2020年高考数学一轮复习学案：组合

组合一、知识梳理1.组合的概念：从n个不同元素中任取m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，组合的个数叫组合数，用C表示.2.组合数公式C=.3.组合数的两个性质：（1）C=C；（2）C=C+C.二、基础训练1.从4台甲型电脑和5台乙型电脑中任取3台，其中两种电脑都要取，则不同的取法种数是A.140 B.84 C.70 D.35特别提示先从甲型、乙型中各抽1台，有CC种，再从余下的中选1台，有C种，故有CCC=140（种）.解法不正确.2.（04北京，理17）从长度分别为1、2、3、4、5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n种.在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m，则等于A. B. C. D.3.已知1，2X1，2，3，4，5，满足这个关系式的集合X共有_个.A.2B.6C.4D.84.（05北京卷）北京财富全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为( ) （A） （B） （C） （D） 5.（05福建卷）从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）A300种B240种C144种D96种6.（2020年东北三校模拟题）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色.若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为_.7.某校准备参加2020年全国高中数学联赛，把10个名额分配给高三年级8个班，每班至少1人，不同的分配方案有_种.三、例题分析例1. 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选取会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法?例2. 设集合A=1，2，3，10，（1）设A的3个元素的子集的个数为n，求n的值；（2）设A的3个元素的子集中，3个元素的和分别为a1，a2，an，求a1+a2+a3+an的值.例3. 从1，2，30这30个自然数中，每次取不同的三个数，使这三个数的和是3的倍数的取法有多少种？思考讨论讨论下面的问题：用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成没有重复数字的能被25整除的四位数多少个？提示：能被25整除的数的后两位是25或50，后两位是50的数有A个，后两位是25的数有33=9个，所以能被25整除的四位数的个数为A+9=21.例4. 如图，从一个34的方格中的一个顶点A到对顶顶点B的最短路线有几条？深化拓展1.某城市由n条东西方向的街道和m条南北方向的街道组成一个矩形街道网，如下图所示.要从A处走到B处，使所走的路程最短，有多少种不同的走法？解：将相邻两个交点之间的街道称为一段，那么从A到B需要走（n+m2）段，而这些段中，必须有东西方向的（n1）段，其余的为南北方向的（m1）段，所以共有C=C种走法.2.从一楼到二楼楼梯一共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，规定用8步走完楼梯的方法种数是_.解：设一步一级x步，一步两级y步，则故走完楼梯的方法有C=28种.例5. 某篮球队共7名老队员，5名新队员，根据下列情况分别求出有多少种不同的出场阵容.（1）某老队员必须上场，某2新队员不能出场；（2）有6名打前锋位，4名打后卫位，甲、乙两名既能打前锋又能打后卫位.四、同步练习 组合1.从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有A.240种B.180种C.120种D.60种2.（04江苏）从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有A.140种B.120种C.35种D.34种3.（05江西卷）将9个人（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（ ）A70B140C280D8404六个人分乘两辆不同的车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法为A40B50C60D705.(05全国卷)从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法有 种。6.（04湖北）将标号为1，2，10的10个球放入标号为1，2，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有_种.（以数字作答）7.某年级有6个班，派3个数学老师任教，每位教师教两个班，不同的任课方法种数有_种.8.（05天津卷）设,则 9.某运输公司有7个车队，每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队，每个队至少抽1辆车，则不同的抽法有多少种？10.袋中有10个球，其中4个红球，6个白球，若取到1个红球记2分，取到1个白球记1分，那么从这10个球中取出4个，使总分不低于5分的取法有多少种?11.有11名外语翻译人员，其中5名英语翻译员，4名日语翻译员，另两名英、日语都精通，从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作，问这样的分配名单共可开出几张?12.从1到100这100个正整数中，每次取出2个数使它们的和大于100，共有多少种取法?参考答案基础训练 15. CBDAB 6. 420 7. 36例题分析：例1. CCC+CC=20.例2.（1）n=C=120.（2）a1+a2+an=C（1+2+3+10）=1980.评述：在求从n个数中取出m（mn）个数的所有组合中各组合中数字的和时，一般先求出含每个数字的组合的个数，含每个数字的个数一般都相等，故每个数字之和与个数之积便是所求结果.例3.共有CCC+3C=1360种. 评述：按元素的性质分类是处理带限制条件的组合问题的常用方法，对于某几个数的和能被某数整除一类的问题，通常是将整数分类，凡余数相同者归同一类.例4.从A到B的最短路线共有C=C=35条.例5.（1）C=126种.（2）共有120+340+176=636种.同步练习：14. ADAB 5.100 6.240 7. 90 8. 9.共有C+A+C=84种. 10. 195种.11.共可开出CC+CCC+CCC+CCC+CCC+ CCCC=185种.评述：首先注意分类方法，体会分类方法在解组合问题中的作用.本题也可以先安排翻译英文人员，后安排翻译日文人员进行分类求解，共有CC+CCC+CCC=185种.12.取法种数为C+=+=2500.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m