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7 正切函数7.1 正切函数的定义7.2 正切函数的图像与性质 在前两节中，我们学习了任意角的正、余弦在前两节中，我们学习了任意角的正、余弦函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质. . 今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法，今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习任意角的正切函数在直角坐标系内学习任意角的正切函数.1.1.了解任意角的正切函数的概念了解任意角的正切函数的概念. .( (重点重点) )2.2.能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像. .( (重点重点) )3.3.根据正切函数的图像熟练推导出正切函数的性根据正切函数的图像熟练推导出正切函数的性质质. .( (难点难点) )4.4.能熟练掌握正切函数的图像与性质能熟练掌握正切函数的图像与性质. .( (重点重点) ) 在直角坐标系中，在直角坐标系中，如果角如果角满足：满足：R， k(kZ)，那么，角，那么，角的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点P（a，b），唯一确定比），唯一确定比值值 . .探究点探究点1 正切函数的定义正切函数的定义2ba 1 1OP(aP(a ，b)b)yMxA 根据函数的定义，比值根据函数的定义，比值 是角是角的函数，我们把它叫作角的函数，我们把它叫作角的的正正切函数，切函数，记作记作y ytantan， 正切函数的定义正切函数的定义其中其中RR， + +kk，kZkZ. .ba2思考思考1 1：正切函数与正弦和余弦函数有什么关系？正切函数与正弦和余弦函数有什么关系？思考思考2 2：当角当角的终边在的终边在x x轴、轴、y y轴时，正切函数值的轴时，正切函数值的情况如何？情况如何？提示：提示：当角当角的终边在的终边在x x轴上时，轴上时，tantan=0=0；当角当角的终边在的终边在y y轴上时，轴上时，a=0a=0，比值，比值 没意义，故没意义，故角角的正切值不存在的正切值不存在. .提示：提示：比较正、余弦和正切的定义，不难看出：比较正、余弦和正切的定义，不难看出： tantan ( (RR，kk+ + ，kZkZ).). 2sincosaaba 由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们统称它们为值的函数，我们统称它们为三角函数三角函数. . 根据正切函数的定义，我们知道：当角在第一根据正切函数的定义，我们知道：当角在第一和第三象限时，其正切函数值为正；当角在第二和和第三象限时，其正切函数值为正；当角在第二和第四象限时，其正切函数值为负第四象限时，其正切函数值为负. .这里的角是指的角的弧度数这里的角是指的角的弧度数. .正切线正切线如图，单位圆与如图，单位圆与x x轴正半轴轴正半轴的交点为的交点为A(1 ,0)A(1 ,0)，任意角，任意角的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点P P，过点过点A(1 ,0)A(1 ,0)作作x x轴的垂线，轴的垂线，与角的终边或终边的延长与角的终边或终边的延长线相交于线相交于T T点点. .从图中可以看出：从图中可以看出：当角当角位于第一和第三象限时，位于第一和第三象限时，T T点位于点位于x x轴的上方；轴的上方；当角当角位于第二和第四象限时，位于第二和第四象限时，T T点位于点位于x x轴的下方轴的下方. . 探究点探究点2 2 正切线和正切函数的周期正切线和正切函数的周期 不论角不论角的终边在第几象限，都有的终边在第几象限，都有AOTAOT与与MOPMOP的正切值相等，且角的正切值相等，且角的正切值与有向线段的正切值与有向线段ATAT的值相等的值相等. .因此，我们称有向线段因此，我们称有向线段ATAT为角为角的正的正切线切线. .正切函数的周期正切函数的周期 所以所以 是正切函数的周期是正切函数的周期. 