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不定积分解题方法总结摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。关键词：不定积分；总结；解题方法不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。1.利用基本公式。（这就不多说了）2.第一类换元法。（凑微分）设 f()具有原函数 F()。则CxFxdxfdxxxf)()()()()(其中)(x可微。用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例 2：例 1：dxxxxx)1(ln)1ln(【解】)1(1111)ln)1(ln(xxxxxxCxxxxdxxdxxxxx2)ln)1(ln(21)ln)1(ln()ln)1(ln()1(ln)1ln(例 2：dxxxx2)ln(ln1【解】xxxln1)ln(Cxxxxxdxdxxxxln1)ln(ln)1(ln1223.第二类换元法：设)(tx是单调、可导的函数，并且)()(.0)(ttft又设具有原函数，则有换元公式dtttfdxf)()(x)(精选学习资料 -名师归纳总结-第 1 页，共 10 页第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：achtxtaxtaxaxashtxtaxtaxaxtaxtaxxa；：；：；：cscsec)3(cottan)2(cossin)1(222222也奏效。，有时倒代换当被积函数含有：txcbxaxxtdcxbaxdcxbaxtbaxbaxmnnnn1)6()5()4(2（7）当根号内出现单项式或多项式时一般用t代去根号。CxxxCttttdttttdttxtdxxsin2cos2sin2cos2)coscos(2sin2sin但当根号内出现高次幂时可能保留根号，cxdttdtttdttttdtttttxxxdx661212512621212arcsin611161111111111（7）当根号内出现单项式或多项式时一般用t代去根号。CxxxCttttdttttdttxtdxxsin2cos2sin2cos2)coscos(2sin2sin但当根号内出现高次幂时可能保留根号，精选学习资料 -名师归纳总结-第 2 页，共 10 页cxdttdtttdttttdtttttxxxdx661212512621212arcsin6111611111111114.分部积分法.公式：dd分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取、时，通常基于以下两点考虑：（1）降低多项式部分的系数（2）简化被积函数的类型举两个例子吧！例 3：dxxxx231arccos【解】观察被积函数，选取变换xtarccos,则tdttdtttttdxxxx3323cos)sin(sincos1arccosCxxxxxCttttttdttttdtttttttttdtdttarccos1)2(313291cos91cos32sinsin31cos)1sin31(sinsin31)sinsin31(sinsin31)sinsin31(sin)1(sin22333233332例 4：xdx2arcsin【解】dxxxxxxxdx22211arcsin2sinarcsin精选学习资料 -名师归纳总结-第 3 页，共 10 页Cxxxxxdxxxxxxxxxdxx2arcsin12arcsin121arcsin12arcsin1arcsin2arcsin22222上面的例 3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。在dd中，、的选取有下面简单的规律：选取的函数不能改变。，会出现循环，注意，)3(sin,cos)3()(arcsin,arctan,ln)2(cos,sin,)()1(xxexPxxxaxaxexPaxmaxm将以上规律化成一个图就是：但是，当xxarcsinln，时，是无法求解的。对于（3）情况，有两个通用公式：CbxbbxabaedxbxeICbxbbxabaedxbxeIaxaxaxax)sincos(cos)cossin(sin222221（分部积分法用处多多 在本册杂志的涉及lnx 的不定积分中，常可以看到分部积分）5 不定积分中三角函数的处理1.分子分母上下同时加、减、乘、除某三角函数。被积函数dxxx22cossin1上下同乘xsin变形为xxxxddxxxcos1cos1coscoscossin12令xucos，则为（lnx arcsinx）Pm(x)（ax sinx)精选学习资料 -名师归纳总结-第 4 页，共 10 页cxxcxxxduuuuuuudu2sec412tanln21cos1cos1ln41cos121)141141121(1122222.只有三角函数时尽量寻找三角函数之间的关系，注意1cossin22xx的使用。cxxxxdxxxdxxxxxdxxxxx82tanln221cossin21)4/sin(2cossin21cossin1cossin21cossincossin2三角函数之间都存在着转换关系。被积函数的形式越简单可能题目会越难，适当的使用三角函数之间的转换可以使解题的思路变得清晰。3.函数的降次形如的cossinxdxxnm积分（m，n 为非负整数）当 m 为奇数时，可令xucos，于是duuuxxdxdxxxnmnmnm21211coscossincossin，转化为多项式的积分当 n 为奇数时，可令xusin，于是duuuxxdxxdxxumnmnm21211sincossincossin，同样转化为多项式的积分。当 m，n 均为偶数时，可反复利用下列三角公式：,22cos1cos,22cos1sin,2sin21cossin22xxxxxxx不断降低被积函数的幂次，直至化为前两种情形之一为止。