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第六节双曲线2019考纲考题考情1双曲线的概念平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距。集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a、c为常数且a0，c0。(1)当ac时，M点的轨迹是双曲线。(2)当ac时，M点的轨迹是两条射线。(3)当ac时，M点不存在。2双曲线的标准方程和几何性质1双曲线定义的四点辨析(1)当02a|F1F2|时，动点的轨迹不存在。2方程1(mn0)表示的曲线(1)当m0，n0时，表示焦点在x轴上的双曲线。(2)当m0，n2，故|PF2|6。答案62(选修11P53练习T3改编)以椭圆1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为_。解析设要求的双曲线方程为1(a0，b0)，由椭圆1，得焦点为(1,0)，顶点为(2,0)。所以双曲线的顶点为(1，0)，焦点为(2,0)。所以a1，c2，所以b2c2a23，所以双曲线标准方程为x21。答案x21二、走近高考3(2018浙江高考)双曲线y21的焦点坐标是()A(，0)，(，0) B(2,0)，(2,0)C(0，)，(0，) D(0，2)，(0,2)解析由题可知双曲线的焦点在x轴上，因为c2a2b2314，所以c2，故焦点坐标为(2,0)，(2,0)。故选B。答案B4(2018江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1(a0，b0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是_。解析不妨设双曲线的一条渐近线方程为yx，所以bc，所以b2c2a2c2，得c2a，所以双曲线的离心率e2。答案25(2018全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()AB2 CD2解析由离心率e，得ca，又b2c2a2，得ba，所以双曲线C的渐近线方程为yx。由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C的渐近线的距离为2。故选D。解析：离心率e的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是yx，由点到直线的距离公式得点(4,0)到C的渐近线的距离为2。故选D。答案D三、走出误区微提醒：忽视双曲线定义的条件致误；忽视双曲线焦点的位置致误。6平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)的距离之差等于6的点的轨迹是_。解析由|PF1|PF2|60，b0)的离心率为2，左，右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线C上，若AF1F2的周长为10a，则AF1F2的面积为()A2a2Ba2C30a2D15a2解析由双曲线的对称性，不妨设A在双曲线的右支上，由e2，得c2a，所以AF1F2的周长为|AF1|AF2|F1F2|AF1|AF2|4a，又AF1F2的周长为10a，所以|AF1|AF2|6a，又因为|AF1|AF2|2a，所以|AF1|4a，|AF2|2a，在AF1F2中，|F1F2|4a，所以cosF1AF2。所以sinF1AF2，所以SAF1F2|AF1|AF2|sinF1AF24a2aa2。故选B。答案B双曲线定义的应用主要有两个考查方向：一是利用定义求双曲线的标准方程；二是利用双曲线上点P与两焦点的距离的差的绝对值|PF1|PF2|2a(其中02a0) B1(x0)C1(y0) D1(x0)(2)已知F1，F2为双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则|PF1|PF2|等于()A2 B4C6 D8解析(1)由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为1(x0，a0，b0)，由题设知c3，a2，b2945，所以点P的轨迹方程为1(x0)。(2)由双曲线的方程得a1，c，由双曲线的定义得|PF1|PF2|2。在PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos60，即(2)2|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|22|PF1|PF2|，解得|PF1|PF2|4。答案(1)B(2)B考点二双曲线的标准方程【例2】(1)(2019德州二中模拟)“0n2”是“方程1表示双曲线”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2)已知以原点为中心，实轴在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为yx，焦点到渐近线的距离为6，则此双曲线的标准方程为()A1 B1C1 D1(3)若双曲线经过点(3，)，且渐近线方程是yx，则双曲线的标准方程是_。解析(1)若方程1表示双曲线，则(n1)(n3)0，解得1n3，则0n2的范围小于1n3，所以“0n2”是“方程1表示双曲线”的充分不必要条件。故选A。(2)因为双曲线的一条渐近线方程是yx，所以。又因为6，所以c10。因为c2a2b2，所以a264，b236。所以双曲线方程为1。故选C。(3)设双曲线的方程是y2(0)。因为双曲线过点(3，)，所以21。故双曲线的标准方程为y21。答案(1)A(2)C(3)y211利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值。2与双曲线1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为(0)。3双曲线的焦点到渐近线的距离是b。【变式训练】(1)若实数k满足0k9，则曲线1与曲线1的()A离心率相等B虚半轴长相等C实半轴长相等D焦距相等(2)已知焦点在y轴上的双曲线C的一条渐近线与直线l：xy0垂直，且C的一个焦点到l的距离为3，则双曲线C的标准方程为()A1 B1C1 D1解析(1)由0k0，b0)，因为双曲线C的一条渐近线与直线l：xy0垂直，所以双曲线C的一条渐近线为yx。设双曲线的一个焦点为(0，c)，则其到直线l的距离为3。所以c2。由双曲线的一条渐近线为yx，可知。因为a2b2c2，所以a29，b23。故双曲线的标准方程为1。答案(1)D(2)A考点三双曲线的简单几何性质微点小专题方向1：双曲线的渐近线【例3】(2019福州四校联考)过双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，若这4条直线所围成的四边形的周长为8b，则该双曲线的渐近线方程为()AyxByxCyxDy2x解析由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为8b，所以菱形的边长为2b，由勾股定理得4条直线与y轴的交点到x轴的距离为，又4条直线分别与两条渐近线平行，所以，解得ab，所以该双曲线的渐近线的斜率为1，所以该双曲线的渐近线方程为yx。