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第十九章一次函数内容分析与教学建议广州市真光中学 苏国东一、教材分析（一）本章地位和作用 函数知识在中学数学教学中占有极为重要的地位，既是教学的重点，也是教学的难点之一。本章学生第一次接触函数，是初中函数部分的起始章，是后续学习二次函数和反比例函数的基础。对函数概念和函数图像的理解贯穿于整个函数的教学中，随着具体函数的学习而不断加深认识，同时对函数概念中体现的变化与对应思想的理解又决定了具体的一次函数、反比例函数、二次函数的学习能否顺利地进行。一次函数是学生接触的第一类具体函数形式，由具体实例抽象出统一的函数形式、利用函数图像归纳函数性质、利用函数图像和性质解决实际问题，这种由特殊到一般再到特殊的研究方法是研究函数的基本方法。变化对应、数形结合等思想方法贯穿函数学习的始终，要尽可能地使学生加深认识。（二）新版教材的变动一次函数在旧版教材中是在初二上学期学习的内容，反比例函数是在初二下学期学习的内容。而在新版教材中一次函数移至初二下学期，反比例函数移至初三下学期，使学生学习函数的难点后移。新旧教材本章内容与课时安排有所调整，“用函数观点看方程（组）与不等式”并入“一次函数”一节，题目作了修改。19.1节是基础部分，19.2节是重点内容，19.3节是拓展提高部分。具体如下：新教材旧教材位置初二下学期初二上学期章节内容及课时安排共17课时19.1变量与函数（6课时）19.2一次函数（6课时）19.3课题学习 选择方案 （3课时）数学活动、小结 （2课时）共17课时14.1变量与函数（5课时）14.2一次函数（5课时）14.3用函数观点看方程（组）与不等式（3课时）14.4 课题学习 选择方案（2课时）数学活动、小结 （2课时）另外，细节也作出了调整，如87-88页例1两小问各补充了2个函数的作图，从而归纳得出k的性质显得更为妥当。现实问题中变量间相互联系建立数学模型课题学习选择方案应用函数一次函数再认识一元一次方程一元一次不等式二元一次方程组图象性质二、本章知识结构框图三、内容分析（一）函数的相关概念1理解函数的概念及对应关系：两个变量相互联系，一个变量发生变化时另一个变量也随之变化；函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数值是唯一确定的。2能根据实际问题列出解析式，写出自变量的取值范围（使解析式有意义、实际问题有意义），给出自变量的一个值，会求出相应的函数值（学生对函数与函数值可能混淆）。3能较准确地画出简单函数的图象，学会利用图象分析变量之间的数量关系。函数图象直观反映变量间的单值对应关系，提供了数形结合地研究问题的方法。对一些无法用解析式表达的函数，图象充当重要角色。（二）一次函数1理解正比例函数的概念和特征，能正确地画出正比例函数的图象，掌握正比例函数的图象和性质，注意。解析式（k为常数，且）自变量取值范围全体实数图象形状过原点和（1，k）点的一条直线k的取值位置经过一、三象限经过二、四象限趋势（从左向右）上升下降函数变化规律y随x的增大而增大y随x的增大而减小（1）对正比例系数k的理解：，与小学学过的正比例关系一致，只是小学的比值不涉及负数。（2）对增减性的研究除了通过观察图象，对有条件的学生可给出证明方法：对任意，根据k的正负得出的大小。从数形两方面加深对这个性质的理解。（3）有条件的学校可补充k对直线倾斜程度的影响。越大，图像越靠近y轴，函数变化速率越大。对k的研究可采用右图方式。2理解一次函数的概念和特征，能正确画出图象，注意一次函数的解析式、图象、性质等方面与正比例函数的异同，从特殊到一般地认识问题。理解、对一次函数的影响。解析式（k为常数，且）自变量取值范围全体实数图象形状过（0，b）和（，0）点的一条直线k、b的取值位置经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过一、二、四象限经过二、三、四象限趋势（从左向右）上升下降函数变化规律y随x的增大而增大y随x的增大而减小（1）k决定直线的趋势（倾斜程度），b决定它与y轴交点位置，k、b共同决定直线经过哪几个象限。注意看图识性，体现数与形的互化。（2）对于和，从数来看，常数项有区别，其余部分相同，因此对x的任一值，两函数值的差恒为一常数；从形来看，两图象上横坐标相同的点纵坐标总相差同一值，一图象总比另一图象高出同一高度。这就把以前学习的图象平移与函数图象联系起来。（3）建议补充：两条直线：和：的位置关系与系数的关系：与相交；，且与平行； ，且与重合。3能用待定系数法求一次函数的解析式，体现形（两点确定一直线）与数的联系。 （1）常见的直接条件：对于正比例函数，根据除原点外的一点（，）确定k。对于一次函数，根据两点(，)和(，)，解方程组确定k、b。（2）间接条件：围成图形的面积、平行关系等。4用函数观点看方程（组）和不等式能直观地用函数的图象来反映方程（组）的解和不等式的解集，并解决简单的实际问题。反之，能利用解方程（组）、解不等式来解决一次函数相关问题。对不等式问题关键是找出分界点（即“=”时的点）。（1）一次函数的图象与x轴交点的横坐标一元一次方程的解。（2）一次函数与两图象的交点（公共点）二元一次方程组的解（公共解）。（3）使一次函数的函数值（或）的x的取值范围一元一次不等式（或）的解集。（4）（，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量x取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标的范围。5一次函数的应用（1）在数学中的应用：会求某个一次函数的图象和两坐标轴围成的三角形面积；两个一次函数的图象和坐标轴围成的三角形面积或四边形面积等。（2）在实际中的应用：如分段函数问题、方案问题等。四、教学建议（一）重视概念的形成和发展，逐步深化学生对函数的认识1对于函数的初步认识变量与函数的教学是学生从初等数学向高等数学学习的转变的初始阶段，为了便于学生的接受，可先借助生活中的实例，逐渐抽象到数学中的概念，让学生认识并理解函数的概念中最主要的基本要素 2对于函数的再认识引导学生认识到：研究的问题是有在一定条件下进行的，即变量是有取值范围的，自变量和函数和人们研究的目的有关；变量之间是相互制约、相互依存的，它们之间的对应关系是客观存在的（包括那些只能用图象或列表方法才能表示的函数关系）3对于函数的深化认识给出不同形式的数量关系，紧扣函数定义，让学生判断它们是否为的函数。例：判断哪些是的函数：； ； ； ； ； ； ； （二）渗透数学思想方法，落实基础知识和基本技能本章涉及到的主要数学思想方法有：变化对应的思想、数形结合思想、数学建模思想、从特殊到一般的思想等。本章中自变量取值范围、正比例函数和一次函数的定义、图像和性质、解析式的确定是所有学生必须掌握的基础知识，描点作图是最基本的技能，要反复练习，配备系列题组，使学生熟练掌握。例1：函数的定义系列题组：1已知y=(k-3)x+1是一次函数，则k_。2已知y=(2-m)x+2m-3，当m为何值时，（1）此函数为正比例函数；（2）此函数为一次函数。3若函数是关于x的一次函数，求该函数解析式。例2：图像和性质系列题组：1有下列函数：y=3x7 y=2x8 y=3x y=68x，其中过原点的直线是_；函数y随x的增大而增大的是_；函数y随x的增大而减小的是_；图象在第一、二、三象限的是_。2某一次函数的图象经过点(1,2),且y随x的增大而减小,请写出一个符合条件的函数关系式： 。3已知一次函数y=(m-2)x+4-m ,当m为何值时,（1）直线经过第一、三象限。（2）直线经过第一、二、三象限。（3）直线与y轴的交点不在x轴的下方。4点A(-3，y1）、点B（2，y2)都在直线y= 4x+3上，则与的关系是（ ）A B C D 5一次函数y=mx+n与y=mnx（mn0）在同一坐标系中的图象可能是（ ） A B C D例3：确定函数解析式的系列题组：1若是关于的一次函数，且当时，；当时，求函数的解析式。2若与成正比例关系，且时，求关于的函数关系。3已知一次函数的图象过点（3，5）与（，），求这个一次函数的解析式。4已知直线与直线平行，且与轴的交点是（0，），求函数解析式。5直线图象如右图，求和的值。6一次函数y=kxb的自变量的取值范围是3x6，相应函数值的取值范围是5y2，求这个一次函数的解析式。7求经过点（2，0）且与坐标轴围成的三角形面积为2的直线解析式。8在实际问题中求解析式（略）。2看图象直接写出：（1）ax+b=7的解是 。（2）ax+b0时，ax+b 。1看图象直接写出:（1）ax+b=0的解是 。（2）ax+b0的解集是 。（3）x-5时，ax+b 。例4：函数与方程、不等式的系列题组：3已知直线y1=ax+b和y2=mx+n的图象如图所示，根据图象填空（1）当x_ _时，y1y2；当x _时，y1=y2；当x_ _时，y1y2。（2）方程组的解为 。（三）加强对新旧知识之间内在联系的认识首先函数知识与坐标系联系密切，又如对和的异同，把以前学习的图象平移与函数图象联系起来；待定系数法与解方程组联系起来；“一次函数与方程、不等式”一节在更高的角度（变化和对应的角度），用一次函数把以前学习的方程和不等式等概念统一起来。