A题讲评数学建模解析学习教案

会计学1A题讲评题讲评(jingpng)数学建模解析数学建模解析第一页，共34页。 题目题目(tm) 题目题目(tm)的背景与分析的背景与分析 问题（问题（1）的通常做法）的通常做法 问题（问题（2）的通常做法）的通常做法 一种建立储油量模型的新方法一种建立储油量模型的新方法 对学生论文的评述对学生论文的评述 题目题目(tm)的启示的启示第1页/共34页第二页，共34页。【研究背景【研究背景(bijng)】通常加油站都有若干个储存】通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油油位计量管理系统位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。况。 图图1 是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体主体为圆柱体，两端为球冠体 2010A题：储油罐的变位识别题：储油罐的变位识别(shbi)与罐容表与罐容表标定标定第2页/共34页第三页，共34页。油油浮子出油管油位探测装置注油口检查口地平线2m6m1m1m3 m油位高度图图1 储油罐正面示意图储油罐正面示意图油位探针第3页/共34页第四页，共34页。n示意图。示意图。第4页/共34页第五页，共34页。油位探针 地平线图图2 储油罐纵向倾斜变位后示意图储油罐纵向倾斜变位后示意图油油浮子出油管油位探测装置注油口检查口水平线第5页/共34页第六页，共34页。图图3 储油罐截面示意图储油罐截面示意图（b）横向偏转倾斜后正截面图地平线垂直线油位探针（a）无偏转倾斜的正截面图油位探针油位探测装置3m第6页/共34页第七页，共34页。(b) 小椭圆油罐截面示意图 油油浮子出油管油位探针注油口水平线2.05mcm0.4m1.2m1.2m1.78m(a) 小椭圆油罐正面示意图图图4 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图小椭圆型油罐形状及尺寸示意图第7页/共34页第八页，共34页。【建模目的】用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表【建模目的】用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。标定的问题。 1 为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。的罐容表标定值。 2 对于图对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和和横向偏转角度横向偏转角度 ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过出油过程中的实际检测数据（附件程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。的罐容表标定值。进一步利用附件进一步利用附件2中的实际检测数据来分析中的实际检测数据来分析(fnx)检验你们模型的正检验你们模型的正确性与方法的可靠性。确性与方法的可靠性。第8页/共34页第九页，共34页。流水号油罐号累加进油量/L油位高度/mm采集时间说明11150159.022010-08-18 10:32:18(1)(1)罐体无变位进油，罐内油量初值罐体无变位进油，罐内油量初值262L262L；121100176.142010-08-18 10:33:18(2)C(2)C列累加进油量是每次加入一定量列累加进油量是每次加入一定量油后的累加值；油后的累加值；131150192.592010-08-18 10:34:18(3)D(3)D列是原罐内初始油量加入相应油列是原罐内初始油量加入相应油量后油位高度值。量后油位高度值。流水号油罐号累加出油量/L油位高度/mm采集时间说明111152.721150.722010-08-18 14:31:01(1)罐体无变位出油；1121102.721123.992010-08-18 14:31:56(2)C列的累加出油量是每次抽出一定量油后的累加值；1131152.721101.152010-08-18 14:32:56(3)D列是从罐内抽出相应油量后油位高度值。第9页/共34页第十页，共34页。流水号油罐号累加出油量/L油位高度/mm采集时间说明3111501020.652010-08-19 16:10:31(1)罐体纵向倾斜变位出油，纵向倾斜角4.1；31211001007.732010-08-19 16:11:21(2)C列累加出油量是每次抽出一定量油后的累加值；3131150994.322010-08-19 16:12:21(3)D列是原罐内油量抽出一定量油后的油位高度值。流水号油罐号累加进油量/L油位高度/mm采集时间说明2111747.86411.292010-08-19 15:10:27(1)罐体纵向倾斜变位进油，纵向倾斜角4.1，2121797.86423.452010-08-19 15:11:27罐内油量初值215L；2131847.86438.332010-08-19 15:12:37(2)C列累加进油量是每次加入一定量油后的累加值；2141897.86450.542010-08-19 15:13:27(3)D列是原罐内油量加入相应油量后油位高度值。