常微分方程在数学建模中应用学习教案

会计学1常微分方程常微分方程(wi fn fn chn)在数学在数学建模中应用建模中应用第一页，共52页。第一节 常微分方程的基本概念与分离(fnl)变量法 第二节 一阶线性微分方程(wi fn fn chn)与可降阶的高阶微分方程(wi fn fn chn) 第三节 二阶常系数(xsh)线性微分方程 第1页/共52页第二页，共52页。第一节 常微分方程(wi fn fn chn)的基本概念与分离变量法 一、微分方程(wi fn fn chn)的基本概念1. 微分方程(wi fn fn chn) 含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程(wi fn fn chn)。 注：在微分方程(wi fn fn chn)中，如果未知函数是一元函数，则方程称为常 微分方程(wi fn fn chn)，简称微分方程(wi fn fn chn)。2. 微分方程(wi fn fn chn)的阶 微分方程(wi fn fn chn)中所出现的未知函数导数的最高阶数称为微分方程(wi fn fn chn)的阶.第2页/共52页第三页，共52页。一般(ybn)地，n 阶微分方程的一般(ybn)形式为： 3. 微分方程(wi fn fn chn)的解、通解 （1）若某函数代入微分方程(wi fn fn chn)后，能使该方程两端恒等，则这个函 数为该微分方程(wi fn fn chn)的解。 如 y = x2 + 2是方程（1）的解, 显然 y = x2 + C 也是方程（1）的解. （2）如果微分方程(wi fn fn chn)的解中所含独立常数的个数等于微分方程(wi fn fn chn)的阶 数，这样的解称为微分方程(wi fn fn chn)的通解. 如 y = x2 + C 是方程（1）的通解. 4微分方程的初始条件和特解 （1）确定(qudng)通解中任意常数值的附加条件叫做初始条件； 第3页/共52页第四页，共52页。一般(ybn)地 一阶微分方程的初始条件为： 二阶微分方程的初始条件为： （2）由初始条件确定了通解中任意常数后所得到(d do)的解，称为微 分方程的特解。 如 y = x2 + 2是方程（1）的特解.第4页/共52页第五页，共52页。中含有(hn yu)一个任意常数C，而所给方程又是一阶微分方程， 是所给方程(fngchng)的通解. 中含有两个(lin )任意常数，而所给方程又是二阶的， 第5页/共52页第六页，共52页。二、分离(fnl)变量法 1定义 形如 的方程(fngchng)称为可分离变量的方程(fngchng). 特点 - 等式右端可以分解成两个函数之积，其中一个(y )只是x 的函数，另一个(y )只是y的函数2解法 设第6页/共52页第七页，共52页。当g(y)0时，两端积分(jfn)得通解 注 (1)当g(y)=0时，设其根为y =，则y =也是原方程(fngchng)的解； 解 分离(fnl)变量，得 ydy = -xdx , 第7页/共52页第八页，共52页。 说明：在解微分方程时，如果得到一个含对数的等式，为了利用对数的性质将结果进一步化简，可将任意常数写成klnC的形式，k的值可根据实际情况(qngkung)来确定，如例2中取k=1/2. 第8页/共52页第九页，共52页。例5 设降落伞从跳伞台下落，所受空气阻力与速度成正比，降落伞 离开塔顶(t = 0)时的速度为零。求降落伞下落速度与时间的函 数关系.解 设 降落伞下落速度为v(t)时伞所受空气阻力为-k （负号表示阻力与运动方向相反（k为常数） 伞在下降过程中还受重力(zhngl)P = mg作用， 由牛顿(ni dn)第二定律得 于是所给问题(wnt)归结为求解初值问题(wnt) 第9页/共52页第十页，共52页。第10页/共52页第十一页，共52页。 由此可见，随着t的增大，速度趋于常数mg/k，但不会(b hu)超过mg/k，这说明跳伞后，开始阶段是加速运动，以后逐渐趋于匀速运动. 第11页/共52页第十二页，共52页。