高中数学一轮复习 第3讲 空间点、直线、平面间的位置关系

第3讲 空间点、直线、平面间的位置关系随堂演练巩固1.平面直线直线则m、n的位置关系是( ) A.异面B.平行 C.相交D.无法确定 【答案】D 【解析】如图,可知三种关系都有可能. 2.下列命题中错误的是( ) A.若两个平面有一个公共点,则它们有无数个公共点 B.平面和平面相交,则内的直线和内的直线一定相交 C.若点A在平面内,又在平面内,则和相交,且点A在交线上 D.已知四点不共面,则其中任意三点不共线 【答案】B3.如图、且直线过A、B、C三点的平面记作则与的交线必通过( ) A.点AB.点B C.点C但不过点MD.点C和点M 【答案】D 【解析】. 又. 根据公理3可知,M在与的交线上. 同理可知,点C也在与的交线上. 4.已知A、B、C表示不同的点,l表示直线、表示不同的平面,则下列推理正确的是 . 【答案】(1)(2)(4) 课后作业夯基基础巩固1.下列命题: (1)公理1可结合符号叙述为:若且则必有; (2)四边形的两条对角线必相交于一点; (3)用平行四边形表示平面,以平行四边形的四条边作为平面的边界线; (4)梯形是平面图形. 其中正确命题的个数为( ) A.1B.2C.3D.4 【答案】A 【解析】对于(1)注意到直线是点集,平面也是点集,当直线在平面上时,直线是平面的真子集,应表示为而不应表示成所以(1)不正确; 对于(2),当四边形是平面图形时,两条对角线必相交于一点,当四边形的四个顶点不共面时,两条对角线是不能相交的,所以(2)不正确; 对于(3),平面是可以无限延伸的,用平行四边形表示的平面同样是无限延伸的,平行四边形的边并不表示平面的边界,所以(3)不正确; 对于(4),梯形的两底是两条平行线,它们可唯一确定一个平面,由于腰的两个端点均在该平面上,故腰也在这个平面上,即梯形的四边共面,所以梯形是平面图形,所以(4)正确. 2.直线在上取3个点上取2个点,由这5个点所确定的平面个数为( ) A.9B.6 C.3D.1 【答案】D 【解析】确定唯一平面,而5个点均在该面内. 3.已知直线a、b是两条异面直线,直线c平行于直线a,则直线c与直线b( ) A.一定是异面直线B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线 【答案】C 【解析】易知c与b有可能相交,也有可能异面. 4.如图是正方体或四面体,P、Q、R、S分别是所在棱的中点,则这四个点不共面的一个图是( ) 【答案】D 【解析】在A图中分别连接PS、QR, 易证PSQR,P、S、R、Q共面; 在C图中分别连接PQ、RS, 易证PQRS,P、Q、R、S共面. 如图,在B图中过P、Q、R、S可作一正六边形,故四点共面,D图中PS与RQ为异面直线, 四点不共面,故选D. 5.在空间,与边长均为3 cm的ABC的三个顶点距离均为1 cm的平面共有( ) A.2个B.3个 C.5个D.8个 【答案】D 【解析】适合条件的平面分两类:第一类,点A、B、C在平面的同侧,有2个;第二类,点A、B、C在平面的异侧(平面过ABC的中位线),有6个,共有8个. 6.(2020浙江杭州检测)已知a、b为不垂直的异面直线是一个平面,则a、b在上的射影可能是:两条平行直线;两条互相垂直的直线;同一条直线;一条直线及其外一点,则在上面的结论中,正确结论的编号是 (写出所有正确结论的编号). 【答案】 【解析】、对应的情况如下: 用反证法证明不可能. 7.在空间中, 若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线; 若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线. 以上两个命题中,逆命题为真命题的是 .(把符合要求的命题序号都填上) 【答案】 【解析】对于可举反例,如ABCD,A、B、C、D没有三点共线,但A、B、C、D共面.对于由异面直线定义知正确,故填.8.在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何体的4个顶点,这些几何体是 .(写出所有正确结论的编号) 矩形 不是矩形的平行四边形 有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体 每个面都是等边三角形的四面体 每个面都是直角三角形的四面体 【答案】 【解析】分两种情况:4个顶点共面时,几何体一定是矩形;4个顶点不共面时,都有可能. 9.如图,ABCD-是长方体,则AB与所成的角为 与所成的角为 . 【答案】30 45 【解析】AB是AB与所成的角, AB与所成的角为30. 是与所成的角. 由已知条件可以得出 . 四边形是正方形. 10.不重合的三条直线,若相交于一点,最多能确定 个平面;若相交于两点,最多能确定 个平面;若相交于三点,最多能确定 个平面. 【答案】3 2 1 【解析】三条直线相交于一点,最多可确定3个平面,如图(1);三条直线相交于两点,最多可确定2个平面,如图(2);三条直线相交于三点,最多可确定1个平面,如图(3). 11.已知平面、两两相交于直线、且与相交于点P,求证:、三线共点. 【证明】如图所示, 且. 又. .又 . . 、共点于点P. 12.如图,已知平面且.设梯形ABCD中,ADBC,且.求证:AB,CD,l共点(相交于一点). 【证明】梯形ABCD中,ADBC, AB,CD是梯形ABCD的两腰. AB,CD必定相交于一点. 设. 又且. . 又 即AB,CD,l共点. 拓展延伸13.有一矩形纸片ABCD,AB=5,BC=2,E、F分别是AB、CD上的点,且BE=CF=1,如图(1).现在把纸片沿EF折成图(2)形状,且. (1)求BD的长; (2)求证:AC,BD交于一点且被该点平分. 【解】(1)将平面BF折起后,补成长方体AEFD则BD恰好是长方体的一条对角线. 因为AE、EF、EB两两垂直, 所以BD恰好是以AE、EF、EB为长、宽、高的长方体的对角线. 所以. (2)证明:因为AD所以点A、D、B、C在同一平面内,且四边形ABCD为平行四边形. 所以AC、BD交于一点且被该点平分.