资源描述
质心运动定理质心的表示MrmmrmriiiiiiiicMdmrdmdmrrcMxdmdmxdmxcMydmdmydmycMzdmdmzdmzcdxxx1y2yxayaaxdmxcdxyydsdm212xay1dxxay222222dxdxxadxdxxadmdxxaxxc22amsm3axc质心运动定理质点系的动量质心运动定理iiivmpiiivmppdtrdmiidtrdmiiiirmdtdMrmmrmriiiiiiiicciiirMrmdtrdMpcccvMdtrdMcvMpcextaMdtpdF质点系的运动平动（线量）质心描述：转动（角量）定点转动：定轴转动：地球自转线量和角量物理量物理量线量线量角量角量关系关系位移线位移（长度）s角位移（角度）qds=rdq速度线速度v=ds/dt角速度wdq/dt加速度加速度 a=dv/dt角加速度b=dw/dt动量mvmwrmv力FMMFrvmdtrddtvdmrdtvmrddtLd力矩Pz*OMFrqdMFrMFdFrMqsin0,0iiMF0,0iiMFFFFF角动量定理合外力矩等于角动量的变化率MdtLd2112ttdtMLL冲量距定理 例 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内.一质量为 m 的小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动.小球开始时静止于圆环上的点 A(该点在通过环心 O 的水平面上),然后从 A 点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计.求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度.解 小球受重力和支持力作用,支持力的力矩为零,重力矩垂直纸面向里由质点的角动量定理qcosmgRM tLmgRddcosqtLmgRddcosqtmgRLdcosdq考虑到wqw2,ddmRmRLtvqqdcosd32gRmLL得由题设条件积分上式qqq0320dcosdgRmLLL2123)sin2(qgmRL 21)sin2(qwRgw2mRL 质点组的角动量定理内力距和外力距成对的内力，力矩为零角动量守恒iiiFrdtLd外恒量外LFrdtLdiii0上节课回顾碰撞：弹性，非弹性，部分弹性接触，非接触质点系运动的描述平动：质心运动定理转动：物理量：角量和线量物理定律：质点系的角动量定理，角动量守恒MdtLd2112ttdtMLL角动量定理冲量距定理角速度角速度矢量方向：规定沿转轴方向，满足右手定则大小：角位移是矢量么？角动量：rvwrvwvmrLO1r矢量有大小，有方向的量是矢量么？绕x轴逆时针90度绕y轴逆时针90绕y轴逆时针90绕x轴逆时针90 xyz开普勒三定律第一定律：每个行星绕太阳轨道是椭圆，太阳处于一个焦点。第二定律：在相等时间内，太阳和运动中的行星的连线（向量半径）所扫过的面积都是相等的。第三定律：各个行星绕太阳公转周期的平方和它们的椭圆轨道的半长轴的立方成正比。rrrrrrS21vrdtrdrdtdS2121.Constpr.ConstdtdSprMvrdtdS2121原子的轨道角动量电磁场的角动量第三章作业11，14，22，25，33 一 理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线量的关系.二 理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转动定理.三 理解角动量概念，掌握质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题.能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系统的力学问题.四 理解刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律刚体的运动特殊类型的质点系：刚体：质点之间的相对位置不发生改变刚体的运动：平动定点转动定轴转动平面平行运动纯滚动有滑动的滚动自由运动刚体的动力学力矩转动惯量刚体运动的描述自由度：确定一个力学系统的位置所需要的独立坐标数刚体的自由度：自由刚体定点转动定轴转动刚体运动的描述物理量角速度角加速度rvwdtdwbdtrddtvdawdtrdrdtdwwrrvrwwbwb切向加速度法向加速度刚体动力学的描述力矩FrMamdtpdFMLb?刚体定轴转动定律力矩的分解zOkFrzFFqFFFzFrkMzqsin rFMzFFrMzFrFrz刚体定轴转动单个质点OrmzFqtFnFMbmrmaFttqsinrFM b2tmrrFMb2mrM 刚体定轴转动定律刚体中质元的合力矩b2iejjjjrmMMOzjmjrjFejFib2iejjjjjjrmMM0jijjiijMMMb)rmMjjjj2e(刚体定轴转动定律转动惯量转动定律b)rmMjjjj2e(2jjjrmImrId2bIM 刚体定轴转动的对轴的角加速度与它所受的对轴的合外力矩成正比，与刚体对轴的转动惯量成反比.tqq 0tqdtdqwdtdwb 12ttqqq运运动方程动方程 txx b恒定恒定atVV02021attVxaxVV2202tbww02021ttbwqbqww2202mrIrmIjjjd,22 物理意义：转动惯性的量度.质量离散分布刚体的转动惯量2222112rmrmrmIjjj转动惯性的计算方法 质量连续分布刚体的转动惯量mrrmIjjjd22：质量元md 转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置.注意2 对质量线分布的刚体：质量线密度lmdd2 对质量面分布的刚体：质量面密度Smdd2 对质量体分布的刚体：质量体密度Vmdd：质量元md 质量连续分布刚体的转动惯量mrrmIjjjd22lOO 解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO 为 处的质量元 rrmddlrrI02drd32/02121d2lrrIl231mlrrrmrIddd22 一质量为 、长为 的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量.mlrd2l2lOO2121ml如转轴过端点垂直于棒lmdd22222ddImrrrlrmrr均质薄圆环的转动惯量OROR4032d2RrrIRr dr 一质量为 、半径为 的均匀圆盘，求通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量.mR 解 设圆盘面密度为 ，在盘上取半径为 ，宽为 的圆环rrd2 Rm而rrmd2d圆环质量221mRI 所以rrmrId2dd32圆环对轴的转动惯量球体的转动惯量RrdzdmrdI221dVdmdzrdV2dzrRmdm2334dzzRRmdzrRmdI2223438383RRRRzzRzRRmdzrRmdII53283835324343252mRI 球壳的转动惯量RrdzdmrdI2dSdmrdzdS2rdzRmdm242dzzRRmdzrRmdI32223222RRdzzRRmdII2222RdsdqqrrdsRmdm242qrdRm2qqqdmRdrRmdI323sin22qRdds qq032sin2dmRdIIqq023cos121cos432mRI232mRI 2mdIICOP 质量为 的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为 ，则对任一与该轴平行，相距为 的转轴的转动惯量CImddCOm2221mRmRIP圆盘对P 轴的转动惯量RmO平行轴定理上节课回顾角速度，角加速度，角动量刚体的自由度刚体的运动描述刚体定轴转动的动力学刚体转动定理:转动惯量的计算bwzzzzIdtdIdtdLMbwIdtdIdtdLMamdtvdmdtpdFbwIdtdIdtdLMwIL wIL？