第二节正确解读与分析教材内容

第二节、 正确解读与分析教材内容现行的教材内容，都以数学课程标准的基本理念和所规定的教学内容为依据。一方面在努力体现新的教材观，教学观和学习观，同时注意采用措施的可行性，使教材具有创新，实用，开放的特点。另一方面注意处理好继承与发展的关系，既注意反映数学教学改革的新理念，又注意保持我国传统数学教学教育的优良传统，使教材具有基础性，丰富性和发展性。特级教师沈重予曾说过：“教材是执行课程标准与体现课改精神的载体，也是众多教育专家和一线教师智慧的结晶，粗线条的阅读肯定是不行的。教材上每个章节的每一道例题都有一定的教学目标，不仅如此，例题中的每一个要求、问题，其背后都蕴涵着特定的意图。同样，各道练习题也有不同层次的要求与目标。因此，仅仅看了表面内容就不假思索、大刀阔斧地变更教材，不是一个智者的教育行为。”所以，对我们广大教师而言，要用好、用活教材，首先要认真解读教材。但是有些教师缺乏对教材的研究，误读误解，导致教学内容的分析与设计脱离教学目标，教学效果不尽人意。问题透视 1、注重情境创设的模式，忽略情境创设的实质理念误解 案例一均值不等式的教学片段师：把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放一砝码使天平平衡，称得物体的质量为，由于天平制造不精确，天平的二臂长略有不同，那么并非实际质量。不过我们可以作第二次测量，把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为，那么物体的实际质量是多少呢？生1：实际质量应该在与之间。生2：应该是.师：猜想正确吗？生3：应该不会那么简单。师：那么请大家应用物理知识求物体的实际质量。生4：实际质量为：.师：对于非负实数、，称为、的算术平均数，为、的几何平均数。二者之间的大小关系如何？大家可以取一些具体数据进行实验。课程标准将均值不等式“”作为基本不等式列入教材，要求学生探索并了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。将最基本的不等式列入教学内容，并且突出求解不等式模型的基本方法，既防止陷入烦琐的计算、人为技巧的难题，也不过分强调细枝末节的内容。案例六中的问题情境创设的目的有二，一是为了引出，两个数，为导入课题做铺垫，二是为了制造物体实际质量是多少的悬念激发学生的求知欲望，看似顺理成章。但是仔细推敲，不难发现，案例中通过问题情境引导学生得出这两个数后，还是由教师向学生介绍和解释这两个数的含义（算术平均数，几何平均数），那么这与直接介绍有什么区别呢？，情境中产生的悬念大有喧宾夺主之意，物理方法求实际质量对学生探求公式的证明毫无意义，这种情境的创设显然是资源的浪费，这是教师对新课程理念的误解，对情境创设的盲目追求，没有把情境创设实质意义作为教学设计前提条件，致使教学内容的设计流于形式。我们觉得本节课的重点应放在探索两数大小和公式证明的设计上。情境创设要为学生获得知识、学会探索创造条件。2、念旧情怀，教着新教材，想着老教材结构误解案例二二面角习题课的教学设计片段例题1：已知三角形ABC中，角ABC=30，PA垂直平面ABC，PC垂直BC，PB与平面ABC成45角，求二面角APBC的正弦值。方法一：过A作平面PBC的垂线，用等体积法求出高；方法二、利用三垂线过C作平面PAB的垂线。例题2：三棱柱中三角形ABC是边长为a的正三角形，侧棱AA=a且与底面垂直，M是棱CC的中点，求平面ABM与平面ABC所成的二面角的平面角。方法提示：作交线是关键。案例三函数单调性复习课的教学设计片段1、求下列函数单调区间（1）；（2）；（3）； （4）.2、若函数在上单调递减，求取值的范围。新课程的教材内容突出了时代要求的新“双基”。课程内容注入了许多知识的人文与科学的内涵。新教材内容与老教材相比，有了很大的变化，部分内容对传统内容进行了较大的调整，教学的要求也完全不同。但是一些教师，念旧情怀比较严重，总想着要把自己的经验一股脑地传授给学生，课堂上，教师一方面战战兢兢，患得患失；另一方面自得其乐，意犹未尽。 