故选A。答案A双曲线1(a0，b0)的渐近线是令0，即得两渐近线方程0。渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答。方向2：双曲线的离心率【例4】(2018全国卷)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的左，右焦点，O是坐标原点。过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P。若|PF1|OP|，则C的离心率为()AB2CD解析不妨设一条渐近线的方程为yx，则F2到yx的距离db，在RtF2PO中，|F2O|c，所以|PO|a，所以|PF1|a，又|F1O|c，所以在F1PO与RtF2PO中，根据余弦定理得cosPOF1cosPOF2，即3a2c2(a)20，得3a2c2，所以e。故选C。答案C双曲线的离心率e是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2c2a2消去b，然后变形成关于e的关系式，并且需注意e1。方向3：双曲线几何性质的综合应用【例5】(2019太原模拟)已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|2a，F1AF2，则()A1 BCD解析如图所示，由双曲线定义可知|AF2|AF1|2a。又|AF1|2a，所以|AF2|4a，因为F1AF2，所以SAF1F2|AF1|AF2|sinF1AF22a4a2a2。设|BF2|m，由双曲线定义可知|BF1|BF2|2a，所以|BF1|2a|BF2|，又知|BF1|2a|BA|，所以|BA|BF2|。又知BAF2，所以BAF2为等边三角形，边长为4a，所以SABF2|AB|2(4a)24a2，所以。故选B。答案B双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系。【题点对应练】1(方向1)已知双曲线C：1(m0，n0)的离心率与椭圆1的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为()A4x3y0B3x4y0C4x3y0或3x4y0D4x5y0或5x4y0解析由题意知，椭圆中a5，b4，所以椭圆的离心率e，所以双曲线的离心率为，所以，所以双曲线的渐近线方程为yxx，即4x3y0。故选A。答案A2(方向2)已知椭圆M：1(ab0)，双曲线N：1。若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为_；双曲线N的离心率为_。解析设椭圆的右焦点为F(c,0)，双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象限内的交点为A，由题意可知A，由点A在椭圆M上得，1，所以b2c23a2c24a2b2，因为b2a2c2，所以(a2c2)c23a2c24a2(a2c2)，所以4a48a2c2c40，所以e8e40，所以e42，所以e椭1(舍去)或e椭1，所以椭圆M的离心率为1，因为双曲线的渐近线过点A，所以一条渐近线方程为yx，所以，故双曲线的离心率e双2。答案123(方向3)已知离心率为的双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OMMF2，O为坐标原点，若SOMF216，则双曲线的实轴长是()A32 B16C8 D4解析由题意知F2(c,0)，不妨令点M在渐近线yx上，由题意可知|F2M|b，所以|OM|a。由SOMF216，可得ab16，即ab32，又a2b2c2，所以a8，b4，c4，所以双曲线C的实轴长为16。故选B。答案B考点四直线与双曲线的位置关系【例6】已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e，虚轴长为2。(1)求双曲线C的标准方程；(2)若直线l：ykxm与曲线C相交于A，B两点(A，B均异于左、右顶点)，且以线段AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点。解(1)设双曲线的标准方程为1(a0，b0)。由已知得，2b2，又a2b2c2，所以a2，b1，所以双曲线的标准方程为y21。(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(14k2)x28kmx4(m21)0，所以64m2k216(14k2)(m21)0，x1x20，x1x20，所以可得，所以a2。于是，由双曲线的定义得|6|PF2|2a4，解得|PF2|2或|PF2|10。又|PF1|6ac2，所以点P可能在双曲线的右支上，也可能在左支上，故所求|PF2|2或|PF2|10均有可能。故选D。答案D2(配合例2使用)已知双曲线C的两个焦点F1，F2都在x轴上，对称中心为原点O，离心率为。若点M在C上，且MF1MF2，M到原点的距离为，则C的方程为()A1 B1Cx21 Dy21解析由题意可知，OM为RtMF1F2斜边上的中线，所以|OM|F1F2|c。由M到原点的距离为，得c，又e，所以a1，所以b2c2a2312。故双曲线C的方程为x21。故选C。答案C3(配合例4使用)过双曲线1(a0，b0)的右焦点F作圆x2y2a2的切线FM，切点为M，交y轴于点P，若，且双曲线的离心率e，则()A1 B2C3 D4解析如图，|OF|c，|OM|a，OMPF，所以|MF|b，根据射影定理得|PF|，所以|PM|b，所以。因为e212，所以。所以2。故选B。答案B4(配合例5使用)已知双曲线C：x21(b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线C上的任意一点，过点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于A，B两点，若四边形PAOB(O为坐标原点)的面积为，且0，则点P的横坐标的取值范围为()ABCD解析由题易知四边形PAOB为平行四边形，且不妨设双曲线C的渐近线OA：bxy0，OB：bxy0。设点P(m，n)，则直线PB的方程为ynb(xm)，且点P到渐近线OB的距离为d。由解得所以B，所以|OB|bmn|，所以SPAOB|OB|d。又因为m21，所以b2m2n2b2，所以SPAOBb。又SPAOB，所以b2，所以双曲线C的方程为x21，所以c3，所以F1(3,0)，F2(3,0)，所以(3m)(3m)n20，即m29n20，又因为m21，所以m298(m21)0，解得m或m，所以点P的横坐标的取值范围为。故选A。答案A
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