砍伐某一类树木而不砍伐其他类的树木时可获得最大收益

森林管理问题森林管理问题森林中的树木每年都要有一批砍伐出售。为了使这片森林不被耗尽且每年都有所收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。被出售的树木，其价值取决于树木的高度。开始时森林中的树木有着不同的高度。我们希望能找到一个方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值。l题目要求做什么？l给出什么条件？ 重要关系的描述重要关系的描述 ，数据及其说明，数据及其说明l寻找条件与问题的联系。1.确定设计变量和目标变量；2.确定目标函数的表达式；3.寻找约束条件。如果已判断该题是某类问题，按此类问题的要求寻找线索建模。如：优化模型如：优化模型森林中的树木每年都要有一批砍伐出售。为了使这片森林不被耗尽且每年都有所收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。被出售的树木，其价值取决于树木的高度。开始时森林中的树木有着不同的高度。我们希望能找到一个方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值。1 建模分析建模分析目标函数：被砍伐树木的经济价值。决策变量：被砍伐的树木的数量。约束条件：持续收获，总数不变。2 模型假设模型假设按高度将树木分为n类：第一类，高度为),10 h幼苗，其经济价值01p第 k 类，高度为),kkhh1每棵树木的经济价值kpnk 1第 n 类，高度为),1nh每棵树木的经济价值np假设1记)(,),(),(txtxtxn21为第 t 年开始时森林中各类树木的数量。每年砍伐一次，为了维持每年都有稳定的收获，只能砍伐部分树木，留下的树木和补种的幼苗，其高度状态应与初始状态相同。设nyyy,21分别是第1，2，n类树木在采伐时砍伐的棵数。假设2设森林中树木的总数是 s ，即stxtxtxn)()()(21根据土地面积和每棵树木所需空间预先确定的数。假设3假设4每一棵幼苗从种植以后都能生长到收获，且在一年的生长期内树木最多只能生长一个高度级，即第k类的树木可能进入k+1类，也可能留在k类。设kg是经一年的生长期后，从第k类的树木中进入k+1类的比例，则kg1是在一个生长期内留在第k类中的树木的比例。3 建模建模先看没有砍伐时树木生长规律),()()(txgtx11111),()()()(txgtxgtx2211211),()()()(txgtxgtx3322311),()()(txtxgtxnnnn111变形，矩阵形式定义高度状态向量和生长矩阵：)()()()()(txtxtxtxtxn321111111132211nngggggggG则没有砍伐时树木生长方程为)()(tGxtx1再考虑有砍伐和补种时的情形根据问题的要求，要维持持续收获，即生长期末的状态减去收获采伐的量再加上补种的幼苗数应等于生长期开始的量),()()(txzytxg11111),()()()(txytxgtxg2222111),()()()(txytxgtxg3333221),()()(txytxtxgnnnnn11各式相加后，得nyyyz21,01ynyyz2),()()(txyyyyytxgn13211111),()()()(txytxgtxg2222111),()()()(txytxgtxg3333221),()()(txytxtxgnnnnn11再记,nyyyy21000000111R则)()(txRyytGx),()()(txzytxg11111),()()()(txytxgtxg2222111),()()()(txytxgtxg3333221),()()(txytxtxgnnnnn111132xgyyyn22112xgxgy33223xgxgy11nnnxgy所收获树木的价值nnnypypypyyyf332232),(0332211nnxgxgxgxg1112223112nnnnxgppxgppxgp)()(问题),(maxnyyyf32nixsxxxxxgxgxgxgtsinnn, 2, 1, 0 . .3213322114 模型求模型求解解利用线性规划的理论和方法，得如下结论：砍伐某一类树木而不砍伐其他类砍伐某一类树木而不砍伐其他类的树木时，可获得最大收益。的树木时，可获得最大收益。利用这一结论，设被砍伐的树木为第 k 类，则),(,njkjyyjk2100根据所建模型，0001nkkxxx,1132xgyyyn22112xgxgykkkkkxgxgy1111nnnxgy根据所建模型，0, 0, 011nkkxxx得111kkkkkxgxgy11221kkkkkxgxgy11xgyk1122xgxg2211kkkkxgxg11kkkxgy结果表明：结果表明：森林从幼苗开始长到第 k 年为止开始收获，此时树木高度分布为初始分布。从第 k 年开始后每年砍伐一次，均砍伐第k类高度的树木。因此，森林中没有高于或等于 k 类高度的树木。问题：从幼苗开始长到哪一年收获为最佳？1122xgxg2211kkkkxgxg1212xggx 1313xggx 1111xggxkksxxxn21由11312111kggggggsx2233xgxgkknkypyyyf),(3211xgpk13211111kkggggsp当森林中各参数给定时，分别计算 f k 的值，再 比较选出最大的即可。同时可计算出相应的砍伐量。11xgyk13211111kggggs5 算例算例已知森林具有6 年的生长期，其参数如下。求出最优采伐策略。37023025032028054321.,.,.,.,.ggggg2502001501005065432ppppp,解得sfsfsfsfsf01421391371401465432.,.,.,.,.故全部收获第3类树木，可获得最大收益为14.7s。6 进一步思考进一步思考1 持续养鱼问题2 企业持续发展问题3 经济（社会）持续发展问题