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第一章 命题逻辑习题1.11解 不是陈述句，所以不是命题。 x取值不确定，所以不是命题。 问句，不是陈述句，所以不是命题。 惊叹句，不是陈述句，所以不是命题。 是命题，真值由具体情况确定。 是命题，真值由具体情况确定。 是真命题。 是悖论，所以不是命题。 是假命题。 2解 是复合命题。设p：他们明天去百货公司；q：他们后天去百货公司。命题符号化为。 是疑问句，所以不是命题。 是悖论，所以不是命题。 是原子命题。 是复合命题。设p：王海在学习；q：李春在学习。命题符号化为pq。 是复合命题。设p：你努力学习；q：你一定能取得优异成绩。pq。 不是命题。 不是命题 。是复合命题。设p：王海是女孩子。命题符号化为：p。 3解 如果李春迟到了，那么他错过考试。 要么李春迟到了，要么李春错过了考试，要么李春通过了考试。 李春错过考试当且仅当他迟到了。 如果李春迟到了并且错过了考试，那么他没有通过考试。4解 p(qr)。pq。qp。q p。习题1.2 1解 是1层公式。 不是公式。 一层： pq，p 二层：pq所以，是3层公式。 不是公式。 (pq)(q( qr)是5层公式，这是因为 一层：pq，q，r 二层：qr 三层：q( qr) 四层：(q( qr) 2解 A=(pq)q是2层公式。真值表如表2-1所示：表2-1pq0000011110101111 是3层公式。真值表如表2-2所示：表2-2pq00101011101000111111 是3层公式。真值表如表2-3所示：表2-3pqr00000010010001010001101100111000011101001111010111111111是4层公式。真值表如表2-4所示： 3解 真值表如表2-5所示：表2-5pq001111011000100101110001所以其成真赋值为：00，10，11；其成假赋值为01。 真值表如表2-6所示：表2-6pqr0000100100010010110010001101001101111111所以其成真赋值为：000，010，100，110，111；其成假赋值为001，011，101。真值表如表2-7所示，所以其成真赋值为：00，11；成假赋值为：01，10，。 4解 设，其真值表如表2-8所示：表2-8pq00011010111001111101故为重言式。 设A=(pq)(pq)，其真值表如表2-9所示：表2-9pqpqpq(pq)A000010010100100100111100故A=(pq)(pq)为矛盾式。 设A=(pq)(pq)，其真值表如表2-10所示：表2-10pq001010011111100100110010故A=(pq)(pq)为可满足式。 设，其真值表如表2-11所示：表2-11pqr0001111100111111010100110111111110001001101010111101000111111111故为重言式。习题1.3 1解 真值表如表2-12所示：表2-12pq0011101011001010010101100010由真值表可以看出和所在的列相应填入值相同，故等值。 真值表如表2-13所示：表2-13pq001000010000101011110101由真值表可以看出和所在的列相应填入值相同，故等值。 真值表如表2-14所示：表2-14pq0011111011011110010101100100由真值表可以看出p和(pq)(pq)所在的列相应填入值相同，故等值。真值表如表2-15所示：pqrqr p(qr) pq (pq)r 00011010011101010010101111011001101101110111000101111111表2-15 由真值表可以看出p(qr)和(pq)r所在的列相应填入值相同，故等值。2证明 (pq) (pq) (pq)( pq) p (qq) p。(pq)(qp)(pq) (qp)(pq)(p p)( qq)(q p)( pq)(pq)。由可得，(pq)( pq)(pq)( pq)(pq)(qp)(pq)pq。p(qr) p(q r) q(p r) q( p r)。 3解 (pq)(pq)pq (pq)( pq)pq (pq)(pq)(qp)(pq)(qp)(pq) (pq) pq。同理可证(pq) pq。 4解 与习题2.2第4（4）相同。 真值表如表2-16所示：表2-16p q p q pq q p A 0011111011011110010011100111所以公式是重言式。