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第十一讲 巧填算符（一）知识点: 1.填算符，就是指在一些数之间的适当地方填上适当的运算符号（包括括号），从而使这些数和运算符号构成的算式成为一个等式。2.在填算符的问题中，所填的算符包括+, -, , , （）, , 。3.解决这类问题常用两种基本方法：一是凑数法，二是逆推法，有时两种方法并用。(1)凑数法是依据所给的数，凑出一个及结果比较接近的数，然后，再对算式中剩下的数字作适当的增加或减少，从而使等式成立。(2)逆推法常是从算式的最终一个数字开始，逐步向前推想，从而得到等式。例1 在下面算式适当的地方添上加号，使算式成立。8 8 8 8 8 8 8 8=1000分析 要在八个8之间只添加号，使和为1000，可先考虑在加数中凑出一个较接近1000的数，它可以是888，而88888=976，此时，用去了五个8，剩下的三个8应凑成1000-97624，这只要三者相加就行了。解：本题的答案是888+88+8+8+8=1000例2 在下列算式中合适的地方添上+, -, ，使等式成立。 9 8 7 6 5 4 3 2 1=1993 1 2 3 4 5 6 7 8 9=1993分析 本题的特点是所给的数字比较多，而得数比较大，这种题目一般用凑数法来做，在本题中应留意可运用的运算符号只有+, -, 。中，6543=1962，及结果1993比较接近，而1993-1962=31，所以，假如能用9 8 7 2 1凑出31即可，而最终两个数合在一起是21，那么只需用9 8 7凑出10，明显，9+8-7=10，就有：98-76543+21=1993中，及1993比较接近的是3456=2070.它比1993大77，现在，剩下的数是1 2 7 8 9，假如把7, 8写在一起，成为78，则无论怎样，前面的1, 2和最终的9都不能凑成1.留意到89=72，而7+89=79，12=2，79-2=77.所以这个问题可以如下解决：12+3456-7-89=1993。解：本题的答案是： 98-76543+21=1993； 123456-7-89=1993。例3 在下面算式合适的地方添上+, -, 号，使等式成立。3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3=1992分析 本题等号左边数字比较多，右边得数比较大，仍考虑凑数法，由于数字比较多，在凑数时，应多用去一些数，留意到3333=999，所以3333+3333=1998，它比1992大6，所以只要用剩下的八个3凑出6就可以了，事实了，3+3+3-3+3-3+3-3=6，由于要减去6，则可以这样添：33333333-3-33-33-33-3=1992。解：本题的一个答案是：33333333-3-33-3+3-33-3=1992。补充说明：前面例1至例3中，它们的特点是等号左边的数比较多，而等号右边的数比较大，这种问题一般用凑数法解决比较简单。例4 在下面算式合适的地方添上+, -, ，使等式成立。1 2 3 4 5 6 7 8=1分析 这道题的特点是等号左边的数字比较多，而等号右边的得数是最小的自然数1，可以考虑在等号左边最终一个数字8的前面添“-”号。这时，算式变为：1 2 3 4 5 6 7-81只需让1 2 3 4 5 6 7=9就可以了，考虑在7的前面添“”号，则算式变为1 2 3 4 5 679，只需让1 2 3 4 5 6=2就可以了，同开始时的想法，在6的前面添“-”号，算式变为1 23 4 5-62，这时只要1 2 3 4 58即可.同样，在5前面添“”号，则只需1 2 3 43即可.视察发觉，只要这样添：123-43就得到本题的一个解为123-4+5-6+7-8=1。解：本题的一个答案是：1+23-4+5-6+7-8=1补充说明：一般逆推法常限于数字不太多（假如太多，推的步骤也会太多），得数也比较小的题目，如例4.在解决这类问题时，常把逆推法和凑数法结合起来运用，我们称之为综合法.所以，在解决这类问题时，把逆推法和凑数法综合考虑更有助于问题的解决。例5 在下面算式中合适的地方，只添两个加号和两个减号使等式成立。1 2 3 4 5 6 7 8 9100分析 在本题条件中，不仅限制了所运用运算符号的种类，而且还限制了每种运算符号的个数。由于题目中，一共可以添四个运算符号，所以，应把1 23 4 5 6 7 8 9分为五个数，又考虑最终的结果是100，所以应在这五个数中凑出一个较接近100的，这个数可以是123或89。假如有一个数是123，就要使剩下的后六个数凑出23，且把它们分为四个数，应当是两个两位数，两个一位数.视察发觉，45及67相差22，8及9相差1，加起来正好是23，所以本题的一个答案是：12345-678-9100假如这个数是89，则它的前面肯定是加号，等式变为1 2 3 4 5 6 789=100，为满意要求，1 2 3 4 5 6 7=11，在中间要添一个加号和两个减号，且把它变成四个数，视察发觉，无论怎样都不能满意要求。解：本题的一个答案是：12345-678-9=100补充说明：一般在解题时，假如没有特殊说明，只要得到一个正确的解答就可以了。在例5这类限制比较多的题目的解决过程中，要时时留意依据题目的要求去做，由于题目的要求比较高，所以解决的方法比较少。例6 在下列算式中合适的地方，添上（），使等式成立。 123456789=303123456789=13951+2345+67894455分析 本题要求在算式中添括号，留意到括号的作用是改变运算的顺序，使括号中的部分先做，而在四则运算中规定“先乘除，后加减”，要改变这一顺序，往往把括号加在有加, 减运算的部分。题目中三道小题的等号左边完全相同，而右边的得数一个比一个大.要想使得数增大，可以让加数增大或因数增大，这是考虑本题的基本思想。题中，由凑数的思想，通过加（ ），应凑出较接近303的数，留意到1+23+45+6=33，而337=231.较接近303，而231+89=303，就可得到一个解为：（1+23+45+6）7+89=303题中，得数比题大得多，要使得数增大，只要把乘法中的因数增大.假如考虑把括号加在7+8上，则有6（7+8）9=810，此时，前面1+2345无论怎样加括号也得不到1395-810=585.所以这样加括号还不够大，可以考虑把全部的数都乘以9，即（123+45+67+8）9=693，仍比得数小，还要增大，考虑将括号内的数再增大，即把括号添在（12）或（34）或（56）或（7+8）上，试验一下知道，可以有如下的添加法：（1+2）（3+4）5+67+89=1395题的得数比题又要大得多，可以考虑把（78）作为一个因数，而1+23+45+6（7+8）9=837，还远小于4455，为增大得数，试着把括号加在（123456）上，作为一个因数，结果得33，而33（78）9=4455.这样，得到本题的答案是：（123+45+6）（7+8）9=4455解：本题的答案是：（123456）789=303（1+2）（34）5+6789=1395（123456）（7+8）9=4455习题十一1.在下列算式的中，添入加号和减号，使等式成立。123456789=1001234567891002.在下列算式中合适的地方添上+, -号，使等式成立。9 8 7 6 5 4 3 2 1=219 8 7 6 5 4 3 2 1=233.只添一个加号和两个减号，使下面的算式成立。1 2 3 4 5 6 7 8 9=1004.在下列算式中适当的地方添上+, -, 号，使等式成立。 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4=1996 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6=19925.在下列算式中适当的地方添上（），使等式成立.135791113+15=40115-1311-97-53-186在批改作业时，张老师发觉小明抄题时丢了括号，但结果是正确的。请你给小明的算式添上括号：428423147在下面算式适当的地方添上加号，使等式成立。8 8 8 8 8 8 8 8 10008在下面式子的适当地方添上, , ，使等式成立。1 2 3 4 5 6 7 81第 9 页
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