D72可分离变量微分方程58753学习教案

会计学1D72可分离可分离(fnl)变量微分方程变量微分方程58753第一页，共14页。的通解(tngji).解解: 分离分离(fnl)变量得变量得两边积分得即( C 为任意常数 )或或说明说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )第1页/共14页第二页，共14页。解解: 分离分离(fnl)变量得变量得两边(lingbin)积分得即由初始条件得 C = 1,( C 为任意(rny)常数 )故所求特解为第2页/共14页第三页，共14页。解解: 令 则故有即解得( C 为任意(rny)常数 )所求通解(tngji):第3页/共14页第四页，共14页。解法解法(ji f) 1 分离变量分离变量即( C 0 )解法解法(ji f) 2故有积分( C 为任意常数 )所求通解:积分第4页/共14页第五页，共14页。子的含量(hnling) M 成正比,求在衰变过程中铀含量(hnling) M(t) 随时间 t 的变化规律. 解解: 根据根据(gnj)题意题意, 有有(初始条件)对方程分离变量, 即利用初始条件, 得故所求铀的变化规律为然后积分:已知 t = 0 时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原M0MtO第5页/共14页第六页，共14页。成正比,求解解: 根据牛顿根据牛顿(ni dn)第二定律列方程第二定律列方程初始条件为对方程分离(fnl)变量,然后(rnhu)积分 :得利用初始条件, 得代入上式后化简, 得特解并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. t 足够大时第6页/共14页第七页，共14页。m1开始(kish)时容器内盛满了水,从小孔流出过程中, 容器(rngq)里水面的高度 h 随时间 t 的变解解: 由水力学知, 水从孔口流出的流量为即求水小孔横截面积化规律.流量系数孔口截面面积重力加速度设在内水面高度由 h 降到 hhdh第7页/共14页第八页，共14页。对应(duyng)下降体积因此(ync)得微分方程定解问题:将方程(fngchng)分离变量:m1rhhdhhO第8页/共14页第九页，共14页。两端(lin dun)积分, 得利用(lyng)初始条件, 得则得容器内水面高度(god) h 与时间 t 的关系:可见水流完所需时间为m1rhhdhhO 因此第9页/共14页第十页，共14页。1. 微分方程(wi fn fn chn)的概念微分方程(wi fn fn chn);定解条件;2. 可分离变量方程的求解方法:说明说明: 通解不一定是方程的全部解 .有解后者是通解 , 但不包含前一个解 .例如, 方程分离变量后积分;根据定解条件定常数 .解; 阶;通解;特解 y = x 及 y = C 第10页/共14页第十一页，共14页。(1) 找出事物的共性及可贯穿(gunchun)于全过程的规律列方程.常用常用(chn yn)的方法的方法:1) 根据几何(j h)关系列方程 ( 如: P298 题5(2) ) 2) 根据物理规律列方程3) 根据微量分析平衡关系列方程(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解. 例4例5例6第11页/共14页第十二页，共14页。 求下列方程(fngchng)的通解 :提示提示(tsh):(1) 分离变量(2) 方程变形为第12页/共14页第十三页，共14页。P 304 1 (1) , (5) , (7) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 5 ; 6第三节 第13页/共14页第十四页，共14页。