真值表如表2-17所示，所以公式是矛盾式。表2-170011100011010010010101100100 真值表如表2-18所示，所以公式是重言式。表2-18000001001001010001011001100001101001110101111111 真值表如表2-19所示，所以公式仅为可满足式。表2-19001011011101100100110100 真值表如表2-20所示，所以公式是重言式。表2-20pqr pqrqpr(pq)(rq)(pr)qA000110111001100011010110111011110111100010011101001001110110111111111111 5解 设p：他努力学习；q：他会通过考试。则命题符号化pq。其否定(pq) pq。 所以语句的否定：他学习很努力但没有通过考试。 设p：水温暖；q：他游泳。则命题符号化pq。其否定(pq) pq。 所以语句的否定：当且仅当水不温暖时他游泳。 设p：天冷；q：他穿外套；r：他穿衬衫。则命题符号化p(qr) 其否定( p(qr) (p(qr) p( qr) p(q r) 所以语句的否定：天冷并且他不穿外套或者穿衬衫。 设p：他学习；q：他将上清华大学；r：他将上北京大学。则命题符号化其否定所以语句的否定：他努力学习，但是没有上清华大学，也没有上北京大学。 6解 设p：张三说真话；q：李四说真话；r：王五说真话。则：pq, qr(qr), r(pq)为真,因此p(pq)(ppq)(p(pq)pq为真。因此，p为假，q为真，所以r为假。故张三说谎，李四说真话，王五说谎。 7解 设p：甲得冠军；q：乙得亚军；r：丙得亚军；s：丁得亚军。前提：p(qr)，qp，sr，p结论：s证明 p(qr)为真，其前件p为真，所以qr为真，又qp为真，其后件p为假，所以要求q为假，所以r为真。又sr为真，其后件r为假，所以要求s为假，故s为真。习题1.4 1解 设p：明天下雨；q：后天下雨。命题符号化。 设p：明天我将去北京；q：明天我将去上海。命题符号化。 2解 3证明 因为，是功能完备联结词集，所以，含有外的其他联结词的公式均可以转换为仅含中的联结词的公式。又因为即含有的公式均可以转换为仅含中的联结词的公式。因此，含外其他联结词的公式均可以转换为仅含中的联结词的公式。 故是功能完备联结词集。 4证明 是极小功能完备集，因而只需证明中的每个联结词都可以用 表示，就说明是功能完备集。只有一个联结词，自然是极小功能完备集。事实上，p(pp)pp，pq(pq)(pq)(pq)(pq)。对于证明是极小功能完备集，可类似证明。习题1.5 1解 ； 2解 即为其析取范式。即为其合取范式。即为其合取范式。p(qr)p(qr)(qr)(pqr)(pqr) 即为其析取范式。即为其合取范式。为其析取范式。即为其析取范式和合取范式。 3解 即为其主合取范式。其主析取范式为3pq。 。故其主析取范式为(0,1,2,3)=(pq)(pq)(pq)(pq)。 即为其主合取范式。其主析取范式为(2,4,5,6,7) (pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)。 即为其主合取范式。其主析取范式为。 4解 真值表如表2-21所示, 所以其极小项是pq，极大项为pq，pq，pq。表2-21pq0010011010011110其主析取范式是：pq，主合取范式为：(pq)( pq)(pq)。 真值表如表2-222所示, 所以其极小项是pq, pq, pq, 极大项为pq。表2-22pq000100011101101011111101其主析取范式是：(pq)(pq)(pq)，主合取范式为：pq。 真值表如表2-23所示，所以其极小项是pqr,pqr, pqr, pqr,pqr,表2-23pqr000100001100010100011111100001101001110001111001极大项为pqr，pqr，pqr。其主析取范式是：(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)，主合取范式为：(pqr)(pqr)(pqr) 。 真值表如表2-24所示,所以其极小项为pqr,pqr,pqr,pqr,pqr,而极大项分为pqr，pqr，pqr.主合取范式为(pqr)(pqr)(pqr),主析取范式为(pqr)(pqr)(pqr,)(pqr)(pqr)。