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抛物线及几何性质 同步练习一、选择题（本题每小题5分，共60分）1抛物线的焦点坐标为 （ ）A B C D2过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1,y1）、B（x2,y2）两点，如果x1+x2=6，则|AB|的长是（ ）A10B8C6D43抛物线y=x2上点A处的切线与直线的夹角为45，则点A的坐标是（ ）A（1，1）BC（1，1）D（1，1）或4设P是抛物线上的动点，点A的坐标为（0，1），点M在直线PA上，且分所成的比为2：1，则点M的轨迹方程是（ ）A B C D5已知抛物线的焦点为F，定点P(4,2)，在抛物线上找一点M，使得最小，则点M的坐标为（ ）A B C D6抛物线上的点到直线的距离最短，则该点的坐标为（ ）A B C D7抛物线上的点到抛物线焦点的距离为3，则|y0|=（ ）AB2C2D48过抛物线的焦点F作倾斜角是的直线，交抛物线于A,B两点，则（）A8 B C D169过抛物线焦点F的直线与抛物线交于P,Q两点，若P,Q在抛物线准线上的射影为，则等于（ ）A B C D10已知抛物线上三点A,B,C,且A(1,0),当点B移动时，点C的横坐标的取值范围是（ ）A B C D11若一个圆的圆心在抛物线y2=4x的焦点处，且此圆与直线x+y+1=0相切，则这个圆的方程是（ ）Ax2+y22x1=0Bx2+y2+2x+1=0Cx2+y22y+1=0Dx2+y2+2y+1=012设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（ ）A，B2，2C1，1D4，4二、填空题（本题每小题4分，共16分）13若抛物线的顶点是双曲线的中心，且准线与双曲线的左准线重合，则此抛物线的方程为_.14设x1, x2R定义运算：x1x2=(x1+x2)2(x1x2)2,若x0，常数m0，则动点P(x, )的轨迹方程是 15一个正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中一个顶点在原点，则这个三角形的面积为_.16AB是抛物线的一条焦点弦，若，则AB的中点到直线的距离为_.三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（12分）.过点A(0，2)的直线与抛物线相交于两点P,Q，求以OP,OQ为邻边的平行四边形的第四个顶点M的轨迹方程18（12分）一辆卡车高3米，宽1.6米，欲通过抛物线型隧道，拱口宽恰好是抛物线的正焦弦长，若拱口宽为a米，求能使卡车通过的a的最小整数值yxOFAB（N）DECl19（12分）如图所示，设抛物线的焦点为F，经过F的直线交抛物线于A,B两点，点C在抛物线的准线上，且BC/x轴，证明直线AC经过原点O20（12分）、如图，过抛物线上一定点P（）（），作两条直线分别交抛物线于A（），B（） （I）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离 （II）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数21(12分)如图，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.（）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；（）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围.22（14分）如图, 直线y=x与抛物线y=x24交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=5交于Q点. （1）求点Q的坐标； （2）当P为抛物线上位于线段AB下方(含点A、B) 的动点时, 求OPQ面积的最大值.参考答案:一选择题 (本大题共12小题, 每小题5分, 共60分）题号123456789101112答案CBDACCBDCAAC二填空题（本大题有4小题, 每小题4分, 共16分）13 14. y2=2mx(y0) 15. 16. 三、解答题（本大题共6题，共74分）17解 平行四边形 ABCD的对角线的交点为N，且由题意得直线PQ的方程为，其中k为不等于零的参数由，得，N是PQ的中点N点的坐标为，又N为OM的中点直线PQ和抛物线有两个不同的交点式中，解得：由，故点M的轨迹方程为18分析：先建立如图所示的坐标系，确定抛物线的方程，由对称性知，卡车的轴线与y轴重合，问题转化为求出x0.8时的y值，需y3才能满足条件解：设抛物线方程为x22p(yp/2)（a/2，0）在抛物线上，a2/4p2 ，即pa/2从而抛物线方程为x2a(ya/4)，将（0.8,y）代入得卡车高3米，故需y3且a0，得 a212a2.560，解得a12.21或a0.12（舍去）所以a应取13注：本题以应用问题描述为载体，利用代定系数法求抛物线方程，解题中利用点与坐标、曲线与方程的对应关系，融进参数的讨论，富有新意。19解：如图，连接AC，设AC与EF交于点N，过A作于D，则AD/EF/BC，,由抛物线的定义：有N是线段EF的中点，即AC经过点O20解：本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.满分14分.解：（I）当时，, 又抛物线的准线方程为. 由抛物线定义得，所求距离为.（2）设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为 由，, 相减得.故. 同理可得. 由PA，PB倾斜角互补知, 即, 所以, 故. 设直线AB的斜率为 由， 相减得, 所以.将代入得 ，所以是非零常数.21解：本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分.解：（）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依题意x10，y10，y20.由y=x2， 得y=x.过点P的切线的斜率k切= x1，x1=0不合题意，x10直线l的斜率直线l的方程为yx12= (xx1)，方法一：联立消去y，得x2+xx122=0.M是PQ的中点 x0=， y0=x12(x0x1).消去x1，得y0=x02+1(x00)，PQ中点M的轨迹方程为y=x2+1(x0).方法二：由y1=x12，y2=x22，x0=，得y1y2=x12x22=(x1+x2)(x1x2)=x0(x1x2)，则x0=kl=，x1=，将上式代入并整理，得y0=x02+1(x00)，PQ中点M的轨迹方程为y=x2+1(x0).（）设直线l:y=kx+b，依题意k0，b0，则T(0，b).分别过P、Q作PPx轴，QQy轴，垂足分别为P、Q，则. y=x2由 消去x，得y22(k2+b)y+b2=0. y=kx+b y1+y2=2(k2+b)，则 y1y2=b2.方法一：|b|()2|b|=2|b|=2.y1、y2可取一切不相等的正数，的取值范围是（2，+）.方法二：=|b|=|b|.当b0时，=b=+22；当b0，于是k2+2b0，即k22b.所以=2.当b0时，可取一切正数，的取值范围是（2，+）.22解：(1) 解方程组 即A(4,2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1). 由kAB=,直线AB的垂直平分线方程y1=(x2). 令y=5, 得x=5, Q(5,5) (2) 直线OQ的方程为x+y=0, 设P(x, x24).点P到直线OQ的距离d=, ,SOPQ=. P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上, 4x44或44x8. 函数y=x2+8x32在区间4,8 上单调递增, 且当x=4时，|x2+8x32|=48 当x=8时，|x2+8x32|=96当x=8时, OPQ的面积取到最大值.
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