第10页/共34页第十一页，共34页。流水号C进油量/LD油位高度/mm采集时间说明1150159.022010-08-20 10:32:18(1)罐体无变位进油，罐内油量初值262L；12100176.142010-08-20 10:33:18(2)C列进油量是每次加入50L油后的累加值13150192.592010-08-20 10:34:18(3)D列是原罐内初始油量加入相应油量后油位高度值。流水号C进油量/LD油位高度/mm采集时间说明11747.86411.292010-08-19 15:10:2712797.86423.452010-08-19 15:11:2713847.86438.332010-08-19 15:12:3714897.86450.542010-08-19 15:13:27(1)罐体纵向倾斜变位进油，纵向倾斜角4.10,罐内油量初值215L；(2)C列进油量是每次加入50L油后的累加值，个别的有小数零头；(3)D列是原罐内油量加入相应油量后油位高度值。附件附件1 实验实验(shyn)数据数据第11页/共34页第十二页，共34页。流水号C进油量/LD出油量/LE显示油高/mm显示油量容积/L采集时间备注说明201060.0060.002632.23 60448.88 2010-08-01 08:00:49 开始采集2020149.09149.092624.30 60311.43 2010-08-01 08:15:421)C列进油量,通常进油是一次性连续完成203068.4568.452620.67 60248.03 2010-08-01 08:23:412)D列出油量是加油机不同时段的出油量vi2040199.27199.272610.29 60065.11 2010-08-01 08:38:143)E列显示油高是进/出油vi后对应的罐内油位显示高度hi；205070.0570.052606.61 59999.69 2010-08-01 08:53:084)F列显示油量容积是进/出油vi后,罐内油位5020显示高度为hi时的罐容表显示储油量i。 50360.8160.81469.74 6086.74 51124511242486.21 57704.79 2010-08-08 11:43:402010-08-08 12:52:52一次性补充进油附件附件2 检测检测(jin c)数据数据第12页/共34页第十三页，共34页。来自来自(li z)于加油站设备研究与生产企业的一个实际于加油站设备研究与生产企业的一个实际课题课题. （2）根据实际检测数据）根据实际检测数据(shj)，正确识别罐体是如何变，正确识别罐体是如何变位的，具体变了多少？同时要给出罐容表的修正标定方位的，具体变了多少？同时要给出罐容表的修正标定方法和结果，属于法和结果，属于“反问题反问题”。题目题目(tm)背背景景问题分析问题分析问题由两部分组成：问题由两部分组成：（1）为了观察检验罐体变位对罐容表的影响，在已知变位参）为了观察检验罐体变位对罐容表的影响，在已知变位参数的情况下，检测出油位高度和油量的对应数值，建模分析罐数的情况下，检测出油位高度和油量的对应数值，建模分析罐容表的变化规律，并给出修正的罐容表，属于容表的变化规律，并给出修正的罐容表，属于“正问题正问题”。第13页/共34页第十四页，共34页。问题问题(wnt)（1）的通常做）的通常做法法 根据附件根据附件1 的实验数据画出罐体不变位的实验数据画出罐体不变位(bin wi)（=0）和罐体变位）和罐体变位(bin wi)（=4.10）时油位高度）时油位高度h和储油量和储油量V的曲线的曲线.实验数据表实验数据表明，在同样明，在同样的油位高度的油位高度h下，罐体下，罐体变位变位(bin wi)时储油时储油量量V减少减少.第14页/共34页第十五页，共34页。zx0z=HabS (H)12222bzaxz=H下的面积下的面积(min j) bHbbHabHbbaHabHS,sin2)(122油位高度油位高度(god)h时坐时坐标标y处处z=H LybhLybhH0,20,tan)(1LybhhyS0,20),(油位高度油位高度(god)h时坐标时坐标y处的截面面处的截面面积积 罐体变位罐体变位时油位高度时油位高度h和储油量和储油量(体积体积)V的数学模型的数学模型化重积分为定积分化重积分为定积分zyxhyH0L1L油位计油位计L2V(h,)z=H第15页/共34页第十六页，共34页。tan0:211LhhD,tan/,),()(1101hLydyhyShVytan2:1212LbhhhDLdyhyShV0),()(bhhD2:23tan/ )2(,),()(1222hbLydyhySabyhVLy),(, 0)0(10LdyhySV,),()2(11abLdyhySabLbVLLLybhhyS0,20),(高度高度(god)h与储油量与储油量V的的模型模型D3D2D1yh10L1L2h2y1y2油位计第16页/共34页第十七页，共34页。