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普通物理A（2）练习册 参考解答第12章 真空中的静电场一、选择题1(C)，2(A)，3(C)，4(D)，5(B)，二、填空题(1). 0，l / (2e0) ； (2). 0 ； (3). 2103 V； (4). ； (5). 0，pE sina ； OBA三、计算题1. 将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为l，四分之一圆弧AB的半径为R，试求圆心O点的场强 解：在O点建立坐标系如图所示 半无限长直线A在O点产生的场强： 半无限长直线B在O点产生的场强： 四分之一圆弧段在O点产生的场强： 由场强叠加原理，O点合场强为： 2. 两根相同的均匀带电细棒，长为l，电荷线密度为l，沿同一条直线放置两细棒间最近距离也为l，如图所示假设棒上的电荷是不能自由移动的，试求两棒间的静电相互作用力 解：选左棒的左端为坐标原点O，x轴沿棒方向向右，在左棒上x处取线元dx，其电荷为dqldx，它在右棒的处产生的场强为： 整个左棒在处产生的场强为： 右棒处的电荷元ld在电场中受力为： 整个右棒在电场中受力为： ，方向沿x轴正向 左棒受力 另解： 3. 一“无限长”圆柱面，其电荷面密度为： s = s0cos f ，式中f 为半径R与x轴所夹的角，试求圆柱轴线上一点的场强 解：将柱面分成许多与轴线平行的细长条，每条可视为“无限长”均匀带电直线，其电荷线密度为 l = s0cosf Rdf，它在O点产生的场强为： 它沿x、y轴上的二个分量为： dEx=dEcosf = dEy=dEsinf = 积分： 4. 如图所示，一厚为b的“无限大”带电平板 ， 其电荷体密度分布为rkx (0 xb )，式中k为一正的常量求： (1) 平板外两侧任一点P1和P2处的电场强度大小； (2) 平板内任一点P处的电场强度； (3) 场强为零的点在何处？ 解： (1) 由对称分析知，平板外两侧场强大小处处相等、方向垂直于平面且背离平面设场强大小为E 作一柱形高斯面垂直于平面其底面大小为S，如图所示 按高斯定理，即得到 E = kb2 / (4e0) (板外两侧) (2) 过P点垂直平板作一柱形高斯面，底面为S设该处场强为，如图所示按高斯定理有 得到 (0 xb) (3) =0，必须是， 可得 5. 一“无限大”平面，中部有一半径为R的圆孔，设平面上均匀带电，电荷面密度为s如图所示，试求通过小孔中心O并与平面垂直的直线上各点的场强和电势(选O点的电势为零) 解：将题中的电荷分布看作为面密度为s的大平面和面密度为s的圆盘叠加的结果选x轴垂直于平面，坐标原点在圆盘中心，大平面在x处产生的场强为 圆盘在该处的场强为 该点电势为 6一真空二极管，其主要构件是一个半径R1510-4 m的圆柱形阴极A和一个套在阴极外的半径R24.510-3 m的同轴圆筒形阳极B，如图所示阳极电势比阴极高300 V，忽略边缘效应. 求电子刚从阴极射出时所受的电场力(基本电荷e1.610-19 C) 解：与阴极同轴作半径为r (R1rR2 )的单位长度的圆柱形高斯面，设阴极上电荷线密度为l按高斯定理有 2prE = l/ e0得到 E= l / (2pe0r) (R1rR2) 方向沿半径指向轴线两极之间电势差 得到 ， 所以 在阴极表面处电子受电场力的大小为 4.3710-14 N 方向沿半径指向阳极 7. 