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1 反比例函数26.1 知识点 1 反比例函数的定义一般地，形如xky（k 为常数，0k）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：x 是自变量，y 是 x 的反比例函数；自变量x 的取值范围是0 x的一切实数，函数值的取值范围是0y；比例系数0k是反比例函数定义的一个重要组成部分；反比例函数有三种表达式：xky（0k），1kxy（0k），kyx（定值）（0k）；函数xky（0k）与ykx（0k）是等价的，所以当y 是 x 的反比例函数时，x 也是 y 的反比例函数。（k 为常数，0k）是反比例函数的一部分，当k=0 时，xky，就不是反比例函数了，由于反比例函数xky（0k）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。26.2 知识点 2 用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数xky（0k）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。26.3 知识点 3 反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0 x，函数值0y，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。反比例的画法分三个步骤：列表；描点；连线。再作反比例函数的图像时应注意以下几点：列表时选取的数值宜对称选取；列表时选取的数值越多，画的图像越精确；连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。（1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直越小，图象的弯曲度越大（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；精选学习资料 -名师归纳总结-第 1 页，共 7 页2 当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而增大（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上4 k 的几何意义如图 1，设点 P（a，b）是双曲线上任意一点，作PAx 轴于 A 点，PBy 轴于 B 点，则矩形PBOA 的面积是（三角形PAO 和三角形PBO 的面积都是）如图 2，由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点Q 也在双曲线上，作QCPA 的延长线于C，则有三角形PQC 的面积为图1 图 2 5说明：（1）双 曲 线 的 两 个 分 支 是 断 开 的，研 究 反 比 例 函 数 的 增 减 性 时，要 将 两 个分支分别讨论，不能一概而论（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称（3）反比例函数与一次函数的联系26.4 知识点 4 反比例函数的性质关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：反比例函数xky（0k）精选学习资料 -名师归纳总结-第 2 页，共 7 页3 k的符号0k0k图像性质x的 取 值 范 围 是0 x，y 的取值范围是0y当0k时，函数图像的 两 个 分 支 分 别 在 第一、第三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。x的 取 值 范 围 是0 x，y 的取值范围是0y当0k时，函数图像的 两 个 分 支 分 别 在 第二、第四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内”否则，笼统地说，当0k时，y 随 x 的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数k 的符号决定的，反过来，由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号。如xky在第一、第三象限，则可知0k。反比例函数xky（0k）中比例系数k 的绝对值k的几何意义。如图所示，过双曲线上任一点P（x，y）分别作x 轴、y 轴的垂线，E、F 分别为垂足，则OEPFSPEPFyxxy矩形k反比例函数xky（0k）中，k越大，双曲线xky越远离坐标原点；k越小，双曲线xky越靠近坐标原点。双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x 和直线 y=x。练习一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1、下列函数中y 是 x 的反比例函数的是（）A 21xyB xy=8 C 52xyD 53xy2、反比例函数 yxn5图象经过点（2，3），则 n 的值是（）A、2B、1C、0D、1 3、函数与在同一平面直角坐标系中的图像可能是（）。精选学习资料 -名师归纳总结-第 3 页，共 7 页4 4、若点 A(x1,1)、B(x2,2)、C(x3,3)在双曲线上，则（）A、x1x2x3 B、x1x3x2 C、x3x2x1 D、x3x1x25、如图 4，A、C是函数 y=的图象上任意两点，过点A作 y 轴的垂线，垂足为 B，过点 C作 y 轴的垂线，垂足为 D，记 RtAOB 的面积为 S1，RtCOD 的面积为 S2，则（）图 4 A、S1S2；B、S1S2；C、S1=S2；D、S1和 S2的大小关系不能确定6、在反比例函数1kyx的图象的每一条曲线上，yx都随的增大而增大，则 k 的值可以是（）A1B0 C1 D2 7、如图 2，正比例函数 y=x 与反比例 y=的图象相交于 A、C 两点，ABx 轴于 B，CDx 轴于 D，则四边形 ABCD 的面积为（）A、1 B、C、2 D、8、已知反比例函数yxm21的图象上有 A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当 x1x20 时，y1y2，则m 的取值范围是（）A、m0B、m0C、m21D、m219、一次函数 ykxk，y 随 x 的增大而减小，那么反比例函数yxk满足（）A、当 x0 时，y0B、在每个象限内，y 随 x 的增大而减小C、图象分布在第一、三象限D、图象分布在第二、四象限10、若反比例函数的图象经过点（a，-a），则 a 的值为（）A、2；B、2；C、-2；D、4 二、填空题（每小题 4 分，共 40 分）11、已知正比例函数y=k1x(k10)与反比例函数y=2kx(k20)的图象有一个交点的坐标为(-2，-1)，则它的另一个交点的坐标是A B C yx O D xy4-精选学习资料 -名师归纳总结-第 4 页，共 7 页5 12、函数22)2(axay是反比例函数，则a的值是13、正比例函数5yx的图象与反比例函数(0)kykx的图象相交于点A（1，a），则 k14、反比例函数 y（m2）xm210的图象分布在第二、四象限内，则m 的值为15、在反比例函数xky1的图象上有两点11()xy，和22()xy，若xx120时，yy12，则k的取值范围是16、如图，点 M 是反比例函数yxa（a0）的图象上一点，过M 点作 x 轴、y 轴的平行线，若S阴影5，则此反比例函数解析式为轴、y 轴作17、如图，点 A、B 是双曲线3yx上的点，分别经过 A、B 两点向x垂线段，若1S阴影，则12SS18、点 P 在反比例函数1yx(x 0)的图象上，且横坐标为2.若将点 P 先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的像为点P.则在第一象限内，经过点 P 的反比例函数图象的解析式是_ 19.如图，直线 y kx(k0)与双曲线xy4交于 A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则 2x1y27x2y1_ 20、如图 5，A、B 是函数2yx的图象上关于原点对称的任意两点，BCx轴，AC y 轴，则 ABC 的面积 S=_ 三、解答题（共 50 分）21、（8 分）已知21yyy若1y与2x成正比例关系，2y与 x 成反比例关系，且当 X=-1 时，3 由1 时，5 时，求与的函数关系式？O B xyC A 图 5 x yA B O 1S2S17 题图精选学习资料 -名师归纳总结-第 5 页，共 7 页6 22、（10 分）如图所示：已知直线x21与双曲线)0(kxk交于两点，且点的横坐标为4 求的值 若双曲线)0(kxk上的一点 C的纵坐标为 8，求 AOC 的面积23、（8 分）在反比例函数xky的图像的每一条曲线上，y 都随x的增大而减小在曲线上取一点A，分别向x轴、y 轴作垂线段，垂足分别为B、C，坐标原点为 O，若四边形 ABOC 面积为 6，求 k 的值24、（24 分）如图，已知反比例函数 yxk的图象与一次函数 yaxb 的图象交于 M（2，m）和 N（1，4）两点（1）求这两个函数的解析式；（2）求MON 的面积；（3）请判断点 P（4，1）是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由（4）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围x y A B O 精选学习资料 -名师归纳总结-第 6 页，共 7 页7 参考答案1、B 2、D 3、B 4、C 5、C 6、D 7、C 8、D 9、D 10、B 11、(2，1)12、-1,13、-5 14、-3,15、K-1 16、y=x5,17、4 18、y=x6,19、4 20、4,21、y=-x2-x422、k=8,AOC 的面积=1523、k=6,24、(1)y=x4,y=2x-2(2)=3,(3)在，(4)、x-1 或 0 x 2 精选学习资料 -名师归纳总结-第 7 页，共 7 页
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