流体力学－第三讲,流体力学基本方程组

2022-7-41第三章第三章 流体力学基本方程组流体力学基本方程组 雷诺输运方程雷诺输运方程 连续性方程连续性方程 运动方程运动方程(动量方程动量方程)能量方程能量方程2022-7-42第一节 雷诺输运方程FutFxFutFdtFd、ii随体导数一JuJxudtdJ、ii:数雅可比行列式的时间导二 以欧拉空间坐标所表示的流体质点的运动属性对时间的全导数.建立拉格朗日与欧拉两种系统之间的变换关系欧拉变量拉格朗日变量xxJjidet2022-7-43 三、系统和控制体（1）系统：包含着确定不变的流体质点的集合。随流体的流动而流动，体积和形状可能变化但所包含的流体质点不变。（2）控制体：相对于空间不变的一个体积，流体质点随时间流入和流出这个空间体积。拉格朗日法着眼点系统而欧拉法控制体去研究流体运动。为了从守恒定律推导流体力学的基本方程，需研究一个系统在空间的运动，从而需要解决系统的有关物理量在欧拉空间运动中对时间的全导数。用欧拉导数表示一个流体系统的拉格朗日变化，即雷诺输运方程。2022-7-44 四、雷诺输运方程 设在流动中取定一个系统。系统在流动过程中t=t时所占据的空间作为控制体V(t)。系统在 t=t0时 所占据的控制体V0=V(t0)作为识别这一系统的标志。系统所具有的某种运动要素如质量、动量或能量等对时间的全导数可由以下推导得出。设F代表运动要素的体积分布密度。03213213210)()(JdvddJdtdvdxdxdxtdvddddv2022-7-45 dAnuFdvtFFdvdtd，dvuFdvtFdvuFtFdvuFFutFdvuFdtdFJdvuFdtdFdvJuFdtdFJdvdtdJFdtdFJFJdvdtdFJdvdtdFdvdtdtVtStVVVVVVVVVtVVV系统的物质导数由高斯公式0000000000)()()()()(00000不稳定性引起不均匀性引起2022-7-46第二节第二节 连续性方程连续性方程 一一.积分形式的连续性方程积分形式的连续性方程 方程推导出发点：质量守恒 在流体中取由一定流体质点组成的微团,其体积为,质量为m.则:据质量守恒定律,下式在任意时刻成立,据输运公式：令：F=,（1）式为 dm)1(0ddtddtdmdsFdtFFddtdsnu)2(0dsudtsn2022-7-47 积分形式的连续性方程积分形式的连续性方程 二、二、微分形式的连续方程微分形式的连续方程 0)2(0dutddtddsudtsn或写成通过控制体表面积的物质通量)3(0)3(0buxtaudivtii2022-7-480udtd：uututudivt即 用于推导雷诺第二输运方程用于推导雷诺第二输运方程2022-7-49 在直角坐标系中：当=c 当c,对一元圆管 u=v 定常,可压：=常数 ,不可压：)4(0zyxuzuyuxt00uzuyuxuzyx00zyxuzuyuxtut0vxvACvA 2022-7-410 三、雷诺第二输运方程三、雷诺第二输运方程在应用输运方程 时,如把(F)看作某一物理量,则ddtdFdFdtd 雷诺第雷诺第二输运方程二输运方程 0)(VtVdvuFdtdFFdvdtd 000)()()(VVVtVdvudtdFdtdFdvuFdtdFdtdFdvuFdtFddvFdtd由连续性方程；为由连续性方程；为0 02022-7-411第三节第三节 运动方程（动量方程）运动方程（动量方程）积分形式的动量方程积分形式的动量方程微分形式的动量方程微分形式的动量方程2022-7-412 流场中任意取一体积为的微元体积流体,它的边界s,根据：动量定律 受力分析：质量力,面积力(表面力).,单位质量上质力的分布函数.,作用在单位面积上面力的分布函数.则：作用在和s上的总质量力和面积力为:体积内流体的动量为：fnP)1(df)2(dspsn)3(dunpFs一一.积分形式的动量方程积分形式的动量方程2022-7-413于是动量定理可以写成：（4）把雷诺第二输运方程 应用于式(4)-式(5)为积分形式的动量方程 也可表达为dspdfdudtdsnddtdFdFdtd)5(dspdfddtudsn为面力方向为作用面方向是对称张量为应力张量，jinpdsndfddtdujijinsjijii,)6(2022-7-414）7（）6代入式（)6(333231232221121211dxdfddtdudxddsn，jinpdsndfddtdujjiiijjisjijjijinsjijii为面力方向为作用面方向为应力张量2022-7-415二、微分形式的动量方程二、微分形式的动量方程 0dxfdtudjjiii(10)xjijixjuiujtui(9)xfdtdu(8)fdtudjijiif 微分形式的动量方程)7(dxdfddtdujjiii改写2022-7-416 直角坐标系中直角坐标系中zyxzyxtzyxzyxtzyxzyxtpppfuuuuuuupppfuuuuuuupppfuuuuuuuzzzyzxzzzzyzxzyzyyyxyyzyyyxyxzxyxxxxzxyxxx2022-7-417圆柱坐标系zr,下的运动方程（不可压）ruzuuururuuturuurzuurrurruvxpfrzrrrrrzrrrr2222222222111 ruuzuuururuutuurruzuurrurruvpfrzr222222222111 zuuururuutuzuurrurrurzuvzpfzzzzrzzzzzZ2222222111 2022-7-418又因为：-（12）（11）+（12），得：-（13）所以：其中 ，为动量通量张量。0jjxutijjijiiuuxfutftuijijjiuuiu)11(xfxuuujijijijit2022-7-419第四节 能量方程 设:e-表示单位流体所具有的内能;e-表示单位体积流体具有的内能;u2/2-表示单位体积流体所有的动能;e+u2/2-表示单位体积流体所包含的总能量.据能量守恒定律,体积内流体的动能和内能的改变率等于单位时间内质量力和表面力作的功加上单位时间内给与体积的热量.即：热量单位时间外界传入系统外力对系统做的功率duuedtdt)(212022-7-420 1).单位时间内外力做功 fi-体积力，Pij-面力张量。2)单位时间热传导导入的热量：其中：qi为热通量向量，“-”表示热通量与n的方向相反 辐射化学能释放等导入系统的热量:其中q为单位时间内由于热辐射或化学反应导入系统 内的单位体积流体热量的增量。dsddsundufWunufisjijiisdsnqitsi)(dq2022-7-421则能量方程：由奥高公式：则上式变为：-微分形式的能量方程。dxdsijijijsijuundxqdsnqiiisiqedtdxquxufuuiiijijiiii21qddsnqdsundufduueddsiisijijiit)21(2022-7-422另外一种常用形式:所以，微分形式的能量方程可变换为：s:divusijijaijijxjijuisijaijijxjijuixjuiijxjijuiijiuxjqidivqsdivuufuedtd:2210对称张量对称张量变形速度变形速度梯度张量梯度张量反对称张量反对称张量旋转角速度旋转角速度qedtdxquxufuuiiijijiiii212022-7-423qixTkxiu：dtdeqxiqixjuiijdtde两式相减得：xuufdtduu乘运运动方程，用uqxiqixjuiijxjijiuuifidtiduiudtdeqxiqiijuixjuifiuiui21edtdjijiiiiii热传导变形面力辐射、化学能内能变化