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第五节椭圆2019考纲考题考情1椭圆的概念平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆。这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数。(1)若ac，则M点的轨迹为椭圆。(2)若ac，则M点的轨迹为线段F1F2。(3)若ac，则M点不存在。2椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0,1)a，b，c的关系c2a2b21椭圆方程中的a，b，c(1)a，b，c关系：a2b2c2。(2)e与：因为e，所以离心率e越大，则越小，椭圆就越扁；离心率e越小，则越大，椭圆就越圆。2在求焦点在x轴上椭圆的相关量的范围时，要注意应用以下不等关系：axa，byb,0e|F1F2|6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a5，c3，b4，故点P的轨迹方程为1。故选A。答案A2(选修21P49A组T6改编)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()ABC2D1解析设椭圆方程为1，依题意，显然有|PF2|F1F2|，则2c，即2c，即e22e10，又0eb0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为()ABCD解析由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|2c，因为PF1F2为等腰三角形，且F1F2P120，所以|PF2|F1F2|2c。因为|OF2|c，所以点P坐标为(c2ccos60，2csin60)，即点P(2c，c)。因为点P在过A且斜率为的直线上，所以，解得，所以e，故选D。答案D4(2017全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()ABCD解析由题知以线段A1A2为直径的圆的方程为x2y2a2，圆心到直线bxay2ab0的距离da，得a23b2，C的离心率e，故选A。答案A三、走出误区微提醒：忽视椭圆定义中的限制条件；忽视椭圆标准方程焦点位置的讨论；忽视点P坐标的限制条件。5平面内一点M到两定点F1(0，9)，F2(0,9)的距离之和等于18，则点M的轨迹是_。解析由题意知|MF1|MF2|18，但|F1F2|18，即|MF1|MF2|F1F2|，所以点M的轨迹是一条线段。答案线段F1F26椭圆1的焦距为4，则m等于()A4 B8C4或8 D12解析当焦点在x轴上时，10mm20,10m(m2)4，所以m4。当焦点在y轴上时，m210m0，m2(10m)4，所以m8。所以m4或8。答案C7已知点P是椭圆1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为_。解析设P(x，y)，由题意知c2a2b2541，所以c1，则F1(1,0)，F2(1,0)。由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y1，把y1代入1，得x，又x0，所以x，所以P点坐标为或。答案或第1课时椭圆的定义及简单几何性质考点一椭圆的定义及应用【例1】(1)过椭圆y21的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，F2是椭圆右焦点，则ABF2的周长为()A8 B4C4 D2(2)在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，1)，则|PA|PB|的最大值为()A5 B4C3 D2解析(1)因为y21，所以a2。由椭圆的定义可得|AF1|AF2|2a4，且|BF1|BF2|2a4，所以ABF2的周长为|AB|AF2|BF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)4a8。故选A。(2)因为椭圆方程为1，所以焦点为B(0，1)和B(0,1)，连接PB，AB，根据椭圆的定义，得|PB|PB|2a4，可得|PB|4|PB|，因此|PA|PB|PA|(4|PB|)4(|PA|PB|)。因为|PA|PB|AB|，所以|PA|PB|4|AB|415，当且仅当P在AB延长线上时，等号成立。故|PA|PB|的最大值为5。答案(1)A(2)A椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|，通过整体代入可求其面积等。面积公式SPF1F2b2tan(其中F1PF2)。【变式训练】(1)(2019惠州调研)设F1，F2为椭圆1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为()ABCD(2)已知椭圆1上一点P与椭圆的两焦点F1，F2的连线夹角为直角，则|PF1|PF2|_。解析(1)如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OMPF2，可得PF2x轴，可求得|PF2|，|PF1|2a|PF2|，。故选D。(2)依题意a7，b2，c5，|F1F2|2c10，由于PF1PF2，所以由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即|PF1|2|PF2|2100。又由椭圆定义知|PF1|PF2|2a14，所以(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|100，即1962|PF1|PF2|100。解得|PF1|PF2|48。答案(1)D(2)48考点二椭圆的标准方程【例2】(1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆的标准方程为_。(2)设F1、F2为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若F2AB是面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为_。解析(1)设椭圆方程为mx2ny21(m，n0，mn)。由解得m，n，故椭圆的标准方程为1。(2)因为F2AB是面积为4的等边三角形，所以ABx轴，所以A，B两点的横坐标为c，代入椭圆方程，可求得|F1A|F1B|。