高度高度(god)h与储油量与储油量V的模型的模型 V(h,)h/cmV/Lh/cmV/Lh/cmV/Lh/cmV/L1070.1340965.66702232.501003450.7220281.86501371.88802661.421103776.6430595.25601798.52903072.431204012.74 =4.10的罐容表的罐容表(部分部分(b fen)按照按照(nzho)模型讨论变位对罐容表模型讨论变位对罐容表的影响的影响与实验数据表与实验数据表示的影响一致示的影响一致.变位后储油量平变位后储油量平均约小均约小200L.第17页/共34页第十八页，共34页。模型结果与实验模型结果与实验(shyn)数据的比较数据的比较 =4.10 =0模型结果与实验数据基本模型结果与实验数据基本(jbn)吻合，而在同样的油位吻合，而在同样的油位高度高度h下，储油量下，储油量V的实验数据均比模型结果小的实验数据均比模型结果小.可以有各种可以有各种( zhn)解释解释.是否要修正、怎样修正模型？是否要修正、怎样修正模型？第18页/共34页第十九页，共34页。问题（问题（2）的通常）的通常(tngchng)做法做法1. 罐体变位罐体变位(bin wi),时油位高度时油位高度h和储油量和储油量V的数的数学模型学模型hD1D2D3整体整体(zhngt)考虑考虑hVxy0z 写出左右球面、圆柱面及油位高度写出左右球面、圆柱面及油位高度h的油的油平面方程平面方程. 将罐体分为将罐体分为3个区域：个区域：D1,D2,D3 在在3个区域中分别写出体积的重积分，并个区域中分别写出体积的重积分，并化为（对化为（对z的）定积分的）定积分.油平面油平面第19页/共34页第二十页，共34页。rhLyrhH20,tan)(1222rzxrhrhh20),cos1 (cos将罐体分为将罐体分为(fn wi)圆柱体和球缺，圆柱体按照问题（圆柱体和球缺，圆柱体按照问题（1）考虑考虑z=H下的面积下的面积(min j) rHrrHrHrHrHS,sin2)(12222zx0rhhz=H截面截面(jimin)面积面积S (y,h,) 圆柱体体积圆柱体体积V1 (h,) 0 xzyD1D2D3h第20页/共34页第二十一页，共34页。将罐体分为圆柱体和球缺，球缺部分单独将罐体分为圆柱体和球缺，球缺部分单独(dnd)考虑考虑 精确精确(jngqu)计算球缺部分计算球缺部分体积体积V2 将倾斜角将倾斜角的油平面近似的油平面近似(jn s)为水平面（为水平面（=0）计）计算球缺部分体积算球缺部分体积V2.直接将罐体的球缺部分按照体积不变条件折合成直接将罐体的球缺部分按照体积不变条件折合成圆柱，一起计算圆柱，一起计算.用各种方法得到罐体体积用各种方法得到罐体体积V (h,) ,一般是积分表达式一般是积分表达式, 给给定定, 可以数值计算可以数值计算油位高度油位高度h时的储油量时的储油量V.第21页/共34页第二十二页，共34页。问题问题(wnt)（2）的通常做法）的通常做法2. 根据储油量的数学模型根据储油量的数学模型V (h,)和实测数据（附和实测数据（附件件2）辨识罐体变位）辨识罐体变位(bin wi)参数参数,流水号C进油量/LD出油量/LE显示油高/mm显示油量容积/L采集时间备注说明201060.0060.002632.23 60448.88 2010-08-01 08:00:49 开始采集（i =0=0）2020149.09149.092624.30 60311.43 2010-08-01 08:15:42 i =1=1hiViuiVi =Vi (hi, 0,0)不能用！不能用！应该应该(ynggi)用数据用数据ui , hi与模型与模型V (h,) 辨识参数辨识参数,确定确定,应应使使储油量的改变储油量的改变Vi 与与出油量出油量ui 相吻合！相吻合！),(),(),(1iiihVhVV第22页/共34页第二十三页，共34页。辨识辨识(bin sh)准则准则niiiuVQ12),(),(),(),(),(1iiihVhVViiiniiiiihhhhuhVQ112,),(),(确定确定(qudng),使使Q最小最小 搜索法：按照搜索法：按照(nzho), 的可能范围划分区间，逐步搜的可能范围划分区间，逐步搜索索. 直接利用直接利用MATLAB的非线性曲线拟合程序的非线性曲线拟合程序 lsqcurvefit辨识方法辨识方法辨识结果辨识结果ui , hi取进油前的取进油前的300组数据组数据)(3 . 4),1 . 0(1 . 2000第23页/共34页第二十四页，共34页。h/cm20406080100V/L1065.803702.657371.3811756.6116664.62h/cm120140160180200V/L21941.1827450.7733066.9938667.2744128.48h/cm220240260280300V/L49322.4454109.9358329.2761768.9064026.17 =2.110, =4.310的修正的修正(xizhng)罐罐容表容表(部分部分)罐体变位罐体变位(bin wi)后显示储油量与实后显示储油量与实际储油量的比较际储油量的比较第24页/共34页第二十五页，共34页。模型及结果模型及结果(ji gu)检验检验 取进油后的取进油后的300组数据组数据(shj)检验辨识结检验辨识结果果, , 的灵敏性检验的灵敏性检验(jinyn)020406的灵敏度的灵敏度00 . 