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高一数学必修 1 第一章知识点总结一、集合有关概念 1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1)元 素 的 确 定 性,(2)元 素 的 互 异性,(3)元素的无序性,3.集合的表示：,如：我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋 (1)用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5(2)集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+整数集 Z 有理数集Q 实数集 R 1）列举法：a,b,c,2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。x-32,x|x-32 精选学习资料 -名师归纳总结-第 1 页，共 15 页3）语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 4）Venn图:4、集合的分类：(1)有 限 集含 有 有 限 个 元 素 的 集合(2)无限集含有无限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合例：x|x2=5二、集合间的基本关系 1.“包含”关系子集注意：有两种可能（1）A 是 B 的一部分，；（2）A 与 B 是同一集合。反之:集合 A 不包含于集合B,或集合 B不包含集合 A,记作或2“相等”关系：A=B (55，且 55，则 5=5)实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等”即：任何一个集合是它本身的子集。真子集:如果且 B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 AB(或精选学习资料 -名师归纳总结-第 2 页，共 15 页BA)如果,那么 如果同时那么 A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集，记为规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有 n 个元素的集合，含有 2n 个子集，2n-1 个真子集三、集合的运算运算类型交集并集补集定义由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集记作（读作 A 交 B），即，且 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集记精选学习资料 -名师归纳总结-第 3 页，共 15 页作：（读 作 A并B），即，或设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集，由S中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做 S中子集 A 的补集（或余集）记作ACS，即且长沙梦孜家教育咨询有限责任公司诚信 服务 奋斗韦 恩 图 示A B 图 1 A B 图 2 精选学习资料 -名师归纳总结-第 4 页，共 15 页性质A (CuA)(CuB)=Cu (CuA)(CuB)=(CuA)=U (CuA)=例题：1.下 列 四 组 对 象，能 构 成 集 合 的是（）A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2.集合a，b，c 的真子集共有个3.若集合 M=y|y=x2-0，则 M 与 N 的关系是 .4.设集合，精选学习资料 -名师归纳总结-第 5 页，共 15 页，若，则 a的取值范围是5.50 名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40 人，化学实验做得正确得有31 人，两种实验都做错得有4 人，则这两种实验都做对的有人。6.用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M=.7.已知集合 A=x|x2+2x-8=0,B=x|x2-5x+6=0,C=x|x2-mx+m2-19=0,若 BC，AC=，求 m的值二、函数的有关概念1函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合 A 中的任意一个数x，在集合 B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个精选学习资料 -名师归纳总结-第 6 页，共 15 页函数记作：y=f(x)，xA其中，x叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合 f(x)|x A 叫做函数的值域 注意：1定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一致(两点必须同时具精选学习资料 -名师归纳总结-第 7 页，共 15 页备)(见课本 21 页相关例 2)2值域 :先考虑其定义域 (1)观察法S A 长沙梦孜家教育咨询有限责任公司诚信 服务 奋斗(2)配方法 (3)代换法3.函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x),(x A)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 P(x，y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象 C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x，y)，均在C上.(2)画法精选学习资料 -名师归纳总结-第 8 页，共 15 页A、描点法：B、图象变换法 常用变换方 法 有 三 种 1)平 移 变 换 2)伸 缩 变换 3)对称变换 4区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示 5映射一般地，设A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合 A 中的任意一个元素x，在集合 B中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应 f：为从集合 A 到集合B 的一个映射。记作f：AB 6.分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集补充：复合函数如 果y=f(u)(u M),u=g(x)(x A),则 y=fg(x)=F(x)(x A)称为 f、g 的复合函数。精选学习资料 -名师归纳总结-第 9 页，共 15 页二函数的性质1.函数的单调性(局部性质)（1）增函数设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变 量x1，x2，当x1x2时，都 有f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间.如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2）图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数 单 调 区间 与 单 调 性 的判 定 方法(A)定义法：精选学习资料 -名师归纳总结-第 10 页，共 15 页1 任取 x1，x2D，且 x1x2；2 作差 f(x1)f(x2)；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定 号（即 判 断 差f(x1)f(x2)的 正负）；5 下结论（指出函数 f(x)在给定的区间 D上的单调性）(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数 u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.8函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)=f(x)，那么 f(x)精选学习资料 -名师归纳总结-第 11 页，共 15 页长沙梦孜家教育咨询有限责任公司诚信 服务 奋斗就叫做偶函数（2）奇函数一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)=f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称利用定义判断函数奇偶性的步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；2 确定 f(x)与 f(x)的关系；3 作出相应结论：若f(x)=f(x)或 f(x)f(x)=0，则 f(x)是偶函数；若 f(x)=f(x)或 f(x)f(x)=0，则 f(x)是奇函数(2)由 f(-x)f(x)=0 或 f(x)f(-x)=1 来判定;(3)利用定理，或借助函数的图象判定 .9、函数的解析表达式（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出精选学习资料 -名师归纳总结-第 12 页，共 15 页函数的定义域.（2）求函数的解析式的主要方法有：1)凑配法2)待定系数法 3)换元法 4)消参法10函数最大（小）值（定义见课本p36页）1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 2 利用图象求函数的最大（小）值3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间 a，b上单调递增，在区间 b，c上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b)；如果函数 y=f(x)在区间 a，b上单调递减，在区间 b，c上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值 f(b)；例题：1.求下列函数的定义域：221533 211()2.设函数fx()的定义域为01，则函数 fx()2 的定义域为 _ _ 精选学习资料 -名师归纳总结-第 13 页，共 15 页3.若函数的定义域为，则函数的定义域是 4.函数22(1)()(12)，若，则 x=6.已知函数，求函数()fx，的解析式7.已知函数()fx满足，则()fx=。8.设()fx是R 上 的 奇 函 数，且 当时则 当时()fx=()fx 在 R 上的解析式为 9.求下列函数的单调区间：(2)10.判断函数的单调性并证明你的结论 11.设函数 2 精选学习资料 -名师归纳总结-第 14 页，共 15 页判断它的奇偶性并且求证：)()1(xfx 精选学习资料 -名师归纳总结-第 15 页，共 15 页
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