如图所示，半径为R的均匀带电球面，带有电荷q沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为l，长度为l，细线左端离球心距离为r0设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能(设无穷远处的电势为零)解：设x轴沿细线方向，原点在球心处，在x处取线元dx，其上电荷为，该线元在带电球面的电场中所受电场力为： dF = qldx / (4pe0 x2) 整个细线所受电场力为： 方向沿x正方向 电荷元在球面电荷电场中具有电势能： dW = (qldx) / (4pe0 x) 整个线电荷在电场中具有电势能： 四 研讨题1. 真空中点电荷q的静电场场强大小为 式中r为场点离点电荷的距离当r0时，E，这一推论显然是没有物理意义的，应如何解释？参考解答：点电荷的场强公式仅适用于点电荷，当r0时，任何带电体都不能视为点电荷，所以点电荷场强公式已不适用 若仍用此式求场强E，其结论必然是错误的当r0时，需要具体考虑带电体的大小和电荷分布，这样求得的E就有确定值2. 用静电场的环路定理证明电场线如图分布的电场不可能是静电场参考解答：证：在电场中作如图所示的扇形环路abcda在ab和cd段场强方向与路径方向垂直在bc和da段场强大小不相等（电力线疏密程度不同）而路径相等因而 按静电场环路定理应有，此场不满足静电场环路定理，所以不可能是静电场 3. 从工厂的烟囱中冒出的滚滚浓烟中含有大量颗粒状粉尘，它们严重污染了环境，影响到作物的生长和人类的健康。静电除尘是被人们公认的高效可靠的除尘技术。先在实验室内模拟一下管式静电除尘器除尘的全过程，在模拟烟囱内，可以看到，有烟尘从“烟囱”上飘出。加上电源，烟囱上面的烟尘不见了。如果撤去电源，烟尘又出现在我们眼前。请考虑如何计算出实验室管式静电除尘器的工作电压，即当工作电压达到什么数量级时，可以实现良好的静电除尘效果。 参考解答：先来看看静电除尘装置的结构：在烟囱的轴线上，悬置了一根导线，称之谓电晕线；在烟囱的四周设置了一个金属线圈，我们称它为集电极。直流高压电源的正极接在线圈上，负极接在电晕线上，如右上图所示。可以看出，接通电源以后，集电极与电晕线之间就建立了一个非均匀电场，电晕线周围电场最大。 改变直流高压电源的电压值，就可以改变电晕线周围的电场强度。当实际电场强度与空气的击穿电场相近时空气发生电离，形成大量的正离子和自由电子。 自由电子随电场向正极飘移，在飘移的过程中和尘埃中的中性分子或颗粒发生碰撞，这些粉尘颗粒吸附电子以后就成了荷电粒子，这样就使原来中性的尘埃带上了负电。 在电场的作用下，这些带负电的尘埃颗粒继续向正极运动，并最后附着在集电极上。 （集电极可以是金属线圈，也可以是金属圆桶壁）当尘埃积聚到一定程度时，通过振动装置，尘埃颗粒就落入灰斗中。 这种结构也称管式静电除尘器。 如右中图所示。对管式静电除尘器中的电压设置，我们可以等价于同轴电缆来计算。如右下图所示，ra与rb分别表示电晕极与集电极的半径，L及D分别表示圆筒高度及直径。一般L为3-5m，D为200-300mm，故LD，此时电晕线外的电场可以认为是无限长带电圆柱面的电场。 设单位长度的圆柱面带电荷为l。 用静电场高斯定理求出距轴线任意距离r处点P的场强为： 式中为沿径矢的单位矢量。内外两极间电压U与电场强度E之关系为，将式(1)代入式(2)，积分后得: , 故 .由于电晕线附近的电场强度最大，使它达到空气电离的最大电场强度时，就可获得高压电源必须具备的电压代入空气的击穿电场，并取一组实测参数如下：,计算结果.若施加电压U低于临界值，则没有击穿电流，实现不了除尘的目的。也就是说，在这样尺寸的除尘器中，通常当电压达到105V的数量级时，就可以实现良好的静电除尘效果。静电除尘器除了上述的管式结构外还有其它的结构形式，如板式结构等。