w1r2rvmrLAv1rALBv2rBLL回转半径长棒2121mLI 2mrI 22121Lr Lr63竿子长些还是短些较安全？飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？垂直轴定理薄板状刚体CmzxyyxzIII叠加原理321IIII123iiII例子例子:R02Rr求剩余部分对求剩余部分对0轴的转动惯量轴的转动惯量.叠加原理叠加原理III小圆大圆大圆质量为大圆质量为M2221mrmrI小圆小圆大圆III223mr222RRMmM4122423RM2323MR221MRI大圆23213MR平行轴定理平行轴定理 质量为 的物体 A 静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质量为 的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 的物体 B 上.滑轮与绳索间没有滑动，且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计.问：（1）两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2）物体 B 从BmCm 再求线加速度及绳的张力.静止落下距离 时，其速率是多少？（3）若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略，并设它们间的摩擦力矩为fMyAmABCAmBmCmABCAmBmCmT1FT2FAPOxT1FNFAmyOT2FBPBmamFAT1amFgmBT2BbIRFRFT1T2bRa 解 （1）隔离物体分别对物体A、B 及滑轮作受力分析，取坐标如图，运用牛顿第二定律 、转动定律列方程.T2FT1FCPCF2CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF如令 ，可得0CmBABAT2T1mmgmmFF（2）B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率2/22CBABmmmgymayvABCAmBmCmT1FT2F（3）考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩 ，转动定律fM结合（1）中其它方程bIMRFRFfT1T2amFAT1amFgmBT2BbRa bIMRFRFfT1T2T2FBPBmAPT1FNFAmT2FT1FfM2/)/(CBAfBAT1mmmRMgmmF2)2(CBAfCABT2mmmRMgmmmF2/CBAfBmmmRMgmaABCAmBmCmT1FT2FbIMRFRFfT1T2amFAT1amFgmBT2BbRa 一长为 质量为 匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动.由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动.试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角速度.lmq 解 细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得NFbqImglsin21式中231mlI qwwqqwwbddddddddtt得qbsin23lg由角加速度的定义qqwwdsin23dlg代入初始条件积分 得)cos1(3qwlgbqImglsin21力矩对时间的积累效应角动量wIL mvp wipjp0,0pwwiiiiiiirmrmL)(2v刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理tItLMd)(dddw1221dwwIItMttwOirimivz 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.内力矩不改变系统的角动量.守 恒条件0M若 不变，不变；若 变，也变，但 不变.IwwwILI刚体定轴转动的角动量定理1221dwwIItMtt 刚体定轴转动的角动量守恒定律0M常量wIL，则若讨论exinMM 在冲击等问题中L常量 质量很小长度为l 的均匀细杆,可绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平位置时,有一只小虫以速率 垂直落在距点O为 l/4 处,并背离点O 向细杆的端点A 爬行.设小虫与细杆的质量均为m.问:欲使细杆以恒定的角速度转动,小虫应以多大速率向细杆端点爬行?0vw220)4(1214lmmllmvl0712 vw 解 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒l0712 vw由角动量定理tItItLMddd)(dddwwtrmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22wwq即考虑到twq)712cos(247cos2dd00tltgtrvvlgww 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由下落到跷板的一端A,并把跷板另一端的演员N 弹了起来.设跷板是匀质的,长度为l,质量为 ,跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动,演员的质量均为m.假定演员M落在跷板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问演员N可弹起多高?ll/2CABMNh 解 碰撞前 M 落在 A点的速度21M)2(ghv 碰撞后的瞬间,M、N具有相同的线速度w2lu m 把M、N和跷板作为一个系统,角动量守恒21M)(2gh vw2lu www22M21121222mllmlmuIlmvlmmghmmllmlm)6()2(621222122Mvw解得演员 N 以 u 起跳,达到的高度hmmmglguh2222)63(82wll/2CABMNh
展开阅读全文