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第第28课时课时 锐角三角函数及锐角三角函数及 其应用其应用第七单元 图形的变化 中考考点清单考点考点1：锐角三角函数：锐角三角函数考点考点2：直角三角形的边角关系：直角三角形的边角关系考点考点3：锐角三角函数的实际应用：锐角三角函数的实际应用(高频高频)锐角锐角三角函数及其应用三角函数及其应用1. 三角函数的概念三角函数的概念如图，在如图，在RtABC中，中，C=90，A为为ABC中的一锐角，则有中的一锐角，则有A的正弦：的正弦：sinA=_A的余弦：的余弦：cosA=_A的正切：的正切：tanA= . abacbc锐角三角函数锐角三角函数考点考点 1 1 2 .特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值 304560sin_cos_tan_三角函数三角函数1222333223212132已知条件已知条件图形图形解法解法一直角边和一一直角边和一个锐角个锐角(a,A)B=90- -A, AB= , AC=_斜边和一个锐斜边和一个锐角角(c,A)B=90- -A，BC=csinA，AC=_sinaAtanaAccosA直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系考点考点 2 2 已知条件已知条件图形图形解法解法两直角边两直角边(a, b)AB= ,由由tanA= ,求出求出A，B=90- -A斜边和一条直斜边和一条直角边角边(c, a)AC= ，由由sinA= ，求出，求出A，B=90- -Aab22ab22caac仰角、俯角仰角、俯角 在视线与水平线所成的锐在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角线下方的角叫俯角坡度坡度(坡比坡比)、坡角坡角坡面的铅直高度坡面的铅直高度h和水平宽和水平宽度度l的比叫坡度的比叫坡度(坡比坡比)，用，用字母字母i表示；坡面与水平线表示；坡面与水平线的夹角的夹角叫坡角叫坡角i=tan=_hl锐角三角函数的实际应用锐角三角函数的实际应用( (高频高频) )考点考点 3 3 方向角方向角一般指以观察者的位置为中心，将一般指以观察者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角到目标方向线所成的角(一般指锐一般指锐角角)，通常表达成北，通常表达成北(南南)偏东偏东(西西)多多少度，如图，少度，如图，A点位于点位于O点的北偏点的北偏东东30方向，方向，B点位于点位于O点的南偏点的南偏东东_方向，方向，C点位于点位于O点点的北的北偏西偏西_方向方向(或西北方向或西北方向)6045精确度：精确度：一个数四舍五入到哪一位就说这个数精确到那一一个数四舍五入到哪一位就说这个数精确到那一位，如位，如0.3125精确到精确到0.1为为0.3，精确到百分位为，精确到百分位为0.31. 常考类型剖析例例(2016宜宾宜宾)如图，如图，CD是一高为是一高为4米的平台，米的平台，AB是与是与CD底部相平的一棵树，在平台顶底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶点测得树顶A点的仰角点的仰角=30，从平台底部向树的方向水平前进，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点米到达点E，在点，在点E处测得树顶处测得树顶A点的仰角点的仰角=60，求树高，求树高AB.(结果保留根号结果保留根号)锐角三角函数的实际应用锐角三角函数的实际应用 类类 型型 【思维教练】【思维教练】过点过点C作作CFAB于于F，构造，构造 RtACF和矩形和矩形CDBF，然后分别解，然后分别解 RtACF和和RtAEB，表示出，表示出DB、BE 即可求解即可求解解：解：如解图，过点如解图，过点C作作CFAB于于F.则四边形则四边形CDBF是矩形是矩形.CF=DB，FB=CD=4米，米，设设AB=x米，则米，则AF=AB- -FB=x- -4.在在RtACF中，中，CF=AFtan=3(x- -4)，DB=3(x- -4).在在RtAEB中，中，EB=ABtan= x.DB- -EB=DE， (x- -4)- - x=3.解得解得x=6+ .答：树高答：树高AB是是(6+ )米米.333333 323 32【解析【解析】如解图，过点如解图，过点A作作ADBC于点于点D， AB=80，DAB=60，AD=40， BD=ABsin60=80 = ， CAD=45，CD=AD=40， BC=CD+BD=40(1+ )， 小船行驶的速度为小船行驶的速度为 海里海里/小时小时.拓展拓展1(2016大庆大庆)一艘轮船在小岛一艘轮船在小岛A的北偏东的北偏东60方向距方向距小小岛岛80海里的海里的B处，沿正西方向航行处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏小时后到达小岛的北偏西西45的的C处，则该船行驶的速度为处，则该船行驶的速度为_海里海里/小时小时3240 3( +)40 133( +)40 1333拓展拓展2(2014衡阳衡阳)如图，一河坝的横断面为等腰梯形如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽，坝顶宽10米，坝高米，坝高12米，斜坡米，斜坡AB的坡度的坡度i=1 1.5，则坝底，则坝底AD的长度为的长度为 ()A. 26米米B. 28米米C. 30米米D. 46米米D【解析【解析】易得易得AE=BE1.5=12 1.5=18(米米)，因此因此AD=2AEBC =18210=46(米米)导方 法 指 锐角三角函数的实际应用中常考查测量高度或求两锐角三角函数的实际应用中常考查测量高度或求两点间距离点间距离.解决此类问题的关键是把实际问题转化为数学解决此类问题的关键是把实际问题转化为数学问题，常通过以下几种方法作辅助线构造直角三角形来问题，常通过以下几种方法作辅助线构造直角三角形来解决解决. 1. 若题图为三角形且三角形内角（或外角）中有已若题图为三角形且三角形内角（或外角）中有已知角时，则通过作该三角形的高，构造出含已知的直角知角时，则通过作该三角形的高，构造出含已知的直角三角形三角形.导方 法 指图形图形关系式关系式AB=AD- -BD导方 法 指图形图形关系式关系式BC=BD+CD 2. 若图形为梯形且其内角中有已知角时，一般过短若图形为梯形且其内角中有已知角时，一般过短的底作梯形的高线，可构造出已知直角三角形和矩形的底作梯形的高线，可构造出已知直角三角形和矩形.导方 法 指图形图形关系式关系式AE=AC+CE=AC+BDAB=BE+AE=CD+AEBC=BE+EF+FC
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