2020版高考数学新设计大一轮复习 教材高考审题答题二 三角函数与解三角形热点问题习题 理（含解析）新人教A版

三角函数与解三角形热点问题核心热点真题印证核心素养三角函数的图象与性质2018全国，10；2018全国，8；2018全国，6；2017浙江，17；2017山东，16；2017全国，14直观想象、逻辑推理三角恒等变换2018浙江，18；2018江苏，16；2018全国，15；2018全国，4；2017全国，15；2016全国，14逻辑推理、数学运算解三角形2018全国，17；2018全国，6，2017全国，17；2018北京，15；2018天津，15；2016全国，17逻辑推理、数学运算 教材链接高考三角函数的图象与性质教材探究(必修4P147复习参考题A组第9题、第10题)题目9已知函数y(sin xcos x)22cos2x.(1)求函数的递减区间；(2)求函数的最大值和最小值.题目10已知函数f(x)cos4x2sin xcos xsin4 x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当x时，求f(x)的最小值及取得最小值时x的集合.试题评析两个题目主要涉及三角恒等变换和三角函数的性质，题目求解的关键在于运用二倍角公式及两角和公式化为yAsin(x)k的形式，然后利用三角函数的性质求解.【教材拓展】 已知函数f(x)4tan xsincos.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间上的单调性.解(1)f(x)的定义域为x|xk，kZ，f(x)4tan xcos xcos4sin xcos4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2xcos 2x2sin.所以f(x)的最小正周期T.(2)由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ).设A，B，易知AB.所以当x时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.探究提高1.将f(x)变形为f(x)2sin是求解的关键，(1)利用商数关系统一函数名称；(2)活用和、差、倍角公式化成一复角的三角函数.2.把“x”视为一个整体，借助复合函数性质求yAsin(x)B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.【链接高考】 (2017山东卷)设函数f(x)sinsin，其中03，已知f0.(1)求；(2)将函数yf(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数yg(x)的图象，求g(x)在上的最小值.解(1)因为f(x)sinsin，所以f(x)sin xcos xcos xsin xcos xsin.由题设知f0，所以k(kZ)，故6k2(kZ).又03，所以2.(2)由(1)得f(x)sin，所以g(x)sinsin.因为x，所以x，当x，即x时，g(x)取得最小值.教你如何审题三角恒等变换、三角函数与平面向量【例题】 (2019郑州质检)已知向量m(2sin x，cos2xsin2x)，n(cos x，1)，其中0，xR.若函数f(x)mn的最小正周期为.(1)求的值；(2)在ABC中，若f(B)2，BC，sin Bsin A，求的值.审题路线自主解答解(1)f(x)mn2sin xcos xcos2xsin2xsin 2xcos 2x2sin.因为f(x)的最小正周期为，所以T.又0，所以1.(2)由(1)知f(x)2sin.设ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c.因为f(B)2，所以2sin2，即sin1，由于0B，解得B.因为BC，即a，又sin Bsin A，所以ba，故b3.由正弦定理，有，解得sin A.由于0A，解得A.所以C，所以ca.所以cacos Bcos .探究提高1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化简”；然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化.2.这种问题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关知识进行求解.【尝试训练】 已知函数f(x)ab，其中a(2cos x，sin 2x)，b(cos x，1)，xR.(1)求函数yf(x)的单调递减区间；(2)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)1，a，且向量m(3，sin B)与n(2，sin C)共线，求边长b和c的值.解(1)f(x)2 cos2xsin 2x1cos 2xsin 2x12cos，令2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，函数yf(x)的单调递减区间为(kZ).(2)f(A)12cos1，cos1，又2A，2A，即A.a，由余弦定理得a2b2c22bccos A(bc)23bc7.向量m(3，sin B)与n(2，sin C)共线，2sin B3sin C，由正弦定理得2b3c，由得b3，c2.