可以参阅有关资料，仿上计算，也可以自行独立设计一种新型结构的静电除尘器。第13章 静电场中的导体和电解质一、选择题1(D)，2(A)，3(C)，4(B)，5(C)二、填空题(1). s (x，y，z)/e 0，与导体表面垂直朝外(s 0) 或 与导体表面垂直朝里(s 0).(2). s ，s / ( e 0e r )； (3). ；(4). P ，P ，0； (5). er ，er三、计算题1.如图所示，一内半径为a、外半径为b的金属球壳，带有电荷Q，在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q设无限远处为电势零点，试求： (1) 球壳内外表面上的电荷 (2) 球心O点处，由球壳内表面上电荷产生的电势 (3) 球心O点处的总电势 解：(1) 由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷-q，外表面上带电荷q+Q (2) 不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离O点的距离都是a，所以由这些电荷在O点产生的电势为 (3) 球心O点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q在O点产生的电势的代数和 2. 如图所示，一球形电容器，内球壳半径为R1，外球壳半径为R2 (R2R1)，其间充有相对介电常数分别为er1和er2的两层各向同性均匀电介质(er2er1 / 2)，其界面半径为R若两种电介质的击穿电场强度相同，问： (1) 当电压升高时，哪层介质先击穿？ (2) 该电容器能承受多高的电压？ 解：(1) 设两球壳上分别带电荷Q和Q，则其间电位移的大小为 DQ / (4pr2) 两层介质中的场强大小分别为 E1 = Q / (4pe0 er1r2) E2 = Q / (4pe0 er2r2) 在两层介质中场强最大处在各自内表面处，即 E1M = Q / (4pe0 er1)， E2M = Q / (4pe0 er2R2)两者比较可得 已知R2R1，可得E1ME2M，可见外层介质先击穿 (2) 当外层介质中最大场强达击穿电场强度EM时，球壳上有最大电荷 QM = 4pe0er2R2EM 此时，两球壳间电压(即最高电压)为 3. 如图所示，一圆柱形电容器，内筒半径为R1，外筒半径为R2 (R22 R1)，其间充有相对介电常量分别为er1和er2er1 / 2的两层各向同性均匀电介质，其界面半径为R若两种介质的击穿电场强度相同，问：(1) 当电压升高时，哪层介质先击穿？(2) 该电容器能承受多高的电压？ 解：(1) 设内、外筒单位长度带电荷为l和l两筒间电位移的大小为 Dl / (2pr)在两层介质中的场强大小分别为 E1 = l / (2pe0 er1r)， E2 = l / (2pe0 er2r) 在两层介质中的场强最大处是各层介质的内表面处，即 E1M = l / (2pe0 er1R1)， E2M = l / (2pe0 er2R) 可得 E1M / E2M = er2R / (er1R1) = R / (2R1)已知 R12 R1， 可见 E1ME2M，因此外层介质先击穿 (2) 当内筒上电量达到lM，使E2MEM时，即被击穿， lM = 2pe0 er2REM 此时两筒间电压(即最高电压)为： 4. 