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第1讲概率与统计(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号抽样方法1,6古典概型3,7,11,12几何概型2,10统计图表估计总体4用样本频率估计总体概率5,8用样本的数字特征估计总体的数字特征9,12一、选择题1.某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本的老年教师人数为(C)类别人数老年教师900中年教师1 800青年教师1 600合计4 300(A)90 (B)100(C)180(D)300解析:设该样本中的老年教师人数为x,则=,解得x=180.故选C.2.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是(B)(A)(B)(C)(D)解析:由几何概型的概率计算公式可知,质点落在以AB为直径的半圆内的概率P=.故选B.3.(2018南昌市摸底)甲邀请乙、丙、丁三人加入了“兄弟”这个微信群聊,为庆祝兄弟相聚,甲发了一个9元的红包,被乙、丙、丁三人抢完,已知三人抢到的钱数均为整数,且每人至少抢到2元,则丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他两人)的概率是(C)(A)(B)(C)(D)解析:设乙、丙、丁分别抢到x元,y元,z元,记为(x,y,z),则基本事件有(2,2,5),(2,5,2),(5,2,2),(2,3,4),(2,4,3), (3,2,4),(3,4,2),(4,3,2),(4,2,3),(3,3,3),共10个,其中符合丙获得“手气最佳”的基本事件有4个,所以丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他两人)的概率P=.故选C.4.(2018石家庄市二次质检)某学校A,B两个班的数学兴趣小组在一次数学对抗赛中的成绩的茎叶图如图,通过茎叶图比较两班数学兴趣小组成绩的平均值及标准差.A班数学兴趣小组的平均成绩高于B班数学兴趣小组的平均成绩B班数学兴趣小组的平均成绩高于A班数学兴趣小组的平均成绩A班数学兴趣小组成绩的标准差大于B班数学兴趣小组成绩的标 准差B班数学兴趣小组成绩的标准差大于A班数学兴趣小组成绩的标 准差其中正确结论的编号为(B)(A)(B)(C)(D)解析:观察题中茎叶图可知,A班数学兴趣小组的成绩主要分布在7090,而B班数学兴趣小组的成绩主要分布在5080,因此可以推断出A班数学兴趣小组的平均成绩高于B班数学兴趣小组的平均成绩,又A班数学兴趣小组成绩较集中,B班数学兴趣小组成绩较分散,因此可以推断出A班数学兴趣小组成绩的标准差要小于B班数学兴趣小组成绩的标准差.故选B.5.(2018海南省八校联考)某高校调查了400名大学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是17.5,30,样本数据分组17.5,20),20,22.5), 22.5,25),25,27.5),27.5,30.则这400名大学生中每周的自习时间不少于20小时的人数是(A)(A)380(B)360(C)340(D)320解析:由频率分布直方图得这400名大学生中每周的自习时间不少于20小时的频率为(0.08+0.04+0.16+0.10)2.5=0.95,所以这400名大学生中每周的自习时间不少于20小时的人数为4000.95=380.选A.6.某学校采用系统抽样方法,从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查.现将800名学生从1到800进行编号.已知从3348这16个数中抽到的数是39,则在116中随机抽到的数是(B)(A)5(B)7(C)11(D)13解析:把800名学生平均分成50组,每组16人,各小组抽到的数构成一个公差为16的等差数列,39在第3组,所以第1组抽到的数为39-32=7.故选B.7.(2018湖北武汉高三调研)将一枚质地均匀的骰子投两次,得到的点数依次记为a和b,则方程ax2+bx+1=0有实数解的概率是(C)(A)(B)(C)(D)解析:若方程ax2+bx+1=0有实根,则必有=b2-4a0,若a=1,则b=2,3,4,5,6;若a=2,则b=3,4,5,6;若a=3,则b=4,5,6;若a=4,则b=4,5,6;若a=5,则b=5,6;若a=6,则b=5,6,所以事件“方程ax2+bx+1=0有实根.”包含基本事件共5+4+3+3+2+2=19,所以事件的概率为.故选C.二、填空题8.(2018南昌市二次模拟)从某企业的某种产品中抽取 1 000 件,测量该种产品的一项质量指标值,由测量结果得到如图所示的概率分布直方图.