常考常新的数列求和问题

常考常新的数列求和问题524500 广东省吴川市第一中学 柯厚宝数列求和问题是历年高考的重点和热点之,也常是高考的“压轴”之作.解决这类问题已有一套较为成熟的常规方法,但如何才能从常规中考出新意?是每年命题专家要思考的问题,而我们的问题是,如何抓住命题者的出新思路,寻求更对应有效的解决方法?本文试探之.一、一般数列,设计出新,归纳对之例1(2009 江西)数列的通项,其前项和为,则为( )A470 B490 C495 D510分析:可得,依次取值周期为3,重组合并得解.解:由于,依次取值以3 为周期,故=,故选A.点评:本题以归纳为入口,用(其他项同理)拆项、再重组运用公式求和,其中隐含的“归纳法”、“拆项求和法”和“公式法”,是常用的求和方法.跟踪练习(2009 重庆改编):设,数列的前项和为,则= (答案:)二、基本数列,思路出新,整体决之例2(2009 宁夏)等差数列前项和为.已知+=0,=38,则m=_分析:由,求出即可得.解:由得,而,或(舍去),于是,.点评:由基本数列(等差数列与等比数列)的性质结合整体运算,回避了繁杂的“基本量”思路整体的解决了问题.平时多总结一些“中间”解题结论,可以有效提高解题效率.跟踪练习(2009 辽宁)设等比数列的前项和为,若=3 ,则= (答案:)三、综合问题,包装出新,拆装为本例3(2009 辽宁)等比数列的前项和为,已知对任意的,点均在函数且均为常数)的图像上. w(1)求的值;(2)当b=2时,记求数列的前项和.分析:由“点在曲线上”,建立与的关系,再由“与法”求,也合适得;接着求,用“错位相减法”可求得.解:(1)点在函数的图像上.,当时,;当时,因为为等比数列,所以,公比为,所以;(2)当b=2时,则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 相减,得=所以.点评:本题经拆装后,问题回归到我们熟悉的数列问题,用上常用的“错位相减法”即可求其和.跟踪练习:已知为二次函数,不等式的解集为,且对任意,恒有,.数列满足,.设.(1)求数列的通项公式; (2)若数列的前项和为,求数列的前n项和.(答案:(1);.提示:由题意得,令,出现,确定的值,从关于的方程变形得关于的方程,可得,进而得与)专题小训练一、选择题1.若数列满足,则数列为“调和数列”,已知数列为“调和数列”,且,则的最大值是 ( )A.10 B.100 C.200 D.4002.设等比数列的公比为,前项和为,若成等差数列,则的值为( )A. B.2C. D.3.已知数列的通项公式为,设其前n项和为Sn,则使Sn5成立的自然数n有( )A.最小值63B.最大值63C.最小值31D.最大值31 4.在等差数列中,设为其前项和,已知,则等于 ( ) A. B. C. D.5.已知数列的前项和,是等比数列的充要条件是 ( )A. B. C. D.6.设等差数列的前项和为,已知,+则下列结论中正确的是 ( )A. B. C. D.二、填空题7.等差数列的前项和为,且则 8.已知在等差数列中,若,则n的最小值为 .9.已知等差数列an的前n项和为Sn,且S2=10,S5=55,则过点P(n,an),Q(n+2,an+2)(nN*)的直线的斜率为 .10.对于集合N=1,2,3, n的每一个非空子集,定义一个“交替和”如下:按照递减的次序重新排列该子集,然后从最大数开始交替地减、加后继的数.例如集合1,2,4,6,9的交替和是964216,集合5的交替和为5.当集合N中的n =2时,集合N=1,2的所有非空子集为1,2,1,2,则它的“交替和”的总和=1+2+(21)=4,则当时,= _;根据、,猜想集合N =1,2,3,n的每一个非空子集的“交替和”的总和= . 三、解答题11.设等差数列的前n项和为,且(c是常数,N*),.(1)求c的值及的通项公式;(2)证明:.12.已知数列中,令.(1)证明:数列是等比数列;(2)设数列的前项的和为,求使成立的正整数的最小值.13.已知且,数列的前项的和,数列满足,.(1)求证:数列是等比数列;(2)若对于区间上的任意实数,总存在不小于2的自然数,当时,恒成立,求的最小值.14.在平面上有一系列的点, 对于正整数,点位于函数的图像上,以点为圆心的与轴相切,且与又彼此外切,若,且(1)则数列的通项公式;(2)设的面积为,比较与的大小.参考答案1.B 为“调和数列”,即为等差数列,有,得.2.D由题意,得,即,故,即.3.A ,由,得,.4.C 可得,.5.D 是等比数列,得,公比,由,.反之也成立.6.A 的单调性,易得它在R上为单调递增函数,且为奇函数.由条件知,有,从而;.又,在R上单调递增,得.故选A.7. ,得.8.62 由已知得,解得.9.4 由,得,消去得,.10.12; 当时,所有非空子集为1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3,;同理得,.11.(1)解:因为,所以当时,解得,当时,即,解得,所以,解得;则,数列的公差,所以.(2)因为.因为,所以.12.(1)证明:由,得,两式相减有,而,又.是以2为首项,公比为2的等比数列.(2)解:由(1)得,即,=.得,=.令 ,则 .得=,于是.由,得,即.当时,单调递增,.正整数的最小值为5.13.解:(1)当时,得.由,得,恒有,从而,故数列是以为首项,公比为的等比数列.(2)由(1)得, .由,得恒成立,其中.令,由,知,有.结合一次函数的图象有,解得或,又,.综上所述,自然的最小值为4.14.解:(1)的半径为,的半径为,和两圆相外切,则即整理,得又所以 即故数列是等差数列,=;(2)由(1)得,又8