如图所示，一电容器由两个同轴圆筒组成，内筒半径为a，外筒半径为b，筒长都是L，中间充满相对介电常量为er的各向同性均匀电介质内、外筒分别带有等量异号电荷+Q和-Q设 (b- a) b，可以忽略边缘效应，求： (1) 圆柱形电容器的电容； (2) 电容器贮存的能量 解：由题给条件 (和，忽略边缘效应, 应用高斯定理可求出两筒之间的场强为： 两筒间的电势差 电容器的电容 电容器贮存的能量 5. 一平行板电容器，其极板面积为S，两板间距离为d (d 0，则方向为沿x轴正方向若B a)两根导线中分别保持电流I, 两电流方向相反 (1) 求这两导线单位长度的自感系数(忽略导线内磁通)； (2) 若将导线间距离由b增到2 b，求磁场对单位长度导线做的功； (3) 导线间的距离由b增大到2 b，则对应于导线单位长度的磁能改变了多少？是增加还是减少？说明能量的转换情况 解：(1) 单位长度自感系数为： (2) 两等值反向的直线电流间的作用力为排斥力，将导线沿受力方向移动dr距离时，磁场力对单位长度导线作功为： (3) 磁能增量 而 这说明磁能增加了这是因为在导线间距离由b增大到2 b过程中，两导线中都出现与电流反向的感应电动势，因而，为要保持导线中电流不变外接电源要反抗导线中的感应电动势作功，消耗的电能一部分转化为磁场能量，一部分通过磁场力作功转化为其他形式能量 四 研讨题1. 将磁场的高斯定理与电场的高斯定理相比，两者有着本质上的区别。从类比的角度可作何联想？参考解答：磁场的高斯定理与电场的高斯定理：作为类比，反映自然界中没有与电荷相对应“磁荷”（或叫单独的磁极）的存在。但是狄拉克1931年在理论上指出，允许有磁单极子的存在，提出： 式中q 是电荷、qm 是磁荷。电荷量子化已被实验证明了。然而迄今为止，人们还没有发现可以确定磁单极子存在可重复的直接实验证据。如果实验上找到了磁单极子，那么磁场的高斯定理以至整个电磁理论都将作重大修改。1982年，美国斯坦福大学曾报告，用直径为5cm的超导线圈放入直径20cm的超导铅筒，由于迈斯纳效应屏蔽外磁场干扰，只有磁单极子进入才会引起磁通变化。运行151天，记录到一次磁通变化，但此结果未能重复。据查阅科学出版社1994年出版的，由美国引力、宇宙学和宇宙线物理专门小组撰写的90年代物理学有关分册，目前已经用超导线圈，游离探测器和闪烁探测器来寻找磁单极子。在前一种情况，一个磁单极子通过线圈会感应出一个阶跃电流，它能被一个复杂装置探测出来，但这种方法的探测面积受到线圈大小的限制。游离探测器和闪烁探测器能做成大面积的，但对磁单极子不敏感。现在物理学家们仍坚持扩大对磁单极子的研究，建造闪烁体或正比计数器探测器，相应面积至少为1000m2。并建造较大的，面积为100m2量级的环状流强探测器，同时加强寻找陷落在陨石或磁铁矿中的磁单极子的工作。2. 当带电粒子由弱磁场区向强磁场区做螺旋运动时，平行于磁场方向的速度分量如何变化？动能如何变化？垂直于磁场方向的速度分量如何变化？参考解答：当带电粒子由弱磁场区向强磁场区做螺旋运动时，它所受到的磁场力有一个和前进方向相反的分量，这个分量将使平行于磁场方向的速度分量减小，甚至可使此速度分量减小到零，然后使粒子向相反方向运动（这就是磁镜的原理）。当带电粒子由弱磁场区向强磁场区做螺旋运动时，由于平行于磁场方向的速度分量减小，因而与这个速度分量相关的动能也减小。然而磁力对带电粒子是不做功的，粒子的总动能不会改变，因此，与垂直于磁场方向的速度分量相关的动能在此运动过程中将会增大，垂直于磁场方向的速度分量也相应地增大。3. 电磁流量计是一种场效应型传感器,如图所示：截面矩形的非磁性管,其宽度为d、高度为h，管内有导电液体自左向右流动, 在垂直液面流动的方向加一指向纸面内的匀强磁场,当磁感应强度为B时,测得液体上表面的a与下表面的b两点间的电势差为U,求管内导电液体的流量。