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计算题一1. 下列线性规划问题化为标准型。(10分) 满足 2. 写出下列问题的对偶问题 (10分)满足 3. 用最小元素法求下列运输问题的一个初始基本可行解(10分) 4某公司有资金10万元，若投资用于项目问应如何分配投资数额才能使总收益最大？(15分)5 求图中所示网络中的最短路。（15分） 计算题二1、某工厂拥有A,B,C三种类型的设备，生产甲、乙两种产品，每件产品在生产中需要使用的机时数，每件产品可以获得的利润，以及三种设备可利用的机时数见下表：求：（1）线性规划模型；（5分）（2）利用单纯形法求最优解；（15分）4. 如图所示的单行线交通网，每个弧旁边的数字表示这条单行线的长度。现在有一个人要从出发，经过这个交通网到达，要寻求使总路程最短的线路。（15分）5. 某项工程有三个设计方案。据现有条件，这些方案不能按期完成的概率分别为0.5,0.7,0.9,即三个方案均完不成的概率为0.50.70.9=0.315。为使这三个方案中至少完成一个的概率尽可能大，决定追加2万元资金。当使用追加投资后，上述方案完不成的概率见下表，问应如何分配追加投资，才能使其中至少一个方案完成的概率为最大。(15分) 追加投资（万元）各方案完不成的概率1230120.500.300.250.700.500.300.900.700.40计算题三1、某工厂要制作100套专用钢架，每套钢架需要用长为2.9m , 2.1m , 1.5m的圆钢各一根。已知原料每根长7.4m ，现考虑应如何下料，可使所用的材料最省？ 产品甲产品乙设备能力/h设备A3265设备B2140设备C0375利润/(元/件)15002500求：（1）写出线性规划模型（10分） （2）将上述模型化为标准型（5分）2、求解下列线性规划问题，并根据最优单纯形法表中的检验数，给出其对偶问题的最优解。（15分） 满足 3 断下表中方案是否可作为运输问题的初始方案，为什么？（10分） 4. 用Dijkstra算法计算下列有向图的最短路。（15分）5某集团公司拟将6千万资金用于改造扩建所属的A、B、C三个企业。每个企业的利润增长额与所分配到的投资额有关，各企业在获得不同的投资额时所能增加的利润如下表所示。集团公司考虑要给各企业都投资。问应如何分配这些资金可使公司总的利润增长额最大？（15分） 计算题答案一1、 max(-z)= 2、 写出对偶问题maxW= 3、解： 4解：状态变量为第k阶段初拥有的可以分配给第k到底3个项目的资金额；决策变量为决定给第k个项目的资金额；状态转移方程为；最优指标函数表示第k阶段初始状态为时，从第k到第3个项目所获得的最大收益，即为所求的总收益。递推方程为： 当k=3时有 当时，取得极大值2，即： 当k=2时有：令 用经典解析方法求其极值点。由 解得： 而 所以 是极小值点。极大值点可能在0，端点取得： ， 当时，解得 当时，此时，当时，此时，当k=1时， 当 时， 但此时 ，与矛盾，所以舍去。当时，令 由 解得： 而 所以 是极小值点。比较0,10两个端点 时， 时， 所以再由状态转移方程顺推： 因为 所以 ，因此 最优投资方案为全部资金用于第3个项目，可获得最大收益200万元。5. 解：用Dijkstra算法的步骤如下，P（）0T（）（2，37）第一步：因为，且，是T标号，则修改上个点的T标号分别为： = =所有T标号中，T（）最小，令P（）2第二步：是刚得到的P标号，考察，且，是T标号 =所有T标号中，T（）最小，令P（）5第三步：是刚得到的P标号，考察= 所有T标号中，T（）最小，令P（）6第四步：是刚得到的P标号，考察= 所有T标号中，T（），T（）同时标号，令P（）=P（）7第五步：同各标号点相邻的未标号只有 至此：所有的T标号全部变为P标号，计算结束。故至的最短路为10。计算题答案二1. 解：（1） 满足 （2）150025000000653210032.5040210104007503001250150025000000153010-2/350152001-1/37.525002501001/3_-625001500000-2500/3-15005101/30-2/9_0500-2/311/9_25002501001/3_-7000000-5000-500最优解 最优目标值 = 70000元2. 解：此规划存在可行解，其对偶规划 满足： 对偶规划也存在可行解，因此原规划存在最优解。3、解：可以作为初始方案。理由如下： （1）满足产销平衡（2）有m+n-1个数值格（3）不存在以数值格为顶点的避回路4.解： 5.解：此题目等价于求使各方案均完不成的概率最小的策略。把对第k个方案追加投资看着决策过程的第k个阶段，k1，2，3。-第k个阶段，可给第k, k+1，3个方案追加的投资额。-对第k个方案的投资额阶段指标函数,这里的是表中已知的概率值。过程指标函数以上的k1，2，3用逆序算法求解k3时， 得表： 最优策略：1，=1, =0或0，=2, =0，至少有一个方案完成的最大概率为1-0.135=0.865计算题答案三1. 解 分析：利用7.4m 长的圆钢截成2.9m , 2.1 m ,1.5m 的圆钢共有如下表所示的8中下料方案。方案毛胚/m方案1方案2方案3方案4方案5方案6方案7方案82.9211100002.1021032101.510130234合计7.37.16.57.46.37.26.66.0剩余料头0.10.30.901.10.20.81.4设，分别为上面8中方案下料的原材料根数。 2. 解 ：引入松弛变量将模型化为标准型，经求解后得到其最优单纯型表： 最优单纯型表基变量 25253/4 1 0 3/4 1/2 5/4 0 1 1/4 1/2-25010/4 0 0 1/2 2由此表可知，原问题的最优解，最优值为250.表中两个松弛变量的检验数分别为1/2 , 2 ,由上面的分析可知，对偶问题的最优解为。3.解：不能作为初始方案，因为应该有n+m-1=5+4-1=8有数值的格。 4.解：P（）0T（）（2，37）第一步：因为，且，是T标号，则修改上个点的T标号分别为： = = =所有T标号中，T（）最小，令P（）2第二步：是刚得到的P标号，考察，且，是T标号 =所有T标号中，T（）最小，令P（）3第三步：是刚得到的P标号，考察 所有T标号中，T（）最小，令P（）4第四步：是刚得到的P标号，考察 所有T标号中，T（）最小，令P（）7第五步：是刚得到的P标号，考察 所有T标号中，T（）最小，令P（）8第6步：是刚得到的P标号，考察 T（）P（）13至此：所有的T标号全部变为P标号，计算结束。故至的最短路为13。5. 解：第一步：构造求对三个企业的最有投资分配，使总利润额最大的动态规划模型。（1） 阶段k ：按A、B、C的顺序，每投资一个企业作为一个阶段，k1，2，3，4（2） 状态变量：投资第k个企业前的资金数。（3） 决策变量：对第k个企业的投资。（4） 决策允许集合：。（5） 状态转移方程：。（6） 阶段指标：见表中所示。（7） 动态规划基本方程： （终端条件） 第二步：解动态规划基本方程，求最有值。 k=4, k=3, 计算结果（一）11044044121044+04722077+0731244+04932177073099+094134404144227707319909401414014k=2, , 计算结果（二）21133+477131233+71010121554941333+9121432255+71231310+41451433+1417171，3，42355+914321010+717411313+417k=1, , 计算结果（三）61522+17192242466+1420331111+1021421515+722第三步：回溯求得最优策略最有解即最优策略巍：，；，；，；返回原问题的解，即企业A投资4千万元，企业B投资1千万元，企业C投资1千万元，最大效益为22千万元。14
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