第二节 一阶线性微分方程(wi fn fn chn)与可降阶的高阶微分方程(wi fn fn chn) 一、一阶线性微分方程(wi fn fn chn) 1定义： 形如 的方程，称为一阶线性微分方程，其中P(x)、Q(x)是已知的连续函数, Q(x)称为自由(zyu)项特点： 方程中的未知函数y及导数 都是一次的 2分类若 Q(x)= 0, 即 称为一阶线性齐次微分方程若Q(x)0, 则方程(1)称为一阶线性非齐次微分方程第12页/共52页第十三页，共52页。3一阶线性齐次方程(fngchng)的解法 类型(lixng)： 可分离变量的微分方程其中 C 为任意(rny)常数. 4一阶线性非齐次方程的解法 用常数变易法 第13页/共52页第十四页，共52页。 在方程（1）所对应(duyng)的齐次方程的通解的基础上进行变易,假设方程（1）有如下形式的解： 其中(qzhng) C（x）为待定函数 第14页/共52页第十五页，共52页。于是(ysh)方程(1)的通解为：（4）式称为一阶线性非齐次方程（1）的通解公式上述(shngsh)求解方法称为常数变易法 用常数(chngsh)变易法求一阶线性非齐次方程的通解的一般步骤为：(1)先求出非齐次线性方程所对应的齐次方程的通解；(2)根据所求出的齐次方程的通解设出非齐次线性方程的解将所求 出的齐次方程的通解中的任意常数(chngsh)C改为待定函数C(x)即可；(3)将所设解带入非齐次线性方程，解出C(x)，并写出非齐次线性 方程的通解 第15页/共52页第十六页，共52页。 式对应(duyng)的齐次方程为 将方程分离(fnl)变量得 两边(lingbin)积分得 即 所以齐次方程的通解为： 将上述通解中的任意常数C换成待定函数C(x)，将其待入方程得 第16页/共52页第十七页，共52页。将C(x)代入式 得原方程(fngchng)的通解： 第17页/共52页第十八页，共52页。例3在串联电路中，设有电阻R，电感L和交流电动势E = E0sint， 在时刻(shk)t = 0时接通电路，求电流i与时间t的关系（E0,为常 数）解设任一时刻t的电流为i 我们知道，电流在电阻R上产生(chnshng)一个电压降uR = Ri， 由回路电压(diny)定律知道，闭合电路中电动势等于电压(diny)降之和，即在电感L上产生的电压降是 第18页/共52页第十九页，共52页。式为一阶非齐次线性方程(xin xn fn chn)的标准形式，其中 利用一阶非齐次线性方程之求解(qi ji)公式得通解： 第19页/共52页第二十页，共52页。二、可降阶的高阶微分方程(wi fn fn chn) 特点：方程y(n) = f(x)的右端仅含有自变量解法：将两端分别积分一次，得到一个n-1阶微分方程;再积分 一次，得到n-2阶微分方程，连续(linx)积分n次，便可得到该 方程的通解 解 将所给方程连续(linx)积分三次，得 第20页/共52页第二十一页，共52页。特点：方程右端不含未知函数y解法：令y = t，则y= t，于是(ysh)原方程可化为以 t 为未知函 数的一阶微分方程t= f(x ,t) 第21页/共52页第二十二页，共52页。解 令y= t，则y= t， 代入原方程(fngchng)得 分离(fnl)变量得 两边(lingbin)积分得 即再积分得 第22页/共52页第二十三页，共52页。例6 如图，位于坐标原点的我舰向位于x轴上A(1,0)点处的敌舰发 射制导鱼雷，鱼雷始终(shzhng)对准敌舰设敌舰以常速v0沿平行于 y 轴的直线行驶，又设鱼雷的速率为2v0，求鱼雷的航行曲线方程 解 设鱼雷的航行曲线方程(fngchng)为 y = y(x)， 在时刻，鱼雷的坐标为P(x,y)，敌舰 的坐标为Q(1, v0t) 因为鱼雷始终对准敌舰，所以 第23页/共52页第二十四页，共52页。令y= p，方程(fngchng)可化为 这是不显含y的可降阶微分方程(wi fn fn chn),根据题意，初始条件为 分离(fnl)变量可解得 从上面两式消去v0t得： 两边关于x求导得: 即即第24页/共52页第二十五页，共52页。所以(suy)而所以(suy)积分(jfn)得以 y(0)= 0代入，得 所以鱼雷的航行曲线方程为： 特点： 方程右端不含变量x 第25页/共52页第二十六页，共52页。