2.3离散型随机变量的均值和方差

复习引入复习引入 对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看很重要的是看平均分平均分；要了解某班同学数学成绩是否；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化两极分化”则需要考察这个班数学成绩的则需要考察这个班数学成绩的方差方差。 我们还常常希望我们还常常希望直接通过数字直接通过数字来反映随机变量的某来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有个方面的特征，最常用的有期望与方差期望与方差. .2.3离散型随机变量离散型随机变量的均值和方差的均值和方差高二数学高二数学 选修选修2-31、某人射击、某人射击10次，所得环数分别是：次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是；则所得的平均环数是多少？多少？2104332221111 X把环数看成随机变量的概率分布列：把环数看成随机变量的概率分布列：X1234P10410310210121014102310321041 X权数权数加权平均加权平均2、某商场要将单价分别为、某商场要将单价分别为18元元/kg，24元元/kg，36元元/kg的的3种糖果按种糖果按3：2：1的比例混合销售，的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？如何对混合糖果定价才合理？X182436P把把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：636261)/(23613631242118kgX元元 一、离散型随机变量取值的平均值一、离散型随机变量取值的平均值一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：的概率分布为：nniipxpxpxpxEX 2211则称则称为随机变量为随机变量X的均值或数学期望。的均值或数学期望。它反映了离它反映了离散型随机变量取值的平均水平。是一个常数。散型随机变量取值的平均水平。是一个常数。P1xix2x1p2pipnxnpX设设YaXb，其中，其中a，b为常数，则为常数，则Y也是也是随机变量随机变量（1） Y的分布列是什么？的分布列是什么？（2） EY=？思考：思考：P1xix2x1p2pipnxnpXnniipxpxpxpxEX 2211P1xix2x1p2pipnxnpXP1xix2x1p2pipnxnpXYbax 1baxi bax 2baxn nnpbaxpbaxpbaxEY)()()(2211 )()(212211nnnpppbpxpxpxa baEX 一、离散型随机变量取值的平均值一、离散型随机变量取值的平均值nniipxpxpxpxEX 2211P1xix2x1p2pipnxnpX二、数学期望的性质二、数学期望的性质baEXbaXE )(1 1、随机变量、随机变量的分布列是的分布列是135P0.50.30.2(1)则则E= . 2、随机变量、随机变量的分布列是的分布列是2.4(2)若若=2+1，则，则E= . 5.847910P0.3ab0.2E=7.5,则则a= b= .0.40.1例例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，分，罚不中得罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球，则他罚球1次的得分次的得分X的均值是多少？的均值是多少？一般地，如果随机变量一般地，如果随机变量X X服从两点分布，服从两点分布，X10Pp1p则则pppEX )1(01小结：小结：例例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，分，罚不中得罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球，他连续罚球3次；次；（1）求他得到的分数）求他得到的分数X的分布列；的分布列；（2）求）求X的期望。的期望。X0123P33 . 0解解：(1) XB（3，0.7）2133 . 07 . 0 C3 . 07 . 0223 C37 . 0(2)322321337 . 033 . 07 . 023 . 07 . 013 . 00 CCEX1 . 2 EX7 . 03 一般地，如果随机变量一般地，如果随机变量X服从二项分布，服从二项分布，即即XB（n,p），则），则npEX 小结：小结：基础训练基础训练： 一个袋子里装有大小相同的一个袋子里装有大小相同的3 个红球和个红球和2个黄球，从中有放回地取个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球次，则取到红球次数的数学期望是次数的数学期望是 .3离散型随机变量取值的方差离散型随机变量取值的方差一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：的概率分布为：nniipEXxpEXxpEXxDX22121)()()( 则称则称为随机变量为随机变量X的的方差方差。 niiipEXx12)(P1xix2x1p2pipnxnpX称称DXX 为随机变量为随机变量X的的标准差标准差。它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。于均值的平均程度越小，即越集中于均值。1、已知随机变量、已知随机变量X的分布列的分布列X01234P0.10.20.40.20.1求求DX和和X。 21 . 042 . 034 . 022 . 011 . 00 EX解：解：2 . 11 . 0)24(2 . 0)23(4 . 0)22(2 . 0)21 (1 . 0)20(22222 DX095. 12 . 1 DXX 2、若随机变量、若随机变量X满足满足P（Xc）1，其中，其中c为为常数，求常数，求EX和和DX。解：解：XcP1离散型随机变量离散型随机变量X X的分布列为：的分布列为：EXc1cDX（cc）210例：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数例：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1， X2分布列如下：分布列如下：用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。X18910P0.20.60.2X28910P0.40.20.4解：解：9, 921 EXEX8 . 0, 4 . 021 DXDX表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多数得分在数得分在9环，而乙得分比较分散，近似平均分布在环，而乙得分比较分散，近似平均分布在810环。环。问题问题1：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？