数学 第二章 空间向量与立体几何章末课 北师大版选修2-1

第二章空间向量与立体几何章末复习课学习目标1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的运算法则及运算律.2.掌握空间向量数量积的运算及其应用，会用数量积解决垂直问题、夹角问题.3.理解空间向量基本定理，掌握空间向量的坐标表示.4.会用基向量法、坐标法表示空间向量.5.会用向量法解决立体几何问题.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理知识点一空间中点、线、面位置关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为，v，则线线平行lmabakb，kR线面平行l 0面面平行v_线线垂直lm _线面垂直laak，kRaakv，kRab0ab面面垂直v_线线夹角 l，m的夹角为(0 )，cos 线面夹角l，的夹角为(0 )，sin 面面夹角，的夹角为(0 )，cos v0知识点二用坐标法解决立体几何问题步骤如下：(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)写出相关点的坐标及向量的坐标；(3)进行相关坐标的运算；(4)写出几何意义下的结论.关键点如下：(1)选择恰当的坐标系.坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标易求且简单，简化运算过程.(2)点的坐标、向量的坐标的确定.将几何问题转化为向量的问题，必须确定点的坐标、直线的方向向量、平面的法向量，这是最核心的问题.(3)几何问题与向量问题的转化.平行、垂直、夹角问题都可以通过向量计算来解决，如何转化也是这类问题解决的关键.题型探究类型一空间向量及其运算例例1如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：其中正确结论的序号是_.答案解析向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义.反思与感悟解答由已知ABCD是平行四边形，类型二利用空间向量解决位置关系问题例例2在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证：(1)PC平面EBD.证明如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA，DP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设平面EBD的一个法向量为n(x，y，z)，(2)平面PBC平面PCD.证明设平面PBC的一个法向量为m(x1，y1，z1)，(1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量.(2)证明线面平行的方法证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线.利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量.(3)证明面面平行的方法转化为线线平行、线面平行处理.证明这两个平面的法向量是共线向量.反思与感悟(4)证明两条直线垂直，只需证明这两条直线的方向向量垂直.(5)证明线面垂直的方法证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量.证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直.(6)证明面面垂直的方法转化为证明线面垂直.证明两个平面的法向量互相垂直.跟踪训练跟踪训练2在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED平面A1FD1.证明如图，建立空间直角坐标系.设正方体棱长为1，则设m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2)分别是平面AED和A1FD1的一个法向量，令y11，得m(0，1，2).令z21，得n(0，2，1).mn(0，1，2)(0，2，1)0，mn，故平面AED平面A1FD1.类型三利用空间向量求角例例3如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；解答交线围成的正方形EHGF如图所示，(2)求直线AF与平面所成角的正弦值.解答作EMAB，垂足为M，则AMA1E4，EMAA18.因为EHGF为正方形，所以EHEFBC10.设n(x，y，z)是平面EHGF的法向量，用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为090，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解.(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面所成的角，先求这个平面的法向量n与直线a的方向向量a的夹角的余弦cosn，a，再利用公式sin |cosn，a|，求.(3)二面角：如图，有两个平面与，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面与所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角.反思与感悟跟踪训练跟踪训练3如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，ABBEEC2，G，F分别是线段BE，DC的中点.(1)求证：GF平面ADE；证明方法一如图，取AE的中点H，连接HG，HD. 由四边形ABCD是矩形，得ABCD，ABCD，所以GHDF，且GHDF，从而四边形HGFD是平行四边形，所以GFDH.又DH平面ADE，GF 平面ADE，所以GF平面ADE.方法二如图，取AB中点M，连接MG，MF. 又G是BE的中点，可知GMAE.又AE平面ADE，GM 平面ADE，所以GM平面ADE.在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点，得MFAD.又AD平面ADE，MF 平面ADE.所以MF平面ADE.又因为GMMFM，GM平面GMF，MF平面GMF，所以平面GMF平面ADE.因为GF平面GMF，所以GF平面ADE.(2)求平面AEF与平面BEC所成的锐角的余弦值.解答方法一 如图，在平面BEC内，过B点作BQEC. 因为BECE，所以BQBE.又因为AB平面BEC，所以ABBE，ABBQ.则A(0， 0， 2)， B(0，0，0)， E(2， 0， 0)， F(2， 2， 1).设n(x，y，z)为平面AEF的法向量.取z2，得n(2，1，2).方法二同方法一.当堂训练23451在BCD中，因为点G是CD的中点，答案解析234512.若a(0，1，1)，b(1，1，0)，且(ab)a，则实数的值是A.1 B.0 C.1 D.2ab(，1，1).又由(ab)a，知(ab)a0，0(1)1(1)(1)0，解得2.答案解析234513.已知向量a(42m，m1，m1)与b(4，22m，22m)平行，则m_.1或3当22m0，即m1时，a(2，0，0)，b(4，0，0)，满足ab；当22m0，即m1时，综上可知，m3或m1.答案解析234514.已知平面经过点O(0，0，0)，且e(1，1，1)是的一个法向量，M(x，y，z)是平面内任意一点，则x，y，z满足的关系式是_.xyz0答案解析解答23451规律与方法解决立体几何中的问题，可用三种方法：几何法、基向量法、坐标法.几何法以逻辑推理作为工具解决问题；基向量法利用向量的概念及其运算解决问题；坐标法利用数及其运算来解决问题.坐标方法经常与向量运算结合起来使用.本课结束