从而将原方程(fngchng)化为一阶微分方程(fngchng)： 代入原方程(fngchng)得 当y0，P0时，分离(fnl)变量得： 两端积分得： 当P 0时，则y = C（C为任意常数）， 第26页/共52页第二十七页，共52页。显然(xinrn)，它已含在解 所以(suy)原方程的通解为： 第27页/共52页第二十八页，共52页。 第三节 二阶常系数(xsh)线性微分方程定义(dngy) 形如 的方程，称为二阶常系数(xsh)线性微分方程其中p,q为常数 .注 当f(x)0时，方程(1)称为二阶常系数非齐次线性微分方程； 当f(x)=0时，即 方程(2)称为二阶常系数齐次线性微分方程 一、二阶常系数线性微分方程解的性质1齐次线性方程解的结构 定义：设y1 = y1(x)与y2 = y2(x)是定义在区间(a,b)内的函数，如果存在两个不全为零的常数 k1 , k2，使得对于 (a,b) 内的任一x恒有第28页/共52页第二十九页，共52页。k1 y1 + k2 y2 = 0成立，则称y1与y2在 (a,b)内线性相关，否则称为(chn wi)线性无关由定义(dngy)知： y1与y2线性相关的充分必要条件是不恒为常数(chngsh)，则y1与y2线性无关 定理1 （齐次线性方程解的叠加原理） 第29页/共52页第三十页，共52页。 若y1与y2是齐次线性方程(2)的两个(lin )解，则y = C1 y1+C2 y2也是(2)的解，且当与线性无关时，y = C1 y1+C2 y2就是式(2)的通解证 将y = C1 y1+ C2 y2 直接代入方程(2)的左端，得 所以 y = C1 y1+C2 y2是方程(2)的解,又 y1 与 y2线性无关(wgun)， C1和C2是两个独立的任意常数, 即 y = C1 y1+C2 y2中所含独立的任意常数的个数与方程(2)的阶数相同 , 所以 它又是方程(2)的通解.2非齐次线性方程解的结构(jigu) 定理2 （非齐次线性方程解的结构(jigu)）第30页/共52页第三十一页，共52页。 若yp为非齐次线性方程(xin xn fn chn)(1)的某个特解，yc为方程(1)所对应的齐次线性方程(xin xn fn chn)(2)的通解，则 y = yp+ yc为非齐次线性方程(xin xn fn chn) (1)之通解证 将y = yp+ yc代入方程(1)的左端有 所以(suy) yp+ yc 确为方程(1)的解 又 yc 中含有两个独立的任意常数， 所以(suy) y = yp+ yc 中也含有两独立的任意常数， 故 y = yp+ yc 为方程(1)的通解第31页/共52页第三十二页，共52页。定理(dngl)3 若y1为方程 y2为方程(fngchng) 则 y = y1 + y2 为方程(fngchng)的解.证： 将y = y1 + y2代入方程 (3)左端得 二、二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法其中 p, q 为常数.第32页/共52页第三十三页，共52页。令方程(fngchng)(2)的解为 （r为待定常数(chngsh)） 代入方程(fngchng)(2)得 (4) 由此可见，只要r满足方程(4)，函数 rxye就是方程(2)的解 定义 称方程(4)为微分方程(2)的特征方程，方程(4)的两个根 r1 , r2 称为特征根 由于特征方程(4)的两个根 只能有三种 不同情形，相应地，齐次方程(2)的通解也有三种不同的形式 当= p2 - 4q 0时，特征方程(4)有两个不相等的实根r1 r2 第33页/共52页第三十四页，共52页。由上面的讨论(toln)知道 是方程(fngchng)(1)的两个解 又y1与y2线性无关，因此(ync)方程(2)的通解为 : 当= p2 - 4q = 0时，特征方程(4)有两个相等实根 r = r1 = r2 我们只能得到方程(1)的一个解 对y2求导得 代入方程(2)，得第34页/共52页第三十五页，共52页。又 r是特征方程的二重根， 因为u(x)不是(b shi)常数，不妨取u(x)= x， 这样得到(d do)方程（2）的另一个(y )解 从而方程（2）的通解为 如果= p2 - 4q 0，即特征方程(4)有一对共轭复根 第35页/共52页第三十六页，共52页。