单调动力系统理论概述及应用

单调动力系统理论概述及应用张秋华（池州学院 数学与计算机科学系，安徽 池州 247000）摘要 本文介绍了单调动力系统的两个主要性质：极限集二分性和拟收敛点的几乎处 处性，并给出了在泛函微分方程中的一个应用。关键词单调动力系统；极限集二分性；拟收敛中文分类号：作者简介: 张秋华（1981）男，安徽巢湖人，池州学院助教，在职硕士，主要研究方 向：数理统计，多重比较，破产概率。自从19世纪末Poincare等人从经典力学和微分方程的定性理论的研究中提出动力系统 的概念以来，动力系统方法就成为研究微分方程的一个主要工具。动力系统的一个核心问题 是轨线的渐近性态和拓扑结构，它包含两层含义，即轨线的极限集的构成及轨线趋近于它的 方式。近几十年的非线性动力学研究成果表明，任何期望笼统的研究动力系统的渐近性态的 想法似乎是不可取的也是行不通的。因此，我们只能期望于研究某些系统具有哪些通有性质， 最简单的情况是轨线被吸引到平衡点。自然要问，哪些动力系统的所有或绝大多数的轨道具 有这种通有性质了？由和Hal Smith等人2-6,8发展起来的单调动力系统对此作 了一个相当完美和成功的回答。本文简单介绍这方面的研究近况，并给出一个具体的例子加 以说明。一、定义及记号：定义1:令Y为带有正锥Y = y e Y: y 0的序Banach空间，Vx, ye Y，如果 +y xe Y，则记为x y ；如果x y，且x丰y，则记为x 0 , x Xt st+s对于X上的半流，VxG X，记O(x):= (x),t 0为x的轨道，(x)为x的正t极限集，E为的平衡点集合，即E二x g X,(x)二x, Vt 0。如果x g X，(x) u E ,t则称点x为拟收敛点；如果(x)= P G E，则称x为收敛点。记X上所有拟收敛点集合为Q，X上所有收敛点集合为C。对于p G E，记C(p):二x G X, W(x)二p表示以 P 为极限集的所有收敛点集合，则C二U C(P)。pGE下面假设为(强)序Banach空间X上的半流，我们给出一些概念。定义3：称为X上的单调半流，如果x y n(x) 0 ；称为X上的tt强单调半流，如果x 0 ；称为X上的SOP (strongly ttorder-preserving)半流，如果是单调半流，且Vx 0，使得(U) O (V)，从而(U) t。0t0t 0tt0二、一些简单性质及命题：命题1：(收敛准则)设是X上的单调半流，x g X有紧的轨道闭包，且存在T 0使得(x) x,则(x)为周期T的周期轨。进一步地，如果使得(x) x成立的T TT为的开集且非空，或者是X上的SOP半流且(x) x，则x G C。+T命题2：(极限集的无序性)设(Z)为单调半流的正极限集，贝I(a )不存在 x, y ew (z)，使得 x y ；(b )如果(z)是周期轨或者是SOP的，则不存在x,y g(z)，使得x y。F面我们假设是序空间X上的SOP半流，且每条轨道都有紧的闭包。通过几个命题,我们给出SOP半流的极限集二分性原理。命题3：(共极限原理)设x 0，使得严) 0足够小使得(x) : 0 s 6 u U， (y) : 0 s 6 u V。则当 t r,s t +6 时，有 ss00(x)O (y)。因此(*)式(x)O(y沪(y )对srtk -10s厂 00k力G to,to +5 ，足够大的k成立。由于(x)二(x)二(x)，其中r = s t g 0,6 ，tk-t0ss10tkrtk0则 （x ）y（对足够大的k和r g 0,6 成立。 r tktk上式两边对k求极限，得到（p） p，0 r 6。r同理在（*）式中将（x）换成（x），（y）换成（y），再对k求极限,st 0t 0s得到 p O (p)，0 r 6。所以(p)二 p，0 r 6，故 p g E。rr命题 4：（相交原理）设xy，则w（x）nw（y）uE。如果pgw（x）nw（y），tk ”则（x） T p当且仅当（y） T p。 tktk证明：设p Gw（ x） n w（ y），则存在 t ，t Tg，使得（x） T p， kktk(y ) T q go (y)由单调性知p q。如果p q，由于p, q gw (y)， tk则由命题 2 知矛盾，所以p = q。再由命题3知pgE。命题5：（吸收原理）设u ,v g X , 3x gw (u)使得 x(v)(v) x ),则 w(u) w(v)(w(v) W(u)。证明：不妨设x ，使得r t n(U) O (V)。由w (v)的不变性知(U) 0，使得严gU。则由w（v）的不变性和单调性知:(u) 0 成立，从而w(u) w(v)。s+t0 +t1下证w（u）n w （v）二。否则的话3z gw（u）d w（v），由极限集的无序性知,w（u ）=w （v扌z, 矛盾。所以W（u） w（v），命题得证。命题6：（分离原理）设x y，存在t Tg使得（x） T p，（y） T q，如果p q， ktktk则 w ( x) w ( y ) 。下面我们给出SOP半流极限集的一个特征。定理1：(极限集二分性)设X y，贝I(a )(x) (y)(b)e(x) = e(y) u E。且若3t , Ta使得(x) T p 当且仅当(y) T p。 k kttkk证明：如果(x)二(y)，则由相交原理知(b )成立。如果(x)北(y)，不妨设存在q e(y)(x)(另一方面亦证)。则存在t , t Tg使得(y) Tq，而且 kktk(x) T p gw (x)(如有必要取t 的子列)。