案例二与案例三中，教师显然对新课程标准中的课程结构不清楚；对教材内容的设置没有全面了解；对新课程中各部分教材内容的要求把握不准；受高考应试教学的影响，对教学要求随意提高，教学内容无限扩张，将老教材内容在新教材中不作要求的部分依旧加到新教材内容的序列中来。致使教学进度缓慢，学生学习负担加重，最后是得不偿失。课程标准对立体几何有明确的教学要求，二面角只要求学生了解其概念，会根据定义求一些简单二面角的问题，对于复杂问题，教材只对理科生作出要求，可利用空间向量进行处理。对三垂线定理的应用已不作要求，教材中的例题只是为了让学生对三垂线定理有所了解。复合函数的单调性的理解、判断、应用，新教材也明确高中教学不作要求，只对一些简单复合函数的单调性作了解要求，并指出教学中应采用螺旋上升的教学方法使学生逐步理解。上述案例中，教师显然对教材的结构解读产生了偏差。教师没有弄清老教材与新教材在知识结构上的区别与联系，把新教材中不作要求的内容也列入了教学内容序列，新老教材一起上；教师忽略了学生对函数问题的认识的顺序性和时差性，误解了教材编写意图，擅自改变教材的模块结构，总想着教学要一气呵成，却成拔苗助长之意。3、知识缺乏研究性，教学缺乏有效性知识误解案例四一道考题讲评的教学片段描述试题：经过长期观测，在交通繁忙时段内，某交通要道车流量千辆每小时与平均车速千米每小时之间的函数关系为。问在这段时间内，为多少时，车流量最大，并求最大车流量。（让学生先做题，再提问）生1：由于，所以把分子分母同时除以，分母上可以使用基本不等式求出最大值。师；我们把这种变形称为集中变量，是处理分式函数常用的方法；基本不等式是求函数最值常用方法之一。还有别的方法吗？（学生无反应）师：可不可以用导数求？（教师指向明确，学生求导运算，顺利解决问题）师：还有别的方法吗？（自问自答）与二次函数有关的问题是否可以用判别式法呢？（学生无反应）教师对函数进行变形（提示学生，学生略有所悟），教师逐步引导解题过程完成。 我们可以看出这为老师备课是充分的，是在认真地教书。但在学生用第一种方法方法解题之后，硬是把后两种方法塞给了学生，这完全是教师一相情愿的灌输式教学，对学生的发展是不利的，这是教师对数学知识缺乏研究的结果。事实上，方法一正好隐藏了学生在运用基本不等式求最值时的典型错误，不考虑在定义域内等于号是否取得的问题。显然教师在教学内容设计时，对这一知识的内涵及其特征缺乏研究，课堂教学时也没有认识到这一点，没有意识到要对定义域做适当调整，暴露学生的错误问题，失去了帮助学生纠错的大好机会，而是把几种方法独立开来，就题论题，这是对教学资源极大浪费。如果是因为教师对问题研究的缺乏，导致发生科学性错误，那么教师的责任就大了。仔细去研究这道题目，我们会发现，问题中蕴涵着极其丰富的内涵，若经过教师充分挖掘，我们可以用较少的时间与精力，将其所含的知识、技能、思维、思想、情感等各种营养成分，滋润学生的大脑和心灵，将会有事半功倍之效。不等式的综合应用是高考的热点、重点、难点，它与函数、导数、三角、几何等重点知识都可构成综合性比较强的问题。教师只有认识到知识的本质特征，注意到不同知识之间的内在联系，重视知识所蕴涵的数学思想方法和思维，才能真正内化教材内容为教学内容，驾驭数学课堂教学，让教学变得轻松自然流畅，提高课堂教学的有效性。策略导引新教材是执行课程标准与体现课改精神的载体，是对新课程价值取向的具体化和物质化。教材只是为教师的教学提供了一个创造性发挥的空间，教师不需要照本宣科，但也不能天马行空，完全弃之不顾。教材上的每个章节的每一个问题与情境的背后都蕴涵着特定的意图，各道练习题也有不同层次的要求目标。教师只有做到读通教材，读透教材，理解教材编排的意图，才有可能做到在充分理解、尊重教材的基础上，对教材进行重组、创造，并在实践探索中实现对教材的超越，从而提高课堂教学的效率。那么如何才能正确解读教材呢？我们认为以下原则可以借鉴。1、整体性原则当前新课程背景下，数学教学效率不高的问题仍然存在，原因之一就是一些教师对教材缺乏整体把握。所谓“整体把握”，就是指在感知过程中把一个客观对象当作一个整体来对待。