201 . 202 . 2的灵敏度的灵敏度纵向倾斜角纵向倾斜角比比横向偏转角横向偏转角 对罐容量的影响显著得多！对罐容量的影响显著得多！ 第25页/共34页第二十六页，共34页。一种一种(y zhn)建立模型建立模型V (h,) 的新方法的新方法xy0zhhYZX0绕绕x轴转动轴转动(zhun dng)绕绕z轴转动轴转动(zhun dng)cossin0sincos0001,11TzyxTZYXcoscossinsinsinsincoscossincos0sincos,21TTTzyxTZYXT2T1= T1T2 ?1000cossin0sincos,22TzyxTZYX第26页/共34页第二十七页，共34页。第27页/共34页第二十八页，共34页。hYZX0VVcoscossinsinsinsincoscossincos0sincos,TzyxTZYXxy0zhLdh-r油浮子油浮子(f zi)坐标坐标 (0, h-r, L/2-d)过油浮子的油平面过油浮子的油平面(pngmin)方程方程sin)2/(coscos)(sincoscossincosdLrhzyxCY 坐标坐标(zubio)变换变换第28页/共34页第二十九页，共34页。xy0zhrsRV222222222sin)2/(coscos)(sincoscossincos:ryxyxRszyxRsdLrhzyxD油位高度油位高度h的储的储油油(ch yu)区区域为域为DDzyxDzyxhzyxI),( , 0),( , 1),(EdxdydzhzyxIhV),(),(RszRsryrrxrE,:油位高度油位高度(god)h时时的储油量的储油量V定义定义(dngy)示示性函数性函数第29页/共34页第三十页，共34页。利用利用MATLAB的三重的三重(sn zhn)积分程序计算储积分程序计算储油量油量triplequad(x,y,z)(-x*cos(a)*sin(b)+y*cos(a)* cos(b)+z*sin(a)=cos(a)*cos(b)*(h-r)+sin(a)* (L/2-d).*(x.2+ y.2 =-s-sqrt(R2-x.2-y.2).*(z=s+sqrt(R2-x.2-y.2),-r,r,-r, r,-(s+R),s+R) triplequad (function, x1,x2, y1,y2, z1,z2)被积函数被积函数(hnsh) function 在长方体中的在长方体中的三重积分三重积分:用于用于function 是示性函数是示性函数(hnsh) I(x,y,z)的情况的情况: 计算时间较长；计算精度受积分域大小的影响计算时间较长；计算精度受积分域大小的影响. 在上述坐标旋转下罐体纵向倾斜角在上述坐标旋转下罐体纵向倾斜角为负为负(正负无关正负无关).第30页/共34页第三十一页，共34页。 1）罐体变位后储油量的计算（重积分）：）罐体变位后储油量的计算（重积分）： 两端两端(lin dun)有油和一端有油区域的划分；有油和一端有油区域的划分； 积分限的确定；积分限的确定； 积分顺序的选择。积分顺序的选择。对学生对学生(xu sheng)论文论文缺陷的评述缺陷的评述2）用所谓）用所谓(suwi)“等效高度等效高度”：得出不变位时高度与体积：得出不变位时高度与体积的关系的关系V(h)；变位后根据；变位后根据(主主)截面面积不变得到等效高度截面面积不变得到等效高度与原高度的关系与原高度的关系h =f(h)；将它代入原式；将它代入原式V(h) 得到变位后得到变位后高度与体积的关系高度与体积的关系V (h) 。 第31页/共34页第三十二页，共34页。3）辨识）辨识(bin sh)变位参数所用的数据和准则不对：用附变位参数所用的数据和准则不对：用附件件2中的中的 “显示油量显示油量”与模型在与模型在“显示油高显示油高”下的计算油量下的计算油量作拟合。作拟合。 如果模型如果模型(mxng)正确，用这种错误方法得到的变位参正确，用这种错误方法得到的变位参数应该是数应该是=0, =0 。反映对该问题的理解根本反映对该问题的理解根本(gnbn)错误错误4）含混地叙述：）含混地叙述：“用数据和最小二乘得到用数据和最小二乘得到 = , = ”“显示油量显示油量”是罐体未变位时的计量值是罐体未变位时的计量值.第32页/共34页第三十三页，共34页。5）对问题（）对问题（1）用实验数据修正）用实验数据修正(xizhng)模型投入模型投入的精力过多（解释误差、用多项式拟合误差、用比的精力过多（解释误差、用多项式拟合误差、用比例系数修正例系数修正(xizhng)模型等）模型等）. 6）对问题（）对问题（1）的要求）的要求“罐体变位后对罐容表的影响罐体变位后对罐容表的影响(yngxing)”未作讨论未作讨论.7）对问题（）对问题（2）的参数）的参数(cnsh)辨识不做检验和灵敏性辨识不做检验和灵敏性分析分析 。 8）问题（）问题（1）,（2）未按要求给出罐容表）未按要求给出罐容表.9）从文献中引用工程算法、近似公式的问题）从文献中引用工程算法、近似公式的问题.10）用随机模拟）用随机模拟(Monte-Carlo)方法计算重积分的问题方法计算重积分的问题.第33页/共34页第三十四页，共34页。