表2-24pqr00010001110101001111100011010111010111115解 (pq)(pq)(pq)(pq) q (pq)(pq)， 故为可满足式。 故为重言式。(p(qr)(pq)(pr)(p(qr)(p(qr)(p(qr)(p(qr)(p(qr)(p(qr)(p(qr)(p(qr)(p(qr)p(qr)(pqr)(qr)0。 故为矛盾式。 故仅为可满足式。6证明 右边已经是主合取范式。而左边主合取范式已是pq，因此，(p q)pq，证毕。右边(p q)(pq)已经是主合取范式。pp(qq) (p q)(pq)。因此，。左边p(qr)p(qr)pqr，而右边(pq)rpqr，因此，。习题1.61解 设p：这里有演出；q：这里通行是困难的；r：他们按照指定时间到达。前提：pq, rq,r结论：p证明 r Prq Pq T假言推理pq P p T拒取式2证明 s Psp P p T假言推理pq Pq T假言推理证明 r P附加前提引入rq Pq T假言推理pq Pp T拒取式ps Ps T假言推理rs TCP证明 p P否定结论引入pq Pq T假言推理qr Pr T假言推理rs Pr T化简rr T合取证明 p P附加前提引入pq Pq 析取三段论rq Pr 拒取式pr CP证明 p P附加前提引入p(qr) Pqr T假言推理q P附加前提引入r T假言推理(rs)t Prst T蕴涵等价式st T析取三段论h(st) Pst h T假言易位 h T假言推理 qh TCP13. p(qh) TCP 3解 推理不正确。在到化简时，只能对整个公式进行而不是子公式。 4解 正确。P，P附加前提引入；T析取三段论；P；T假言推理；P；T假言推理；TCP。 5解 设p：张三努力工作，q：李四高兴，r：王五高兴，s：刘六高兴 前提：p(qr)，qp，sr 结论：ps 证明：p P附加前提引入p(qr) Pqr T假言推理qp Pq T拒取式r T析取三段论sr Ps T拒取式ps TCP 6解 设：p：天下雪；q：马路结冰；r：汽车开得快；s：马路塞车。前提：pq，qr，rs，s结论：p证明pq Pqr Ppr 推理三段论rs Pps 推理三段论s P p 拒取式复习题1 1解 设p：3是偶数，q：中国人的母语是汉语。命题符号化。 设p：你抽烟，q：你很容易得病。命题符号化。 设p：今天是星期一，q：明天才是星期二。命题符号化。 设p：李春这个学期离散数学考了100分。q：李春这个学期数据结构考了100分。命题符号化。 设p：下雪路滑，q：他迟到了。命题符号化。 设p：经一事，q：长一智。命题符号化。 设p：一朝被蛇咬，q：十年怕井绳。命题符号化。 设p：以物喜，q：以己悲。命题符号化。 2. 解 命题中的“或”是不可兼或，因此，可以直接用“”符号化；根据联结词的性质及其之间的转换关系，可知命题“李春生于1979年或生于1980年”的本意是“李春生于1979年（但不能生于1980年）或生于1980年（但不能生于1979年）”，因此，也可以转化为“”对其进行符号化。3解 设p：李刚会拳击，q：李春会唱歌。命题符号化(pq)(pq)。而(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)pqpq因此，李刚会拳击并且李春不会唱歌。 4解 A的极小项对应于其真值表中的成真赋值0001，0110，1000，1001，1010，1100，1101，1111。成真赋值对应二进制数转化为十进制数就是A的极小项的下标。由此可得，A的极小项为： ；。 相应的，A的极大项对应于其真值表中的成假赋值，成假赋值对应二进制数转化为十进制数就是A的极大项的下标。由此可得，A的极大项为： ；。 由问题得到了A的极小项和极大项，于是与A等值的主析取范式和主合取范式可以直接得到，分别为：；。 从A的主析取范式出发，进行等值演算化简，可得析取范式的最简形式：(pqrs)(pqrs)(pqrs)(pqrs)(pqrs)(pqrs)(pqrs)(pqrs)(pqrs)(qrs)(pqr)(pqrs)(pqr)(pr)(pqrs)(qrs)(pqrs)(pr)(qrs)(qrs)(pqrs)(pr)(qrs)(qrs)(pqs) 5 证明 6解 公式的真值表如表2-27所示：表2-27p0011111011011110011001100010 从真值表可见，公式所在列的填入值有1也有0，故仅为可满足式。(pq)(qp)(pq)(qp)(2,3)为其主合取范式，可见公式仅为可满足式。 