参考解答：导电液体自左向右在非磁性管道内流动时, 在洛仑兹力作用下, 其中的正离子积累于上表面,负离子积累于下表面, 于是在管道中又形成了从上到下方向的匀强霍尔电场E,它同匀强磁场B一起构成了速度选择器。因此在稳定平衡的条件下,对于以速度v匀速流动的导电液体, 无论是对其中的正离子还是负离子,都有 流速液体流量如果截面园形的非磁性管, B磁感应强度；D测量管内径；U流量信号（电动势）；v液体平均轴向流速, L测量电极之间距离。霍尔电势Ue k（无量纲）的常数，在圆形管道中，体积流量是：把方程(1)、(2) 合并得：液体流量 或者，K校准系数，通常是靠湿式校准来得到。 第15章 磁介质的磁化一、选择题1(C)，2(B)，3(B)，4(C)，5(D)二、填空题(1). 8.8810-6 ，抗 . (2). 铁磁质，顺磁质，抗磁质.(3). 7.96105 A/m， 2.42102 A/m. (4). 各磁畴的磁化方向的指向各不相同，杂乱无章.全部磁畴的磁化方向的指向都转向外磁场方向.(5). 磁导率大，矫顽力小，磁滞损耗低 变压器，交流电机的铁芯等三 计算题1. 一根同轴线由半径为R1的长导线和套在它外面的内半径为R2、外半径为R3的同轴导体圆筒组成中间充满磁导率为m的各向同性均匀非铁磁绝缘材料，如图传导电流I沿导线向上流去，由圆筒向下流回，在它们的截面上电流都是均匀分布的求同轴线内外的磁感强度大小B的分布解：由安培环路定理： 0 r R1区域： ， R1 r R2区域： ， R2 r R3区域： H = 0，B = 0 2. 螺绕环中心周长l = 10 cm，环上均匀密绕线圈N = 200匝，线圈中通有电流I = 0.1 A管内充满相对磁导率mr = 4200的磁介质求管内磁场强度和磁感强度的大小解： 200 A/m 1.06 T 3. 一铁环的中心线周长为0.3 m，横截面积为1.010-4 m2，在环上密绕300匝表面绝缘的导线，当导线通有电流3.210-2 A时，通过环的横截面的磁通量为2.010-6 Wb求： (1) 铁环内部的磁感强度； (2) 铁环内部的磁场强度； (3) 铁的磁化率； (4) 铁环的磁化强度解：(1) T (2) n = 1000 m-1， H = nI032 A/m (3) 相对磁导率 磁化率 cm = mr1 = 496 (4) 磁化强度 M = cmH1.59104 A/m四 研讨题1. 顺磁质和铁磁质的磁导率明显地依赖于温度，而抗磁质的磁导率则几乎与温度无关，为什么？参考解答：顺磁质的磁性主要来源于分子的固有磁矩沿外磁场方向的取向排列。当温度升高时，由于热运动的缘故，这些固有磁矩更易趋向混乱，而不易沿外磁场方向排列，使得顺磁质的磁性因磁导率明显地依赖于温度。 铁磁质的磁性主要来源于磁畴的磁矩方向沿外磁场方向的取向排列。当温度升高时，各磁畴的磁矩方向易趋向混乱而使铁磁质的磁性减小，因而铁磁质的磁导率会明显地依赖于温度。当铁磁质的温度超过居里点时，其磁性还会完全消失。至于抗磁质，它的磁性来源于抗磁质分子在外磁场中所产生的与外磁场方向相反的感生磁矩，不存在磁矩的方向排列问题，因而抗磁质的磁性和分子的热运动情况无关，这就是抗磁质的磁导率几乎与温度无关的原因。2. 在实际问题中用安培环路定理计算由铁磁质组成的闭合环路，在得出H后，如何进一步求出对应的B值呢？参考解答:由于铁磁质的m r不是一个常数，因此不能用B =mrm0H来进行计算，而是应当查阅手册中该铁磁材料的BH曲线图，找出对应于计算值H的磁感强度B值第16章 电磁场一、选择题1(A)，2(C)，3(D)，4(B)，5(D)二、填空题(1). 或.(2). pBnR2, O . (3). 