又|F1F2|2c，F1F2A30，所以2c。又SF2AB2c4，a2b2c2，由解得a29，b26，c23，所以椭圆C的方程为1。答案(1)1(2)11求椭圆方程的基本方法是待定系数法，先定位，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组。2如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0，mn)，求出m，n的值即可。3椭圆的通径(过焦点且与长轴垂直的弦)长为。【变式训练】(1)已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A1 B1C1 D1(2)(2019亳州模拟)椭圆E：1(ab0)的两个焦点为F1，F2，椭圆上两动点P，Q总使PF1QF2为平行四边形，若平行四边形PF1QF2的周长和最大面积分别为8和2，则椭圆的标准方程可能为()Ay21 B1C1 D1解析(1)设圆M的半径为r，则|MC1|MC2|(13r)(3r)16，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a16,2c8，故所求的轨迹方程为1。(2)如图，由四边形PF1QF2周长为8，可知4a8，所以a2。当P，Q为短轴端点时，四边形的面积最大，故2bc2，即bc。椭圆方程可以是1。故选C。答案(1)D(2)C考点三椭圆的简单几何性质微点小专题方向1：求离心率的值或范围【例3】(1)(2018安徽二模)已知椭圆1(ab0)的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若0，则椭圆的离心率为()ABCD(2)(2019湖南联考)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形，且60PF1F2120，则该椭圆的离心率的取值范围是()ABCD解析(1)由题意知，M(a,0)，N(0，b)，F(c，0)，所以(a，b)，(c，b)。因为0，所以acb20，即b2ac。又知b2a2c2，所以a2c2ac，所以e2e10，解得e或e(舍)。所以椭圆的离心率为。故选D。(2)由题意可得，|PF2|2|F1F2|2|PF1|22|F1F2|PF1|cosPF1F24c24c222c2ccosPF1F2，即|PF2|2c，所以acc，又60PF1F2120，所以cosPF1F2，所以2ca(1)c，则，即e1)上两点A，B满足2，则当m_时，点B横坐标的绝对值最大。解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由2，得即因为点A，B在椭圆上，所以得y2m，xm(32y2)2m2m(m5)244，所以当m5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2。答案5与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法1利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围。2利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围。3利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围。4利用一元二次方程的根的判别式求最值或取值范围。【题点对应练】1(方向1)P是椭圆1(ab0)上的一点，A为左顶点，F为右焦点，PFx轴，若tanPAF，则椭圆的离心率e为()ABCD解析如图，不妨设点P在第一象限，因为PFx轴，所以xPc，将xPc代入椭圆方程得yP，即|PF|，则tanPAF，结合b2a2c2，整理得2c2aca20，两边同时除以a2得2e2e10，解得e或e1(舍去)。故选D。答案D2(方向1)已知F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点。若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C的离心率的取值范围是()ABCD解析因为线段PF1的中垂线经过焦点F2，所以|PF2|F1F2|2c，即椭圆上存在点P，使|PF2|2c，所以ac2cac，再结合e(0,1)，解得eb0)。由题设知抛物线的焦点为(0,2)，所以椭圆中b2。因为e，所以a2c，又a2b2c2，联立解得c2，a4，所以椭圆C的标准方程为1。答案13(配合例3使用)已知椭圆1(ab0)的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1PF2，则椭圆的离心率的平方为()ABCD解析由题意得，A(a,0)，B(0，b)，由在线段AB上有且只有一个点P满足PF1PF2，得点P是以点O为圆心，线段F1F2为直径的圆x2y2c2与线段AB的切点，连接OP，则OPAB，且OPc，即点O到直线AB的距离为c。又直线AB的方程为yxb，整理得bxayab0，点O到直线AB的距离dc，两边同时平方整理得，a2b2c2(a2b2)(a2b2)(a2b2)a4b4，可得b4a2b2a40，两边同时除以a4，得210，可得，则e211。故选B。答案B4(配合例4使用)已知椭圆C：y21的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0y1，则|PF1|PF2|的取值范围是_。解析由点P(x0，y0)满足0y1，可知P(x0，y0)一定在椭圆内(不包括原点)，因为a，b1，所以由椭圆的定义可知|PF1|PF2|b0)的离心率为，焦距为2。斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B。(1)求椭圆M的方程；(2)若k1，求|AB|的最大值。解(1)由题意得解得a，b1。所以椭圆M的方程为y21。(2)设直线l的方程为yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)。由得4x26mx3m230。0m2b0)的一条弦所在的直线方程是xy50，弦的中点坐标是M(4,1)，则椭圆的离心率是()ABCD解析设直线xy50与椭圆1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，因为AB的中点M(4,1)，所以x1x28，y1y22。