2020版高考数学一轮复习 课后限时集训41 空间向量的运算及应用 理（含解析）新人教A版

课后限时集训(四十一)空间向量的运算及应用(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1在空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(2，1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是()A垂直B平行C异面 D相交但不垂直B由题意得，(3，3,3)，(1,1，1)，3，与共线，又与没有公共点，ABCD.2在空间直角坐标系中，A(1,1，2)，B(1,2，3)，C(1,3,0)，D(x，y，z)(x，y，zR)，若A，B，C，D四点共面，则()A2xyz1Bxyz0Cxyz4Dxyz0AA(1,1，2)，B(1,2，3)，C(1,3,0)，D(x，y，z)(x，y，zR)，(0,1，1)，(2,2,2)，(x1，y1，z2)A，B，C，D四点共面，存在实数，使得，即(x1，y1，z2)(0,1，1)(2,2,2)，解得2xyz1，故选A.3如图所示，三棱锥OABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设a，b，c，用a，b，c表示，则()A.(abc)B.(abc)C.(abc)D.(abc)B()()(abc)4在空间直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为A(2,1，1)，B(3,4，)，C(2,7,1)，若，则()A3 B1C3 D3C由题知，(1,3，1)，(1，3，1)，由，可得0，即19210，即29，3，故选C.5已知正四面体ABCD的棱长为1，且2，2，则()A. B.C DD因为2，2，所以EFBD，EFBD，即，则|cos .故选D.二、填空题6.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是_垂直以A为原点，分别以，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，M，O，N，0，ON与AM垂直7已知平面内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面的一个法向量n(1，1，1)，则不重合的两个平面与的位置关系是_设平面的法向量为m(x，y，z)，由m0，得x0yz0yz，由m0，得xz0xz，取x1，m(1,1,1)，mn，mn，.8如图所示，在平行四边形ABCD中，ABACCD1，ACD90，把ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，则BD的长为_2或AB与CD成60角，60或120.又ABACCD1，ACCD，ACAB，|，|2或.BD的长为2或.三、解答题9已知空间中三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设a，b.(1)若|c|3，且c，求向量c；(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值解(1)c，(3,0,4)(1,1,2)(2，1,2)，cmm(2，1,2)(2m，m,2m)，|c|3|m|3，m1.c(2，1,2)或(2,1，2)(2)a(1,1,0)，b(1,0,2)，ab(1,1,0)(1,0,2)1，又|a|，|b|，cosa，b，故向量a与向量b的夹角的余弦值为.10.如图所示，四棱锥PABCD的底面为正方形，侧棱PA底面ABCD，且PAAD2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点，求证：(1)PB平面EFH；(2)PD平面AHF.证明建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，H(1,0,0)(1)E，H分别是线段AP，AB的中点，PBEH.PB平面EFH，且EH平面EFH，PB平面EFH.(2)(0,2，2)，(1,0,0)，(0,1,1)，0021(2)10，0120(2)00.PDAF，PDAH.又AFAHA，PD平面AHF.B组能力提升1若x，yR，有下列命题：若pxayb，则p与a，b共面；若p与a，b共面，则pxayb；若xy，则P，M，A，B共面；若点P，M，A，B共面，则xy.其中真命题的个数是()A1 B2C3 D4B正确；中若a，b共线，p与a不共线，则pxayb就不成立；正确；中若M，A，B共线，点P不在此直线上，则xy不正确2.(2019四川名校联考)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交B平行C垂直D不能确定B正方体棱长为a，A1MAN，().又是平面B1BCC1的法向量，且0，MN平面B1BCC1.故选B.3已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的是_0，0，ABAP，ADAP，则正确又与不平行，是平面ABCD的法向量，则正确(2,3,4)，(1,2，1)，与不平行，故错误4.如图所示，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点P为侧棱SD上的点(1)求证：ACSD；(2)若SD平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC，若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由解(1)证明：连接BD，设AC交BD于点O，则ACBD.连接SO，由题意知SO平面ABCD.以O为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图底面边长为a，则高SOa，于是S，D，B，C，则0.故OCSD.从而ACSD.(2)棱SC上存在一点E，使BE平面PAC.理由如下：由已知条件知是平面PAC的一个法向量，且，.设t，则t，而0t.即当SEEC21时，.而BE平面PAC，故BE平面PAC.- 7 -