问题问题2：如果其他对手的射击成绩都在：如果其他对手的射击成绩都在8环左右，环左右，应派哪一名选手参赛？应派哪一名选手参赛？问题问题3：如果其他对手的射击成绩都在：如果其他对手的射击成绩都在9环左右，环左右，应派哪一名选手参赛？应派哪一名选手参赛？X18910P0.20.60.2X28910P0.40.20.49, 921 EXEX8 . 0, 4 . 021 DXDX练习：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能练习：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：获得如下信息：甲单位不同职位月工甲单位不同职位月工资资X1/元元1200140016001800获得相应职位的概获得相应职位的概率率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工乙单位不同职位月工资资X2/元元1000140018002200获得相应职位的概获得相应职位的概率率P20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：解：1400,140021 EXEX1240000,160000DXDX在两个单位工资的数学期望相等的情况下，在两个单位工资的数学期望相等的情况下，如果认为自己能力很强，应选择工资方差大如果认为自己能力很强，应选择工资方差大的单位，即乙单位；如果认为自己能力不强，的单位，即乙单位；如果认为自己能力不强，就应选择工资方差小的单位，即甲单位。就应选择工资方差小的单位，即甲单位。五、几个常用公式：五、几个常用公式：DXabaXD2)( )1(ppDXX 服服从从两两点点分分布布，则则若若)1(),(pnpDXpnBX ，则则若若相关练习：相关练习： DD则则，且且、已已知知,138131 ppnBX,n1.6,DX8,EX),(2则则，、已已知知3、有一批数量很大的商品，其中次品、有一批数量很大的商品，其中次品占占1，现从中任意地连续取出，现从中任意地连续取出200件商件商品，设其次品数为品，设其次品数为X，求，求EX和和DX。117100.82，1.98一、离散型随机变量的期望和方差一、离散型随机变量的期望和方差nniipxpxpxpxEX 2211P1xix2x1p2pipnxnpX二、性质二、性质baEXbaXE )(三、如果随机变量三、如果随机变量X X服从两点分布，服从两点分布，EXp四、如果随机变量四、如果随机变量X服从二项分布，即服从二项分布，即XB（n,p）EXnpnniipEXxpEXxpEXxDX22121)()()( DXabaXD2)( (1)DXpp(1)DXnpp1.一次英语单元测验由一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题构成，每个选择题有个选择题有4个选项，其中有且只有一个选个选项，其中有且只有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得项是正确答案，每题选择正确答案得5分，分，不作出选择或选错不得分，满分不作出选择或选错不得分，满分100分，学分，学生甲选对任一题的概率为生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在，学生乙则在测验中对每题都从测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个选项中随机地选择一个。求学生甲和乙在这次英语单元测验中的个。求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩成绩的期望。的期望。2. 决策问题：决策问题： 3.某商场的促销决策：某商场的促销决策： 4.（07全国）某商场经销某商品，根据以往资料统全国）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的分起付款期数计，顾客采用的分起付款期数 的分布列为：的分布列为： 12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为期付款，其利润为200元，分元，分2期或期或3期付款，其利润为期付款，其利润为250元，分元，分4期或期或5期付款，其利润为期付款，其利润为300元，元， 表示经销一件该商品的表示经销一件该商品的利润。利润。（1）求事件）求事件A：”购买该商品的购买该商品的3位顾客中，至少有位顾客中，至少有一位采用一位采用1期付款期付款” 的概率的概率P(A)；（2）求）求 的分布列及期望的分布列及期望E 。0.030.97P1000a1000E = 10000.03a0.07a得得a10000故最大定为故最大定为10000元。元。练习：练习：1、若保险公司的赔偿金为、若保险公司的赔偿金为a（a1000）元，为使保险）元，为使保险公司收益的期望值不低于公司收益的期望值不低于a的百分之七，则保险公司应的百分之七，则保险公司应将最大赔偿金定为多少元？将最大赔偿金定为多少元？2、射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继续射、射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继续射击，他射中目标的概率是击，他射中目标的概率是0.7,若枪内只有若枪内只有5颗子弹颗子弹,求射击求射击次数的期望。次数的期望。(保留三个有效数字保留三个有效数字)0.340.330.70.320.70.30.70.7p54321E =1.43一、离散型随机变量取值的平均值一、离散型随机变量取值的平均值nniipxpxpxpxEX 2211P1xix2x1p2pipnxnpX二、数学期望的性质二、数学期望的性质baEXbaXE )(三、如果随机变量三、如果随机变量X X服从两点分布，服从两点分布，X10Pp1p则则pEX 四、如果随机变量四、如果随机变量X服从二项分布，即服从二项分布，即XB（n,p），则），则npEX 证明：证明：n n) ), ,0 0, ,1 1, ,2 2, ,( (k kq qp pC Ck k) )P P( ( k kn nk kk kn n 0 0n nn nn nk kn nk kk kn n1 1n n1 11 1n nn n0 00 0n nq qp pn nC Cq qp pk kC Cq qp pC C1 1q qp pC C0 0E E ) )q qp pC Cq qp pC Cq qp pC Cq qp pn np p( (C C0 01 1n n1 1n n1 1n n1 1) )( (k k1 1) )( (n n1 1k k1 1k k1 1n n2 2n n1 11 11 1n n1 1n n0 00 01 1n n 所以所以若若B(nB(n，p)p)，则，则EEnpnp 证明：若证明：若B(nB(n，p)p)，则，则EEnpnp 1().nnp pqnp