易知直线AB的斜率k1。由两式相减得，0，所以，所以，于是椭圆的离心率e。故选C。答案C弦及弦中点问题的解决方法1根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数关系表示中点。2点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率。【变式训练】已知椭圆：x21，过点P的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为()A9xy40 B9xy50C2xy20 Dxy50解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B在椭圆x21上，所以两式相减得xx0，即(x1x2)(x1x2)0，又弦AB被点P平分，所以x1x21，y1y21，将其代入上式得x1x20，即9，即直线AB的斜率为9，所以直线AB的方程为y9，即9xy50。答案B考点三证明问题【例3】(2018全国卷)设椭圆C：y21的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)。(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：OMAOMB。解(1)由已知得F(1,0)，l的方程为x1。由已知可得，点A的坐标为或。所以AM的方程为yx或yx。(2)证明：当l与x轴重合时，OMAOMB0。当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以OMAOMB。当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2b0)经过点P，且离心率为。(1)求椭圆C的方程；(2)设F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，不经过F1的直线l与椭圆C交于两个不同的点A，B。如果直线AF1，l，BF1的斜率依次成等差数列，求焦点F2到直线l的距离d的取值范围。解(1)由题意，知解得所以椭圆C的方程为y21。(2)易知直线l的斜率存在且不为零。设直线l的方程为ykxm，代入椭圆方程y21，整理得(12k2)x24kmx2(m21)0。由(4km)28(12k2)(m21)16k28m280，得2k2m21。设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2。因为F1(1,0)，所以kAF1，kBF1。由题可得2k，且y1kx1m，y2kx2m，所以(mk)(x1x22)0。因为直线l：ykxm不过焦点F1(1,0)，所以mk0，所以x1x220，从而20，4km24k20，所以4km24k2，即mk。由得2k221，化简得|k|。焦点F2(1,0)到直线l：ykxm的距离d，令t，由|k|知t(1，)。于是d，考虑到函数f(t)在1，上单调递减，所以f()df(1)，解得d2，所以焦点F2到直线l的距离d的取值范围是(，2)。圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何法，即利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数法，即把要求最值的代数表达式表示为某个(些)参数的函数，然后利用导数、不等式等进行求解。【变式训练】已知椭圆C的两个焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，且经过点E。(1)求椭圆C的方程；(2)过点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若，且2b0)，由解得所以椭圆C的方程为1。(2)由题意得直线l的方程为yk(x1)(k0)，联立方程，得整理得y2y90，1440，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2，又，所以y1y2，所以y1y2(y1y2)2，则，2，因为23，所以2，即0，解得0b0)的右焦点F(1,0)，椭圆的左、右顶点分别为M，N。过点F的直线l与椭圆交于C，D两点，且MCD的面积是NCD的面积的3倍。(1)求椭圆的方程；(2)若CD与x轴垂直，A，B是椭圆上位于直线CD两侧的动点，且满足ACDBCD，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由。解(1)因为MCD的面积是NCD的面积的3倍，所以|MF|3|NF|，即ac3(ac)，所以a2c2。又a2b2c2，所以b23。故椭圆的方程为1。(2)当ACDBCD时，kACkBC0。设直线AC的斜率为k，则直线BC的斜率为k，不妨设点C在x轴上方，C，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线AC的方程为yk(x1)，代入1中整理，得(34k2)x24k(2k3)x4k212k30，1x1。同理1x2。所以x1x2，x1x2，则kAB，因此直线AB的斜率是定值。2(配合例4使用)已知点M是圆E：(x)2y216上的动点，点F(，0)，线段MF的垂直平分线交线段EM于点P。(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)矩形ABCD的边所在直线与轨迹C均相切，设矩形ABCD的面积为S，求S的取值范围。解(1)依题意，得|PM|PF|，所以|PE|PF|PE|PM|ME|4(为定值)，|EF|2，42，所以点P的轨迹是以E，F为焦点的椭圆，其中2a4,2c2，所以P点的轨迹C的方程是y21。(2)当矩形的边与坐标轴垂直或平行时，易得S8。当矩形的边均不与坐标轴垂直或平行时，其四边所在直线的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为yk1xm，直线BC的方程为yk2xn，则直线CD的方程为yk1xm，直线AD的方程为yk2xn，其中k1k21，直线AB与CD间的距离d1，同理直线BC与AD间的距离d2，所以Sd1d2。由得x22k1mxm210。因为直线AB与椭圆相切，所以4k1m20，所以|m|，同理|n|，所以S44，因为k2(当且仅当k11时，不等式取等号)，所以4S4，即8S10。由可知，8S10。
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