性极限荷载二、求出各点的应力值及确定塑性极限荷载p ps s在在OAOA边：边：沿沿BCBC线：线：2dd 从点从点B B到点到点C C：22d12(2)2(2)222DC 2(21)2snDp 在在ODOD边：边：2(12)2sp(8.47)8.7 楔体的单边受压22();cossin22yyvV xvvvvv 三、求速度分布，并校核三、求速度分布，并校核(8.6)(8.6)式中的式中的 是否不小于零是否不小于零在在ODOD边：边：沿沿 线：线：0dvv d2()vvV x 在ABCD线上，法向速度要和刚性区连续，故沿ABCD(线)v0。因此，求区域ABCD内的速度分布是一个解速度场的第三边值问题解速度场的第三边值问题。0,dvvconst0d0vABCDABCD边边0v整个塑性区整个塑性区沿沿 线：线：0dvv d vconst0vODOD边边2()vV x 8.7 楔体的单边受压三、求速度分布，并校核三、求速度分布，并校核(8.6)(8.6)式中的式中的 是否不小于零是否不小于零:ijijs对于中 不小于零的要求20,2vdsdx02vvss(8.48)2()22vvdV xsxdx()0dV xdx成立的条件成立的条件(8.49)表明表明:左边的质点比右边的下滑得快左边的质点比右边的下滑得快四、校核刚性区的条件四、校核刚性区的条件32,(8.47)4s对情形只能算是p 的一个上限值32,4对情形 求出的解是完全解8.8 刚性压模的冲压问题2(1)2sp(8.50)不考虑压模与介质之间的摩擦不考虑压模与介质之间的摩擦aaPOyABABCCOx图图 8.20 刚性压模刚性压模2(2)Pa极限荷载极限荷载:总压力总压力:(8.51)2取速度场:1:,022VvvVACBvv区域的速度分布2ABA BA A 速度要降低一半8.8 刚性压模的冲压问题不考虑压模与介质之间的摩擦不考虑压模与介质之间的摩擦塑性区比图塑性区比图(8.20)小小OA边上：边上：ABB AA A 向上的速度和向下的速度相等PaaABCDOABCD图图 8.212vVBCA区域的速度场：区域的速度场：2,0vV v两个完全解的滑移场的大小可以不同，而在两者都是两个完全解的滑移场的大小可以不同，而在两者都是塑性区的地方应力分布是相同的，对应的极限荷载也塑性区的地方应力分布是相同的，对应的极限荷载也相同，但速度场有差别。相同，但速度场有差别。