是它的最小正周期是它的最小正周期.k (kZ,k0)sinxtanx(k)sin(xk )cosxtan(xk )sinxcos(xk )tanx(k).cosx 为奇数 ，为偶数tan(xk )tanx,xR,xk ,kZ.2 其中，由于由于(2)(2)找横坐标找横坐标（把（把x x轴上轴上到到 这一段分这一段分成成8 8等份）等份）探究点探究点3 正切函数的图像正切函数的图像作法如下：作法如下：(1)(1)作直角坐标系作直角坐标系, ,并在并在直角坐标系直角坐标系y y轴左侧作单轴左侧作单位圆位圆. .xyO2(3)(3)在单位圆右半圆中在单位圆右半圆中作出正切线作出正切线. .(4)(4)平移平移. (5). (5)连线连线. .244正切函数图像的简单画法：正切函数图像的简单画法： 三点两线法三点两线法.“三点三点”:(0,0)1144,（ ， ), (， )“两线两线”:xx22 和x xy yO O223223441-1思考思考：为什么不用五点法为什么不用五点法? ?提示：提示：因为有渐近线，只需在对称中心两侧各取一点即可因为有渐近线，只需在对称中心两侧各取一点即可. .正切曲线正切曲线是由通过点是由通过点 且与且与 y 轴轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线组成相互平行的直线隔开的无穷多支曲线组成.(,0)()2kkZO32渐近线渐近线渐近线渐近线探究点探究点4 4 正切函数的性质正切函数的性质O32 函数函数性质性质 y=tan xy=tan x 定义域定义域 值域值域R R奇偶性奇偶性奇函数奇函数周期性周期性 周期周期k k(k(kZ,kZ,k0),0),最小正周期是最小正周期是在每一个区间在每一个区间 上是增加的上是增加的x | xR,xk ,kZ2 (k ,k )(kZ)22 2.ytan 2x.4例 求函数（）的定义域2x,ytan4zz义令令那那么么函函数数解解：的的定定域域k ,kZ2 z z是是2xzk42 由由3kx,kZ82可可得得ytan(2x)4所所以以函函数数的的定定义义域域为为3kx x,kZ.82例例3.3.比较下列每组数的大小比较下列每组数的大小. .oooo(1)tan167 与(1)tan167 与tan173tan1731111tan(-)tan(-)4 41313tan(-)tan(-)5 5（2 2）与与90167173180因为，上是增加的tan2yx ，在在tan167tan173 .所以11tan()tan,44132tan()tan.5520,452因为tanyx0，加的2, ,又又在在上上是是增增2tantan45所以，1113tan()tan().45所以解解: :(1)(1)(2)(2)方法：方法： 转化到同一单调区间内，利用单调性解决转化到同一单调区间内，利用单调性解决. . . .解解: :tan,2因为在开区间 -（）上是增加的，2ytkkkZ224kxkkZ所以，344kxkkZ解得，3,.44所以在上是增加的kkkZ函函数数区区间间4.ytan x.4例 求函数（）的单调区间tx4，设设A. B. C. D.A. B. C. D.以上都不对以上都不对1. 1. 已知已知 则则( )( ) A.aA.abc bc B.cB.cba C .bca D. bacba C .bca D. bactan1,tan 2,tan 3,abc2 2. .已已知知是是三三角角形形的的一一个个内内角角，且且有有t ta an n- -1 1, ,则则的的取取值值范范围围是是3,4 0,23,4 0,2( )C CC C 3.3.求函数求函数 的定义域的定义域. .解：解：要使函数有意义，需要使函数有意义，需tan x+10tan x+10，即即tan x-1.tan x-1.结合正切函数的图像可知结合正切函数的图像可知所以函数的定义域为所以函数的定义域为ytan x1kxk ,kZ42 ，x |kxk ,kZ.42 1.1.正切函数的定义正切函数的定义. .2.2.正切函数的图像正切函数的图像. .3.3.正切函数的性质正切函数的性质. .22323 定义域：定义域： 值域：值域： 周期性：周期性： 奇偶性：奇偶性： 奇函数，图像关于原点对称奇函数，图像关于原点对称.R.R. 单调性：单调性：k ,k(kZ).22 在每一个开区间（）内都是增加的. 正切函数的最小正周期为.Z Zk k,k k2 2x x|x x 白发无凭吾老矣！青春不再汝知乎？年将弱冠非童子，学不成名岂丈夫？ 俞良弼
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