所谓“整体把握教材”，就是教师在解读教材时，应把握教材的整体结构，把教材作为一个完整的不可分割的统一体，了解教材的知识内容及编排体系，对教材获得全方位的认知与感悟，从而形成系统化的教学策略。从解读教材的具体操作来讲，就是要站在教材整体结构的高度上，依据教材目录，理清知识体系，把握教学目标的阶段性和连续性。案例五棱柱、棱锥和棱台的教学流程（一）: 展示图片及实物（二）: 展示简单的空间几何体模型(柱棱台)（三）: 动画演示棱柱的形成（四）: 展示图棱柱 , 观察分析性质特征（五）: 展示图棱锥 , 观察分析性质特征（六）: 动画演示 收缩成棱锥 （七）: 动画演示 切割成台 （八）: 例1:画图（九）: 例2:问几何体是不是棱台?（十）: 例3:补形,切割.（十一）: 展示图(5) 晶体 -多面体的概念（十二）: 问题：(1)多面体至少有几个面?这个多面体是怎样的几何体?(2)等边三角形如何折成上述的几何体?(可延伸)(3)六根相同的火材棒 (首尾相连)最多可以搭成几个正三角形?（三个棒能搭成几个直角）（十三）小结归纳本节内容既是义务教育阶段“空间与图形”课程的延续和提高，也是后续研究空间点、线、面位置关系的基础，在教材中起着承前启后的作用。由于人们对客观世界的感知首先是体，而不是面，更不是点。因此，学习立体几何时，学生应先从对空间几何体观察入手、认识空间图形；再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系。在本节教学中,教师充分借助实物模型，多媒体动画，从整体观察入手，运用运动变化的观点，通过直观感知、操作确认，引导学生认识柱、锥、台、球等简单几何体的结构特征，多角度、多层次地揭示空间图形的本质特征，突出不同几何体的本质联系。在教学适度形式化的同时，引导学生探究立体几何的学习方式，帮助学生逐步完善思维结构，提高了学生的空间想象能力。正是基于对教材的整体把握，教师才能理清知识体系；把握教学目标的阶段性和连续性；把握教学的重点、难点；把握教学内容设计的组织调控。本节课中，教师从整体上认识到：学生的空间想象能力与学习立体几何的方法比学习知识还要重要。把提高学生的空间想象能力，探讨立体几何的学习与思维方式作为教学目标渗透到每一个教学环节上，突出教学的重点，有效突破教学难点，使得学生在获得知识的同时，收获学习立体几何的思想方法，为学生后续性的学习立体几何开一个好头，是本节课要完成的主要目标，也是教学内容设计的指导思想。 2、联系性原则没有联系，我们只能孤立；没有联系，我们只能原地踏步。寻求联系是必然的要求，解读教材也不例外。教材是重要的课程资源。教师对教材的理解既要关注教材的知识体系，还应体会蕴含其中的思想方法及教学思路等。教材上每个章节的每一个要求、问题，其背后都蕴涵着特定的意图。同样，各道练习题也有不同层次的要求与目标。教师在处理教材内容时，要理解编者的用意，不能简单地就题讲题，要梳理出教材的序，要注意数学知识的阶段性，善于将前后知识联系起来，从而形成一个有机的整体。联系主要表现在以下几方面：一是教学内容与学生已有知识的联系，包括学生已经具备了哪些知识和经验，知识的生长点是什么等。教师要十分重视将当前知识纳入原有认知结构的建构活动。二是教学内容对后续学习的影响，包括弄清教学内容在整个教材中的地位和作用，它应该为后继学习提供什么样的知识和方法准备等。三是习题与教学内容的关系。习题往往是教学内容的巩固和拓展，但要了解它在帮助学生理解教学内容中的作用。教材一般是一道例题就是一个知识点，一组例题就形成一条知识链。教师要注意研究教材中每道习题的功能和思维训练上的特点，研究习题与教材内容的相互搭配，从而合理并有效地使用教材中的每一道习题，让教材蕴含的思想凸显出来，帮助学生进行抽象概括，把握知识的内涵。只有如此解读教材，才能揭示数学的本质，彰显数学的魅力。案例六一道课本例题的教学片段例题：将圆上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线方程，并说明它是什么曲线。（苏教版选修的例）生：这是一个焦点在轴上的椭圆，因为椭圆与坐标轴的交点分别有，所以易得，那么椭圆的方程为师：有谁来对他的解法作一个评判？