公式真值表如表2-28所示：表2-28pqr0000100111010110111110011101111101111111 p(pqr)ppqr1(0,1,2,3,4,5,6,7) 从真值表可见，公式所在的列的填入值均为1，等值演算，以及求出的主析取范式均说明公式是重言式。A=(pq)(qr)(pr)真值表见习题2.2第4(4)题。(pq)(qr)(pr)(pq)(qr)(pr)(pq)(qr)pr1. 从真值表可见，公式所在的列的填入值均为1，由等值演算，以及求出的主析取范式均说明公式是重言式。7证明 p P附加前提引入p(qr) Pqr T假言推理q P附加前提引入q(rs) Prs T假言推理qs T假言三段论p(qs) TCP证明 w Puw Pu T拒取式su Ps T析取三段论rs Pr T析取三段论(pq)r P(pq) T拒取式pq) T德摩根律证明 p P附加前提引入pqr Pqr T假言推理qp Pq T拒取式r T析取三段论sr Ps T拒取式ps TCP8解 pr Pp T化简pq Pq T假言推理(qs) Pqs T德摩根律q T化简qq T合取由得到矛盾，可见pq，(qs)，pr不能同时成立。9解 设p：小王曾经到过受害人的房间，q：小王11点以前离开，r：小王犯了谋杀罪，s：看门人看到小王。符号化：(pq)r)p(qs)s)r。形式构造推理证明前提：(pq)r，p，qs，s结论：r证明 s Pqs Pq T拒取式p Ppq T合取(pq)r P T假言推理真值表技术：真值表如表2-30所示，设A=(pq)r)p(qs)s)。表2-29pqrsqspq(pq)rqsA0000110110000110011000101101110011100111010001010001010001100110010101011100011110001110101001101010101011111110111011111100010100110100011011100101011111000111由真值表可以看出：(pq)r)p(qs)s)r，所以，(pq)r)p(qs)s)r成立。等值演算方法(pq)r)p(qs)s)r(pq)r)p(qs)s)r(pq)r)p(qs)r(pq)r)p(qs)r(pqr)(pqs)r1。由此可以说明(pq)r)p(qs)s)r为重言式，即(pq)r)p(qs)s)r成立。 10解 逻辑学家手指A门问旁边的一名强盗（A）说：“这扇门是生门，他（指强盗B）将回答是，他的回答对吗？”设：强盗A回答“对”；：强盗B回答“对”；：这扇门（A）是生门。因为，两个强盗一个总说真话，而另一个强盗一个总说假话，因此该问题符号化为：(pq)r。(pq)r(pq)(pq)r(pqr)(pqr)逻辑学家的提问可知，r和q都为真，由公式可以看出这时p为真，即p为假。所以，当被问强盗A回答“否”，则逻辑学家开启所指的门从容离去。当被问强盗A回答“对”，则逻辑学家开启另一扇门从容离去。第二章 谓词逻辑习题2.1 1解 个体：离散数学；谓词：是一门计算机基础课程。 个体：田亮；谓词：是一名优秀的跳水运动员。 个体：大学生；谓词：要好好学习计算机课程；量词：所有。 个体：推理；谓词：是能够由计算机来完成的；量词：一切。 2 解 设：x是舞蹈演员；a：小芳。命题符号化：。 设：x是一位有名的哲学家；a：苏格拉底。命题符号化：。 设：x作完了他的作业家；a：张三。命题符号化：。 设：x身体很好；a：我。命题符号化：。 3解 选取个体域为整数集合。设：x的平方是奇数；：x是奇数。命题符号化：。 选取个体域为所有国家的集合。设：x在南半球；：x在北半球。命题符号化：。 选取个体域为所有人的集合。设：x在中国居住；：x是中国人。命题符号化：选取个体域为所有人的集合。设：x是艺术家；：x是导演；：x是演员。命题符号化：$x(M(x)F(x)G(x)。 选取个体域为所有猫的集合。设M(x)：x是好猫；F(x)：x捉耗子。命题符号化：$xM(x)x(F(x)M(x)。 4解 设：x喜欢开汽车；：x喜欢骑自行车。命题符号化：。 设：x喜欢开汽车；：x喜欢骑自行车；：x是人。命题符号化：。 设：x必须学好数学。命题符号化：。 设：x必须学好数学；：x是学生。命题符号化：。 设：x的平方是质数；：x是质数。命题符号化： 。 同。 设：x的平方是质数。命题符号化：。习题2.2 1解 x的辖域为P(x)Q(x)，个体变元x是约束变元。 x的辖域为P(x)$yQ(x,y)，$y的辖域为Q(x,y)，个体变元x是约束变元，个体变元y是约束变元。 