为了求出方程(2)的两个实数形式的解，利用(lyng)欧拉公式 将y1与y2分别(fnbi)改写为 由定理(dngl)1知， 仍是方程(2)的解，这时 不是常数， 第36页/共52页第三十七页，共52页。即综上，求二阶常系数齐次线性微分方程通解的步骤(bzhu)如下： 第一步 写出方程(fngchng)的特征方程(fngchng)第二步 求出特征方程的两个(lin )根r1及r2 ;第三步 根据特征根的不同情况，写出微分方程的通解 具体如下： 第37页/共52页第三十八页，共52页。通解形式特征方程的根解 特征方程为 特征(tzhng)根 第38页/共52页第三十九页，共52页。因此，方程(fngchng)的通解为 解 特征方程为 特征(tzhng)根 因此(ync)，方程的通解为 解 特征方程为 特征根为 于是方程的通解为 第39页/共52页第四十页，共52页。 解 特征方程为 特征(tzhng)根 因此(ync)方程的通解为 故所求特解为 三、二阶常系数(xsh)非齐次线性微分方程的求解方法 第40页/共52页第四十一页，共52页。 其中(qzhng)p,q为常数，f(x)0 它对应(duyng)的齐次方程为： 0(2)ypyqy其中(qzhng)为常数，Pm(x)为x的m次多项式，即 设想方程(5)有形如 其中Q(x)是一 个待定多项式 第41页/共52页第四十二页，共52页。 代入方程(5)，整理(zhngl)后得到： (6) 当2+p+q 0时，设 (7) 其中(qzhng)b0,b1,bm 为m+1个待定系数 将式(7)代入式(6)，比较(bjio)等式两边同次幂的系数，得到以b0,b1,bm为未知数的m+1个线性方程的联立方程组，从而求出b0,b1,bm，即确定Q(x)，于是可得方程(5)的一个特解为 当2+p+q=0且2+ p 0 时，(即为特征方程的单根) 第42页/共52页第四十三页，共52页。 那么(n me)式(6)成为 由此可见，Q与Pm(x)同次幂，故应设其中(qzhng)Q m(x)为m次待定多项式 将Q m(x)代入式(6) 确定(qudng)Q m(x)的m+1个系数，从而得到方程(5)的一个特解： 当 2+p+q = 0 且2+ p =0 时，(即为特征方程的重根) 那么式(6)成为 故应设 第43页/共52页第四十四页，共52页。将它代入式(6)， 确定(qudng)Q m(x)的系数所以方程(fngchng)(5)的一个特解为 综上所述，我们有如下结论：二阶常系数(xsh)非齐次线性微分方程 (5) 具有形如 的特解，其中Q m(x)为m 次多项式，k的确定如下： 第44页/共52页第四十五页，共52页。根据欧拉公式及前面分析的结果可以推出下面的结论(jiln)（讨论过程从略）： 其中(qzhng) Q m(x)与R m(x) 均为m次多项式(m = maxl，n)，其系数待定，而第45页/共52页第四十六页，共52页。解 原方程(fngchng)对应的齐次方程(fngchng)的特征方程(fngchng)为 其特征(tzhng)根为 代入原方程(fngchng)得 即比较系数得： 第46页/共52页第四十七页，共52页。所以(suy)解 对应(duyng)的特征方程为 特征(tzhng)根 所以，齐次方程的通解为 =3 恰是二重特征根 第47页/共52页第四十八页，共52页。代入原方程(fngchng)后化简得： 于是(ysh) 所以，原方程(fngchng)的通解为 解 对应的特征方程为 特征根 对应的齐次方程的通解为 =2 是特征单根， 第48页/共52页第四十九页，共52页。代入原方程(fngchng)得： 整理(zhngl)得： 比较(bjio)两端得 于是 第49页/共52页第五十页，共52页。故所给方程(fngchng)的通解为 解 特征方程为 特征(tzhng)根为 代入原方程(fngchng)得 比较等式两端得： 于是 第50页/共52页第五十一页，共52页。由线性微分方程解的结构(jigu)定理可知，所给方程的特解形式为的特解 因此(ync)所给方程的特解为 第51页/共52页第五十二页，共52页。