由单调性知p q，再由q纟(x) tkk知p q。所以由分离原理知w(x) w(y)，命题得证。下面我们再给出两个相关定义，并由此给出SOP半流的拟收敛点稠密的性质。定义4： A为序空间X的子集，称L :二x g X : x A(可能为空集)为A的下界，如果u G L，L u,则称u为A的下确界，记为u :二inf A。同样有上确界的定义。定义5：点x g X称为下(上)方两次可达，如果对x的任意邻域U，存在f，g使得f g x(x f g)成立。引理1：设x G X Q，a二inf(x)，如果x下方两次可达，则w (a)二p，p w (x)且xG IntC( p) 。证明：固定x的任意邻域M，由(x)的无序性知a w (x)。由(x)的不变性知(a)w (x )，所以(a) a，则由收敛准则(命题1)知讥a) =p, 且p a。 tt由于p 0，使得p s成立。t取r 0，使得(x) g N，对Vt r成立。则当t r + s时，有p O (x)。 tt令 V :二()-1(N) M，贝IV为x的邻域，V u M，且有 p r + 2s。 r+st所以 u G V n p w(u)(1)假设x下方两次可达，取y，y G V，且y y，由二分性原理知w(y) 0，有10t0t0y，Vu G U。由二分性知3(u) =3(y)或者(u) (y)，因此由(y) 3(x)，有 Vu g U,3(u) 3(x)，所以3(u) 0(4)y选取相空间X := C(-t ,0, )，其中的序关系为逐点的意义。给定0 g X，假设(3)满足初值条件x(s)=机s),s g -T,0的解局部上存在且唯一。定理3：假设f满足条件(4),且初值问题的解有界，则方程(3)的所有解都是收敛的。证明：由条件(4)知解半流是SOP的(Smith】7)，由于初值问题的解有界，所以所有的轨线有紧的闭包。易知在相空间X ：= C(-T,0, )中条件(L)成立，由定理2知IntQ = X。因为方程（3）的平衡点解E是完全有序的，由极限集的无序性知Q U C，从而定理得证。四、小结：单调动力系统理论是单调方法与动力系统观点相结合的产物，其丰富的结果已经应用到 常微分方程，泛函微分方程，抛物型微分方程以及偏泛函微分方程当中。由于泛函微分方程， 抛物型微分方程以及偏泛函微分方程本身的复杂性，这方面的应用有一定得限制。我们可以 通过适当选取这些问题的相空间，以及推广单调动力系统（比如伪单调动力系统， Wu1） ， 得到某些相应的结果。参考文献：1 J.R.Haddock, M.N.Nkashama, J.Wu. Asymptotic constancy for pseudo monotone dynamical systems on function spacesJ. J.Diff. Eqns., 1992, 100:292-311.2 M.W. Hirsch .Systems of differential equations which are competitive or cooperative I: limit setsJ. SIAM J. Appl. Math., 1982, 13: 167-179.3 M.W. Hirsch. Differential equations and convergence almost everywhere in strongly monotone semifowsJ. Contemp. Math.,1983, 17: 267-285.4 M.W. Hirsch. Systems of differential equations which are competitive or cooperativeII: convergence almost everywhereJ. SIAM J. Math. Anal.,1985, 16: 423-439.5 M.W. Hirsch. Stability and Convergence in Strongly Monotone dynamical systemsJ.J. reine. angew. Math., 1988, 383:1-53.6 M.W. Hirsch, H.L. Smith. Monotone dynamical systems. In Handbook of differentialequations: ordinary differential equations. Vol. IIM.Amsterdam: Elsevier B.V.,2005:239-357.7 H. L. Smith. Monotone semiflows generated by functional differential equationsJ. J.Diff.Eqns., 1987,66:420-442.8 H.L. Smith. Monotone Dynamical Systems, an introduction to the theory of competitive and cooperative systems, Math. Surveys and Monographs, 41M. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1995.9 Xiao-Qiang Zhao. Dynamical Systems in PopulationM. New York: Springer, 2003.