x的辖域为F(x,y)，其中个体变元x是约束变元，个体变元y是自由变元；的辖域为Q(x,y)，其中个体变元x是自由变元，个体变元y是约束变元。 2解 。 。3解 (xP(x)$yQ(x)F(s,z)；$y(P(s,y)(zQ(s,z)R(s,y,v)x$rS(x,t,r)。 4解 的真值分别为：0，1，0。 的真值分别为：0，1，0。 的真值分别为：1，1，1。 的真值分别为：0，0，0。 5解 0。 1。 0。 6解 设I为任意解释，其个体域为D，若$xP(x)为真，即$xP(x)为假，则$xP(x)xP(x)为真；若$xP(x)为假，即$xP(x)为真，则就是说在个体域中不存在使得P(x)为真的个体，故xP(x)为假，即$xP(x)xP(x)为假。因此$xP(x)xP(x)仅为可满足式。 设I为任意解释，其个体域为D，若xA(x)为假,则xA(x)为真，就是说对于个体域中任意一个个体A(x)均为真，那么A(x)必为假，所以$x(A(x)必为假；若xA(x)为真，即xA(x)为假，则就是说对于个体域中至少存在一个体使A(x)均为假，那么对于个体域中至少存在一个个体使A(x)为真，所以$x(A(x)必为真，总之xA(x)$x(A(x)对于个体域中任意一个个体必为真，即其为逻辑有效式。设I为任意解释，其个体域为D，若$x(P(x)Q(x)为真，即是说在个体域中至少存在一个个体使得P(x)和Q(x)同时为真，此时$x(P(x)Q(x)可真可假，所以，$x(P(x)Q(x)$x(P(x)Q(x)可真可假。因此，仅为可满足式。习题2.31解 ($xA(x)xB(x)($xA(x)xB(x)$xA(x)xB(x)$xA(x)$xB(x)xA(x)B(x)$xC(x)$xA(x)B(x)xC(x) ($xA(x)$xB(x)(xA(x)xB(x)$xC(x)。2证明 x(P(x)Q(x)($xP(x)$xQ(x)x(P(x)Q(x)($xP(x)$xQ(x)$x(P(x)Q(x)xP(x)$xQ(x)(P(1)Q(1)(P(2)Q(2)(P(3)Q(3)(P(1)P(2)P(3)Q(1)Q(2)Q(3)(P(1)Q(1)(P(2)Q(2)(P(3)Q(3)(P(1)P(2)P(3)(P(1)P(2)P(3)(Q(1)Q(2)Q(3)(P(1)P(2)P(3)1。故x(P(x)Q(x)($xP(x)$xQ(x)为逻辑有效式。($xP(x)xQ(x)x(P(x)Q(x)($xP(x)xQ(x)x(P(x)Q(x)($xP(x)$xQ(x)x(P(x)Q(x)(P(1)P(2)P(3)(Q(1)Q(2)Q(3)(P(1)Q(1)P(2)Q(2)P(2)Q(2)(P(1)Q(1)(P(2)Q(2)(P(3)Q(3)(P(1)Q(2)(P(1)Q(1)(P(2)Q(2)(P(1)Q(1)(P(1)Q(1)(P(1)Q(1)(P(2)Q(2)(P(3)Q(3)(P(1)Q(2)(P(2)Q(2)(P(1)Q(1)(P(2)Q(2)(P(3)Q(3)(P(1)Q(2)(P(1)Q(1)(P(1)Q(1)(P(2)Q(2)(P(3)Q(3)(P(1)Q(2)111。 习题2.4 1解 错。在一个逻辑推理过程中，若同时用到ES和US，并且选用代替的个体变元相同时应先用ES，再用US。 错，在用UG规则时，引入的个体变元在原来的公式中不能自由出现过。错。 错，在用两次ES规则时，引入的个体常元不能是一样的。2证明 xQ(x) PQ(y) TUSx(P(x)Q(x) PP(y)Q(y) TUSP(y) T拒取式$xP(x) TEG证明 xP(x) P附加前提引入P(c) TUSx(P(x)Q(x) PP(c)Q(c) TUSQ(c) T假言推理xQ(x) TUGxP(x)xQ(x) TCP证明 x(P(x)Q(x) P$x(P(x)Q(x) T量词否定，德摩根律P(c)Q(c) TESxQ(x) P否定结论引入Q(c) TUSQ(c) T化简Q(c)Q(c) T合取 由得到矛盾，由间接证明原理，原命题得证明。 3 解 设M(x)：x是鸟；N(x)：x是猴子，F(x)：x会飞。 前提：x(M(x)F(x)，x(N(x)F(x) 结论：x(N(x)M(x)证明 x(N(x)F(x) PN(y)F(y) TUSx(M(x)F(x) PM(y)F(y) TUSF(y)M(y)
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