满分答题示范解三角形【例题】 (12分)(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为.(1)求sin Bsin C；(2)若6cos Bcos C1，a3，求ABC的周长.规范解答高考状元满分心得写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤有则给分，无则没分，所以得分点步骤一定要写全，如第(1)问中只要写出acsin B就有分，第(2)问中求出cos Bcos Csin Bsin C就有分.写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时要写清得分关键点，如第(1)问中由正弦定理得sin Csin B；第(2)问由余弦定理得b2c2bc9.计算正确是得分保证：解题过程中计算准确，是得满分的根本保证，如cos Bcos Csin Bsin C化简如果出现错误，本题的第(2)问就全错了，不能得分.构建模板【规范训练】 (2018全国卷)在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cosADB；(2)若DC2，求BC.解(1)在ABD中，由正弦定理得，即，所以sinADB.由题设知，ADB90，所以cosADB.(2)由题设及(1)知，cosBDCsinADB.在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcosBDC25825225.所以BC5.1.已知函数f(x)sin x2sin2.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最小值.解(1)因为f(x)sin xcos x2sin，所以f(x)的最小正周期为2.(2)因为0x，所以x.当x，即x时，f(x)取得最小值.所以f(x)在区间上的最小值为f.2.(2019济南调研)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin A4bsin B，ac(a2b2c2).(1)求cos A的值；(2)求sin(2BA)的值.解(1)由asin A4bsin B，及，得a2b.由ac(a2b2c2)，及余弦定理，得cos A.(2)由(1)及A(0，)，可得sin A，代入asin A4bsin B，得sin B.由(1)知，A为钝角，所以cos B.于是sin 2B2sin Bcos B，cos 2B12sin2B，故sin(2BA)sin 2Bcos Acos 2Bsin A.3.已知函数f(x)sin2xcos2x2sin xcos x(xR).(1)求f(x)的最小正周期；(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)2，c5，cos B，求ABC中线AD的长.解(1)f(x)cos 2xsin 2x2sin.T.函数f(x)的最小正周期为.(2)由(1)知f(x)2sin，在ABC中f(A)2，sin1，2A，A.又cos B且B(0，)，sin B，sin Csin(AB)，在ABC中，由正弦定理，得，a7，BD.在ABD中，由余弦定理得，AD2AB2BD22ABBDcos B5225，因此ABC的中线AD.4.(2018湘中名校联考)已知函数f(x)cos x(cos xsin x).(1)求f(x)的最小值；(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f(C)1，SABC，c，求ABC的周长.解(1)f(x)cos x(cos xsin x)cos2xsin xcos xsin 2xsin.当sin1时，f(x)取得最小值.(2)f(C)sin1，sin，C(0，)，2C，2C，C.SABCabsin C，ab3.又(ab)22abcos 72ab，(ab)216，即ab4，abc4，故ABC的周长为4.5.已知ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(2sin B，)，n(cos 2B，2cos21)，B为锐角且mn.(1)求角B的大小；(2)如果b2，求SABC的最大值.解(1)mn，2sin Bcos 2B，sin 2Bcos 2B，即tan 2B.又B为锐角，2B(0，)，2B，B.(2)B，b2，由余弦定理b2a2c22accos B，得a2c2ac40.又a2c22ac，代入上式，得ac4，故SABCacsin Bac，当且仅当ac2时等号成立，即SABC的最大值为.6.(2019信阳二模)已知a，b，c分别是ABC内角A，B，C的对边，且满足(abc)(sin Bsin Csin A)bsin C.(1)求角A的大小；(2)设a，S为ABC的面积，求Scos Bcos C的最大值.解(1)(abc)(sin Bsin Csin A)bsin C，根据正弦定理，知(abc)(bca)bc，即b2c2a2bc.由余弦定理，得cos A.又A(0，)，所以A.(2)根据a，A及正弦定理得2，b2sin B，c2sin C.Sbcsin A2sin B2sin Csin Bsin C.Scos Bcos Csin Bsin Ccos Bcos Ccos(BC).故当BC时，Scos Bcos C取得最大值.10