定积分积分上限函数学习教案

会计学1定积分积分上限函数定积分积分上限函数第一页，编辑于星期一：二十三点 十二分。1maxii nt 其中其中 tvv 细分细分取近似值取近似值作和作和取极限取极限 （1）12111212 , , , ,nT TT tt ttTti-1tii iiiSvt(2) 取近似值取近似值 11( )nniiiiiSSvt（3）作和）作和01lim( )niiiSvt（4）取极限）取极限 T1T2vt第1页/共28页第二页，编辑于星期一：二十三点 十二分。曲边梯形面积A：变速运动的路程 S：记为记为记为第2页/共28页第三页，编辑于星期一：二十三点 十二分。 f x, a b f x, a b定积分存在的充分条件 f x, a b f x, a b有界是函数在区间有界是函数在区间a,b上可积的必要条件。上可积的必要条件。第3页/共28页第四页，编辑于星期一：二十三点 十二分。表示曲线与表示曲线与 x 轴围成的图形面积的轴围成的图形面积的代数和代数和。表示曲线与 x 轴围成的图形面积。 定积分的几何意义（演示） xfyabA1A2A3第4页/共28页第五页，编辑于星期一：二十三点 十二分。若 是奇函数，则( )f x( )f x若 是偶函数，则a-a定积分的几何意义-aa第5页/共28页第六页，编辑于星期一：二十三点 十二分。定积分几何意义的应用1428173第6页/共28页第七页，编辑于星期一：二十三点 十二分。0 xy2-33定积分几何意义的应用第7页/共28页第八页，编辑于星期一：二十三点 十二分。把区间把区间1 , 0分成分成n等份，每份长等份，每份长1 n，各分点是：，各分点是：120 x dx解解 因为因为 在在 上连续，所以上连续，所以 存在存在2x0,1例 用定义求定积分dxx102第8页/共28页第九页，编辑于星期一：二十三点 十二分。补充规定补充规定： 10aaf x dx abxx+dx定积分的基本性质第9页/共28页第十页，编辑于星期一：二十三点 十二分。无论无论 a, b, c 的相对位置如何，（的相对位置如何，（3）式均成立。）式均成立。bcaacb定积分的基本性质第10页/共28页第十一页，编辑于星期一：二十三点 十二分。 5,bbaafxg xfx dxg x dxm f x f xM f x, a b, a b, baf x dxfba 7定积分的基本性质几何演示几何演示几何演示几何演示第11页/共28页第十二页，编辑于星期一：二十三点 十二分。 F bF a f x, a b F x微积分基本公式 stv t而而？第12页/共28页第十三页，编辑于星期一：二十三点 十二分。 xf x0 x积分上限函数及其导数 xaxf x dx xaf t dt f x, a b, a b f x , xa b xaf x dxx x 定理定理 如果函数如果函数f(x)在区间在区间 a,b上连续，则积分上限函数上连续，则积分上限函数 是是f(x)在在a,b上的一个原函数。上的一个原函数。( )( )xaxf t dt证明证明 介于介于 与与 之间）之间）0 x0 xx第13页/共28页第十四页，编辑于星期一：二十三点 十二分。例1 求下列函数的导数解解解解解解 2xtaxe dt（1） sinbxtf xdtt（2）第14页/共28页第十五页，编辑于星期一：二十三点 十二分。例1 求下列函数的导数解解解解2utae dt2xtaye dtux2tan 1uat dtln2tan 1xayt dtlnux2xtaye dt（3）第15页/共28页第十六页，编辑于星期一：二十三点 十二分。例1 求下列函数的导数2sinxbtydttsinbutdtt2xu 解解解解2sinxbtydtt（4）第16页/共28页第十七页，编辑于星期一：二十三点 十二分。例1 求下列函数的导数解解解解3arcsinlnxxytdt（5）第17页/共28页第十八页，编辑于星期一：二十三点 十二分。特别地一般地第18页/共28页第十九页，编辑于星期一：二十三点 十二分。 f x, a b F x baf x dxF bF a baf x dxF bF a微积分基本公式牛顿莱布尼兹公式证明思路证明思路 ( )baF x记作记作 第19页/共28页第二十页，编辑于星期一：二十三点 十二分。例2 求下列定积分解解 因为因为 在在 上连续，上连续， 是它的一个原函数是它的一个原函数 2yx0,1313yx所以所以 解解 原式原式 第20页/共28页第二十一页，编辑于星期一：二十三点 十二分。2200sinsinsinx dxxdxxdx解解 原式原式 解解 原式原式 几何意义几何意义 第21页/共28页第二十二页，编辑于星期一：二十三点 十二分。解解 原式原式 几何意义几何意义 第22页/共28页第二十三页，编辑于星期一：二十三点 十二分。解解 原式原式 解解 原式原式 合理应用对称区间上合理应用对称区间上奇偶函数的积分性质，奇偶函数的积分性质，简化定积分的计算。简化定积分的计算。第23页/共28页第二十四页，编辑于星期一：二十三点 十二分。解解设设 21,11,12xxf xxx 20f x dx，求，求 8分段函数的积分分段函数的积分计算，应分区间计算，应分区间选取相应的函数选取相应的函数函数在函数在x=1处间断处间断第24页/共28页第二十五页，编辑于星期一：二十三点 十二分。？解解 原式原式 31ux 积分变量积分变量变变，积分区间积分区间变变第25页/共28页第二十六页，编辑于星期一：二十三点 十二分。若 是奇函数，则( )f x aaf x dx 0aaf x dx 02af x dx( )f x若 是偶函数，则a-a定积分的几何意义是偶函数，是偶函数， 是奇函数。是奇函数。cosyx2sin1tanxyx-aa偶函数偶函数 奇函数奇函数 第26页/共28页第二十七页，编辑于星期一：二十三点 十二分。第27页/共28页第二十八页，编辑于星期一：二十三点 十二分。