若该产品的这项指标值在185,215)内,则该产品的这项指标合格,估计该企业这种产品在这项指标上的合格率为.解析:由题中频率分布直方图知,指标值在185,215)内的频率为10(0.022+0.033+0.024)=0.79,故据此可估计该企业这种产品在这项指标上的合格率为0.79.答案:0.799.(2018武汉市调研)从某选手的7个得分中去掉1个最高分,去掉1个最低分后,剩余5个得分的平均数为91分,如图所示是该选手得分的茎叶图,其中有一个数字模糊,无法辨认,在图中用x表示,则剩余5个得分的方差为.解析:去掉一个最高分99分,一个最低分87分,剩余的得分为93分,90分,(90+x)分,91分,87分,则=91,解得x=4,所以这5个数的方差s2=(93-91)2+(90-91)2+(94-91)2+(91-91)2+(87-91)2=6.答案:610.甲、乙两人约定上午7:00至8:00之间到某站乘公共汽车,在这段时间内有3班公共汽车,它们开车时刻分别为7:20,7:40,8:00,如果他们约定,见车就乘,则甲、乙同乘一车的概率为.解析:设甲到达该站的时刻为x,乙到达该站的时刻为y,则7x8,7y8,即甲、乙两人到达该站的时刻(x,y)所对应的区域在平面直角坐标系中画出(如图所示)是大(单位)正方形.将三班车到站的时刻在图形中画出,则甲、乙两人要想乘同一班车,必须满足或或即(x,y)必须落在图形中的三个带阴影的小正方形内,所以由几何概型的计算公式得P=,即甲、乙同乘一车的概率为.答案:三、解答题11.(2018安徽省知名示范高中质检)中国诗词大会是央视推出的一档以“赏中华诗词,寻文化基因,品生活之美”为宗旨的大型文化类竞赛节目,邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识比拼.“百人团”由一百多位来自全国各地的选手组成,成员上至古稀老人,下至垂髫小儿,人数按照年龄分组统计如下表:年龄/岁7,20)20,40)40,80频数185436(1)用分层抽样的方法从“百人团”中抽取6人参加挑战,求从这三个不同年龄组中分别抽取的挑战者的人数;(2)从(1)中抽出的6人中任选2人参加一对一的对抗比赛,求这2人来自同一年龄组的概率.解:(1)因为样本容量与总体个数的比是=,所以从年龄在7,20)抽取的人数为18=1,从年龄在20,40)抽取的人数为54=3,从年龄在40,80抽取的人数为36=2,所以从年龄在7,20),20,40),40,80中抽取的挑战者的人数分别为1,3,2.(2)设从7,20)中抽取的1人为a,从20,40)中抽取的3人分别为b,c,d,从40,80中抽取的2人分别为e,f.从这6人中任取2人构成的所有基本事件为(a,b),(a,c),(a,d), (a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d, e),(d,f),(e,f)共15个.每人被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的,记事件A为“2人来自同一年龄组”,包含(b,c),(b,d),(c,d),(e,f),共4个基本事件,则P(A)=,故2人来自同一年龄组的概率为.12.(2018福建数学基地联考)某企业有甲、乙两个研发小组.为了比较他们的研发水平,现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下:(a,b),(a,),(a,b),(,b),(,),(a,b),(a,b),(a,),(,b),(a,),(,),(a,b),(a,),(,b),(a,b).其中a,分别表示甲组研发成功和失败;b,分别表示乙组研发成功和失败.(1)若某组成功研发一种新产品,则给该组记1分,否则记0分.试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平;(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品,试估计恰有一组研发成功的概率.解:(1)甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1,其平均数为=;方差为=(1-)210+(0-)25=.乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,其平均数为=;方差为=(1-)29+(0-)26=.因为,所以甲组的研发水平优于乙组.(2)记E=恰有一组研发成功.在所抽得的15个结果中,恰有一组研发成功的结果是(a,),(,b),(a,),(,b),(a,),(a,),(,b)共7个.因此事件E发生的频率为.用频率估计概率,即得所求概率为P(E)=.6
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