9.6 J.(4). 或 , 或 .(5). , 相反三 计算题1. 如图所示，有一弯成q 角的金属架COD放在磁场中，磁感强度的方向垂直于金属架COD所在平面一导体杆MN垂直于OD边，并在金属架上以恒定速度向右滑动，与MN垂直设t =0时，x = 0求下列两情形，框架内的感应电动势Ei (1) 磁场分布均匀，且不随时间改变 (2) 非均匀的时变磁场解：(1) 由法拉第电磁感应定律： 在导体MN内Ei方向由M向N (2) 对于非均匀时变磁场 取回路绕行的正向为ONMO，则 Ei = Ei 0，则Ei方向与所设绕行正向一致，Ei r，x R若大线圈通有电流I而小线圈沿x轴方向以速率v运动，试求x =NR时(N为正数)小线圈回路中产生的感应电动势的大小解：由题意，大线圈中的电流在小线圈回路处产生的磁场可视为均匀的 故穿过小回路的磁通量为 由于小线圈的运动，小线圈中的感应电动势为 当x =NR时，小线圈回路中的感应电动势为 4. 有一很长的长方的U形导轨，与水平面成q角，裸导线ab可在导轨上无摩擦地下滑，导轨位于磁感强度竖直向上的均匀磁场中，如图所示设导线ab的质量为m，电阻为R，长度为l，导轨的电阻略去不计，abcd形成电路，t =0时，v =0. 试求：导线ab下滑的速度v与时间t的函数关系解：ab导线在磁场中运动产生的感应电动势 abcd回路中流过的电流 ab载流导线在磁场中受到的安培力沿导轨方向上的分力为： 由牛顿第二定律： 令 ， 则 利用t = 0，v = 0 有 5. 一根长为l，质量为m，电阻为R的导线ab沿两平行的导电轨道无摩擦下滑，如图所示轨道平面的倾角为q，导线ab与轨道组成矩形闭合导电回路abdc整个系统处在竖直向上的均匀磁场中，忽略轨道电阻求ab导线下滑所达到的稳定速度解动生电动势 导线受到的安培力 ab导线下滑达到稳定速度时重力和磁力在导轨方向的分力相平衡 6. 如图所示，长直导线中电流为i，矩形线框abcd与长直导线共面，且adAB，dc边固定，ab边沿da及cb以速度无摩擦地匀速平动t = 0时，ab边与cd边重合设线框自感忽略不计 (1) 如i =I0，求ab中的感应电动势ab两点哪点电势高？ (2) 如i =I0coswt，求ab边运动到图示位置时线框中的总感应电动势解：(1)所处的磁场不均匀，建立坐标ox，x沿ab方向，原点在长直导线处，则x处的磁场为 ， i =I0 沿a b方向 故 (2) ，以abcda作为回路正方向， 上式中， 则有 7. 如图所示，一个恒力作用在质量为m，长为l垂直于导轨滑动的裸导线上，该导线两端通过导体轨与电阻R相通(导线电阻也计入R)导线从静止开始，在均匀磁场中运动，其速度的方向与和导线皆垂直，假定滑动是无摩擦的且忽略导线与电阻R形成的回路的自感，试求导线的速度与时间的关系式解：在均匀磁场中运动导线切割磁力线，在导线上产生的动生电动势：E =vBl式中l为导线的长度，v为其运动的速度 导线中电流为： 根据安培力公式，导线受磁力 和方向相反 导线运动的微分方程为： 其解为： 其中 exp(x) =ex,G为待定常量当t =0，v =0，求得，故 8. 一根电缆由半径为R1和R2的两个薄圆筒形导体组成，在两圆筒中间填充磁导率为m 的均匀磁介质电缆内层导体通电流I，外层导体作为电流返回路径，如图所示求长度为l的一段电缆内的磁场储存的能量解： ， (R1 r R2) ， 四 研讨题2. 变压器的铁心为什么总做成片状的，而且涂上绝缘漆相互隔开？铁片放置的方向应和线圈中磁场的方向有什么关系？参
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