生：我不知道这个做法对还是不对，但是我有一个问题：为什么是个椭圆呢？在他的解题过程中没有给出解释和证明。师：大家看呢？(明显是个椭圆嘛，大家议论纷纷。)师：大家的直觉都很好，数学学习需要直觉思维，但是解决数学问题仅靠直觉可以吗？我觉得刚才这位同学所提出的问题是值得大家去思考的，通过直觉思维所得到的结论还只是属于猜想阶段（填空可以考虑“冒个险”），一个数学结论的得出还需要严密的逻辑推理、计算和证明。生：我可以证明它是个椭圆，我是先猜想并计算出椭圆的焦点，的坐标是，然后设圆上的任意一点，则新曲线上的任意一点为，因为，又因为，所以，所以该曲线是椭圆。师：通过反思和质疑，使得我们圆满的用椭圆的定义求得了曲线方程，除了定义法之外还有其它方法吗？生：这个问题让我想起了三角函数中学习的伸缩变换，纵坐标变为原来的一半，只要把方程中的用替换，就可以得到新的曲线方程。教师引导，共同归纳：关于的二元方程表示的曲线变换一般有两种：平移变换：若把曲线向右平移个单位，再向上平移个单位，则得得到曲线方程为，反之得；伸缩变换：若把曲线的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的倍，则得到曲线方程为（）师：解题需要联想和类比，把新知识与其它知识之间建立有效的联系，对解题的思维是有益的还有其它方法吗？师：新曲线上的点是随圆上点的变化而变化的，而圆上点的坐标又满足圆的方程，因此，可以寻找并建立所求曲线上的点的坐标与已知圆上点的坐标的几何的或数量的关系，从而建立方程。生：设所求曲线上的点为，圆上相应的点为，则有代入方程并化简得：师；点的坐标还可以怎么设？生：设点p为，点m为，则有易得：师：那种方法更好呢？（以下变题教学过程省略）教材中的例题是典型问题的示范，其蕴涵的知识与方法内涵是丰富的，教师只有充分挖掘隐含其中的内涵，寻找不同知识之间的内在联系，才能从整体上把握教材，有效地组织教学。我们从案例中可以看出，这位教师对教材的研读是深刻的；对教材的内容是熟悉的；对教材内容的整体把握也是到位的。教师没有被孤立在问题本身的这个小圈里，他对例题的讲解不是就题论题，也没有孤立地去对待不同的知识与思想方法，而是把例题中所蕴涵的圆、椭圆、轨迹、参数方程、三角、图象变换、运算推理等知识与方法通过合理、有序的方式，巧妙地组织在一起，自然地呈现在学生面前，对学生构建知识网络，全面认识知识的内涵与本质起到了积极作用。本例在运用联系性原则解读教材时，教师通过对例题的解读，从三个方面研究了下列联系：知识与实际问题的联系；知识内部的联系；不同知识之间的联系；不同方法之间的联系；知识、方法的发生、发展过程与学生的认知特点的联系；教材内容的前后联系。案例中，教师问“哪种方法更好？”，就是要引导学生注意分析不同方法之间的区别与联系，帮助学生建立良好的方法体系，优化解题途径，优化学生的思维品质与情感态度。而引导学生归纳曲线伸缩变换的一般规律，则是教师根据学生认知特点解读教材的结果，抓住了有利的教育时机，灵活地处理好了知识内部的联系，完善了学生的知识结构。从研究性学习的角度来看，我们还从圆和椭圆的前后联系，引导学生去探索椭圆的参数方程以及椭圆的面积，但这已经不是教学目标所要求的内容，因此我们在运用联系性原则解读教材时，还要依据教学目标，不能随意而为，以免课堂教学成流水。案例一中的反馈练习，也是它的典型反例。总之，对教材内容前后及其它联系的研究可以帮助我们从整体上把握教学内容设计的重点难点和教学的策略，是课堂有效性教学的关键。3、详略性原则一般情况下，教学内容应有详有略，而这种详略从教材上有时是难以发现的。因为教材讲究体系的完整性，所以必须面面俱到。但我们解读教材时，还必须对于那些重点难点加以分解、补充或拓展，以保证课堂教学的高效运行。所以从这个角度看，详略性原则又是课堂教学的高效原则。那么，我们在解读教材时，怎样才能做到详略得当呢? 一般情况下，其原则是：点题的应详，铺垫的应略；重点难点应详，一般知识应略。案例七 圆的方程教学过程简述多媒体展示：赵州桥的图片师：赵州桥是什么形状的桥，（圆拱桥） 师：圆是怎样定义的？生：一起给出了圆的定义。