此外一次函数还能与三角形、面积、勾股定理等知识相联系产生综合性问题。五、易错题型1利用函数定义判断函数关系时，不理解“单值对应”含义。例:下列关于x和y 的关系式y=x，y2 =x，y=2x2，y =|x|。其中y是x 的函数的有 （填序号）。错因：学生易把认为y是x的函数，而把认为不是函数关系。学生不理解函数定义中“对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应”。2利用一次函数定义易忽视k0的条件。例:y=（1-m）x2-m2+m+3是一次函数，则m的值是 。错因：学生易错解为2-m2 =1，得m=1或-1。忽视了1-m0的条件，实际上m=-1。3对于正比例函数与一次函数联系不明确，易忽视正比例函数是一次函数的特例。例:已知一次函数y=(3-m)x+m-2的图象不经过第二象限，则m的取值范围为（ ）A、m2 B、m3 C、2m3 D、m2错因：学生易错解为：因为一次函数图象不经过第二象限，则经过第一、三、四象限，故3-m0，且m-20，解得m2。教学时要引导学生注意正比例函数是一次函数的特例的情形。当m-2=0时为正比例函数，此时图象也不经过第二象限，故选D。4实际意义下一次函数作图易忽视范围要求。例:某校办工厂现在年产值是15万元，计划今后每年增加2万元。（1）写出年产值y（万元）与年数x 之间的关系式；（2）画出函数的图象。错因：由题意可知问题中x0，画出的图象应是一条射线，而学生易忽视题目中有实际意义确定的自变量的范围要求，而把图象习惯画成一条直线。5体会不到“数形结合思想”是解决函数问题的有效途径。例：一次函数y=kx+b过点（1，1）、（-3，2），则此函数图象不经过第 象限。错因：学生习惯用待定系数法求出函数解析式，再画图象确定经过第几象限，从而得出不经过第三象限。实际上，利用数形结合思想，画出函数的大致图象，就能立即得出函数图象不经过第三象限。而学生一般不会想到利用数形结合的方法快捷地找到答案。初二下学期第十九章一次函数测试卷一、 选择题（每小题2分，共20分）1下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ） Ay=-2x+1 By=2x2 C D2直线y=2x+2与x轴的交点坐标是（ ） A（0，2） B（2，0） C.（-1，0） D.（0，-1）3若点A（2，4）在函数ykx2的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）A（0，2）B（1.5，0） C（8,20） D（0.5，0.5）4要从y=2x的图像得到直线y=2x+3，就要把直线y=2x（ ）A向上平移3个单位 B向下平移3个单位C向上平移2个单位 D向下平移2个单位 S（米） 18 （分） 第5题5晚饭后小红从家里出发去散步，右图描述了她散步过程中离家s（米）与散步所用的时间t(分)之间的函数关系下面描述符合小红散步情景的是（ ）A从家出发,到了一个公共阅报栏,看了一会报后,就回家了.B从家出发,一直散步(没有停留),然后回家了.C从家出发,到了一个公共阅报栏,看了一会报后,继续向前走了一会,然后回家了.D从家出发,散了一会步,就找同学去了,18分钟后才开始返回.6函数y=k（xk）（k0）的图象不经过（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 7点A（-2，y1）和B（5，y2）都在直线y=x+2上，则y1与y2的关系是（ ） A、y1y2 B、y1y2 C、y1y2 D、y1y28若函数y=2x+3与y=3x2b的图象交x轴于同一点，则b的值为( )第9题A3BC9D9如图，直线与y轴的交点是（0，3）,则当x0时，( ) A. y0 B. y0 D. y310两个一次函数y=ax+b和y=bx+a，它们在同一坐标系中的图象大致是（ ） ） A B C D二、填空题（每题3分，共18分） 11若点（3，）在一次函数的图像上，则 。12直线y=3x1与两坐标轴围成的三角形的面积为 。13已知油箱中有油25升，每小时耗油5升，则剩油量P(升)与耗油时间t(小时)之间的函数关系式为 。第16题14以下函数：y=2x2+x+1y=2ry=y=(1)xy=(a+x)(a是常数)。其中是一次函数的有 。(填序号)15已知函数是一次函数，则m ；此图象经过第 象限。16. 函数y=ax+b的图像如图所示，则x-5时，ax+b 。三、解答题（共6大题，共62分）17（10分）求下列函数的自变量的取值范围。（1） （2）18.