形如xdxntan和xdxncot的积分（n 为正整数）精选学习资料 -名师归纳总结-第 5 页，共 10 页令xdxutan，则uxarctan，21ududx，从而,1tan2duuuxdxnn已转化成有理函数的积分。类似地，xdxncot可通过代换xucot转为成有理函数的积分。形如xdxnsec和xdxmcsc的积分（n 为正整数）当 n 为偶数时，若令xutan，则21,arctanududxux，于是duuduuudxxxdxnnnn122222221111tan1sec已转化成多项式的积分。类似地，xdxncsc可通过代换xucot转化成有理函数的积分。当 n 为奇数时，利用分部积分法来求即可。4.当有 x 与三角函数相乘或除时一般使用分部积分法。cxxxxxdxxxxxxdxxdxxxdxxxxdxx2cos812sin41412sin412sin41412sin41412cos214122cos1sin222225.几种特殊类型函数的积分。（1）有理函数的积分有理函数)()(xQxP先化为多项式和真分式)()(*xQxP之和，再把)()(*xQxP分解为若干个部分分式之和。（对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现nnxadxI)(22时，记得用递推公式：121222)1(232)(1(2nnnInanaxnaxI）精选学习资料 -名师归纳总结-第 6 页，共 10 页1.有理真分式化为部分分式之和求解简单的有理真分式的拆分cxxdxxxxdxxx44341ln41ln1111注意分子和分母在形式上的联系cxxcttdtttttdtxtxxdxxxxdx33lnln33ln3ln311313337777767此类题目一般还有另外一种题型：cxxdxxxxdxxxx52ln215222215212222.注意分母（分子）有理化的使用Cxxxxxxdx23233212132121412321232例 5：dxxxxxx223246)1(24【解】223222346223246)1(24)1()1(24xxxxxxxxxxxx22322)1(241xxxxx2222422242223222)1(12)1(24)1(24)1ln(211xdxxxxxdxxxxdxxxxCxdxxxCxxCddd)1(1111)1(11()1()1()1(122222222222故不定积分求得。精选学习资料 -名师归纳总结-第 7 页，共 10 页（2）三角函数有理式的积分万能公式：2tan12tan1cos2tan12tan2sin222xxxxxx化为有理函数可用变换2tan)cos,(sin)cos,(sinxtdxxxQxxP的积分，但由于计算较烦，应尽量避免。对于只含有tanx（或 cotx）的分式，必化成xxxxsincoscossin或。再用待定系数xbxaxbxaBxbxaAsincos)sincos()sincos(来做。（注：没举例题并不代表不重要）（3）简单无理函数的积分一般用第二类换元法中的那些变换形式。像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现xx1和时，可令tx2tan；同时出现xx1和时，可令tx2sin；同时出现xxarcsin12和时，可令 x=sint；同时出现xxarccos12和时，可令 x=cost 等等。（4）善于利用xe，因为其求导后不变。cxexecttdtttxetxedxexedxxexexedxxexxxxxxxxxxxx1ln1ln11111111这道题目中首先会注意到xxe，因为其形式比较复杂。但是可以发现其求导后为xxxee与分母差xe，另外因为xe 求导后不变，所以容易想到分子分母同乘以xe。（5）某些题正的不行倒着来精选学习资料 -名师归纳总结-第 8 页，共 10 页cyyydyydyyyyyuduuuduuuuuuudduuuuduuuuuuxdxxxtantantansecsectansec11ln11ln1ln111ln1sinsinsinln2222222222cxxxxxdxxxdxxxxxxxxxdxxxxdcotsinlncotcotsinlncotsincossincossinlncotsinlncotsinlncotcotsin原式2这道题换元的思路比较奇特，一般我们会直接使用xusin，然而这样的换元方法是解不出本题的。我概括此类题的方法为“正的不行倒着来”，当xusin这类一般的换元法行不通时尝试下xusin1。这种思路类似于证明题中的反证法。（6）注意复杂部分求导后的导数dtetttxtdxxxxxxt22212lnln21ln2ln注意到:tttttttettetyettettyettetety2233323321212122226132123-212yyyetttt精选学习资料 -名师归纳总结-第 9 页，共 10 页cxxexxcttettdtettetdtettettdtettetetdtetttxtttttttttlnln3lnln2lnlnln32ln21213222261212ln3322333322本题把被积函数拆为三部分：321,yyy，1y 的分子为分母的导数，2y 的值为 1，3y 的分子为分母因式分解后的一部分。此类题目出现的次数不多，一般在竞赛中出现。（7）对于)0(),(2adxcbxaxxR型积分，考虑acb42的符号来确定取不同的变换。如果0，设方程02cbxax两个实根为,，令xtcbxax2，可使上述积分有理化。如果0，则方程02cbxax没有实根，令txacbxax2，可使上述积分有理化。此中情况下，还可以设cxtcbxax2，至于采用哪种替换，具体问题具体分析。精选学习资料 -名师归纳总结-第 10 页，共 10 页
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