（教师板书）多媒体：教材中的引例，图片、图形以及坐标系一起和问题给出。（给学生思考片刻）师：这样的问题我们一般分这样几个步骤来完成，第一然后在学生的一片附和声中，幻灯片一张张放过，问题也就结束了。师：我们能不能把这个问题一般化呢？（给出问题：一般的， 以C(a , b) 为圆心 r为半径的圆方程是_。同时给出图形 ）生： (x-a)2+(y-b)2=r2（老师补上r0）师：这个方程是怎样求的呢？多媒体：按照教材把过程展示出来，并强调了曲线方程及方程曲线的概念。师：这样的方程我们把它叫做圆的标准方程，若把a、b都取为0，我们得到的方程表示的圆是什么圆呢？生：是圆心在原点的圆。老师：我们把x2+y2=1表示的圆叫做单位圆。（多媒体同时展示文本）练习： 1.若一圆的标准方程为(x-1)2+(y+5)2=3, 则此圆的圆心为_半径为_.2.已知圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r0), 若a=0且 b=r, 则此圆的位置特征是 ( )A. 圆心在x轴的负半轴上, 且与y轴相切B. 圆心在x轴的正半轴上, 且与y轴相切C. 圆心在y轴的负半轴上, 且与x轴相切D. 圆心在y轴的正半轴上, 且与x轴相切多媒体：标准方程，请大家把标准方程展开。（学生给出展开式）师：观察方程的展开式，我们可以给出一个一般形式：x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2）。（板书）思考： x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D，E，F为常数）一定是圆的方程吗？师：我们对它进行配方，（学生动手配方）与标准方程做比较。生：对D2+E2-4F的符号进行讨论。（学生边说，幻灯片一边跟着播放，板书）练习及例题：（教师引导，学生回答，教师肯定，推理、计算过程都由多媒体代替）师生小结：圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合构成圆，定点即为圆的圆心，定长即为圆的半径。课程标准中对圆的方程教学安排了两课时，说明教材对此内容有了详略安排。第一课时的重点有二，一是理解解析法；二是掌握圆的标准方程及其应用。第二课时的重点是掌握圆的一般方程的特征及其应用。案例中，教师两课并一课，课堂信息容量大，但教学效果较差。究其原因，我们认为是教师对教材内容的详略把握不当，一味追求容量，导致课堂教学中的重点没有突出，学生没有经历重点内容的发生、发展过程，显然有些消化不良。对本节课的教材内容，我们认为可以做如下安排：1、把圆的标准方程与一般方程分开做两课时教学，以免重点过多冲淡主题；2、赵州桥情境是为了让学生了解中国造桥文化，激发学习热情，导入课题而创设，不是教学目标的重点，因此，这段教学要简略设置，让学生有所了解即可，不要花费过多时间和精力；3、解析法是学生学习解析几何的重要思想方法，在圆锥曲线中都要涉及到，因此这段教学要详细安排，要让学生自己通过分析获得解析法的基本步骤，教师不能用多媒体简单代劳，教师应借助圆的标准方程的推导提炼解析法，力求一举两得；4、方程曲线与曲线方程方程的概念，教学目标的要求是采用螺旋上升的方式让学生了解，因此我们认为它的教学也应是略，只要通过具体问题向学生提出概念的即可。5、圆的标准方程的几何特征及其运用是本节课的重点，因此教师应把主要精力放在这段教学上，对教材内容要做适当放大，让学生充分认识知识的内涵与特征，挖掘知识的内部联系与外部联系，帮助学生建立完整的知识结构体系；6、课堂小结过于简单，学生对圆的认识不能止于定义，教学中应在方法提炼等问题上给予足够的重视。正确解读教材内容是有效教学的保证。解读教材内容的原则和标准有很多，我们在这不能一一列举，仅提供参考。在解读教材时，对这些原则，我们可以独立思考，也可全面考虑。总之，不管如何解读教材，都要弄清楚我们要教什么、怎么教、为什么这样教的道理，一切要为有利于学生而想。只有深入研究教材、研究学生、研究教法，教师才能灵活运用这些原则去正确地解读教材。