（10分）已知一次函数y=(m-2)x+4-m ,当m为何值时,（1）直线经过第一、二、三象限。（2）直线与y轴的交点不在x轴的下方。（3）直线与y=3x-2交于点(a,4)。19（10分）已知一个正比例函数和一个一次函数的图像交于点P（-2、2），且一次函数的图像过点（1，5）。（1）求这两个函数的解析式；（2）在同一坐标系中，分别画出这两个函数的图像；（3）若一次函数与y轴的交点为Q，求PQO的面积。20.（10分）网络时代的到来，很多家庭都接入了网络，电信局规定了拨号入网的两种收费方式，用户可以任选其一：A：计时制：3元/小时；B：全月制：54元/月（限一部个人住宅电话入网），此外B种上网方式要加收通信费1.2元/小时（1）某用户某月上网的时间为x小时，两种收费方式的费用分别（元）、（元），写出、与x之间的函数关系式。（2）在上网时间相同的条件下，请你帮该用户选择哪种方式上网更省钱？21.（10分）北京某厂和上海某厂同时制成某大型机器若干台，北京该厂可支援外地10台，上海该厂可支援外地4台，现在决定给重庆8台，汉口6台如果从北京运往汉口、重庆的运费分别是400元/台、800元/台，从上海运往汉口、重庆的运费分别是300元/台、500元/台求：（1）设上海运往汉口x台，总运费为y元，求y与x的函数关系式；（2）若要求总运费不超过8000元，共有几种调运方案？（3）求出总运费最低的调运方案及最低总运费是多少元？22.（12分）如图，在平面直角坐标系中，函数y=x的图象l是第一、三象限的角平分线。（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（-2，5）关于直线l的对称点B、C的位置，并写出它们的坐标：B 、C ；（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（m，n）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P的坐标为 ；（3）已知两点D（0，-3）、E（-1，-4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标。初二下学期第十九章一次函数测试卷参考答案一、 选择题（每小题2分，共20分）12345678910DCAACACDDB二、填空题（每题3分，共18分）11、10 12、 13、 14、 15、；一、二、四 16、0三、解答题（共6大题，共62分）17（10分）（1） （2）18.（10分）（1） （2） （3）19（10分）解：（1）设正比例函数解析式为y=kx，将（-2，2）代入可得k=-1，正比例函数解析式为y=-x.设一次函数解析式为y=ax+b，将（-2，2）和（1，5）代入可得a=1，b=4一次函数解析式为y=x+4（2）如图所示（3）Q（0，4）20.（10分）解；（1）A：计时制：3元/小时；B：全月制：54元/月（限一部个人住宅电话入网），此外B种上网方式要加收通信费1.2元/小时，得出：=3x，=1.2x+54，（2）由得，3x1.2x+54，解得x30；由=得，3x=1.2x+54，解得x=30； 由得，3x1.2x+54，解得x30；综上所述：当该用户上网时间少于30小时时，选择A计时制上网省钱；当上网时间等于30小时时选择计时制、全月制费用一样；当上网时间超过30小时时选择B全月制上网省钱21.（10分）解：（1）根据题意可知，上海运往汉口x台，上海运往重庆4-x台，北京运往汉口6-x台，北京运往重庆4+x台y=300 x+500（4-x）+400（6-x）+800（4+x）=200 x+7600（0 x4的整数）；（2）当y=200 x+76008000时，x2，即x=0，1，2，对应三种方案；（3）当x取最小值0时，y最小=7600，即上海运往汉口0台，上海运往重庆4台，北京运往汉口6台，北京运往重庆4台最低费用7600元22.（12分）解：（1）如图，由点关于直线y=x轴对称可知，B（3，5），C（5，-2）（2）由（1）的结果可知，坐标平面内任一点P（m，n）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P的坐标为 （n，m） （3）由（2）得，D（0，-3）关于直线l的对称点D的坐标为（-3，0），连接DE交直线l于点Q，此时点Q到D、E两点的距离之和最小 设过D（-3，0）、E（-1，-4）的设直线的解析式为y=kx+b，则 ，由得 所求Q点的坐标为（-2，-2）。9
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