估算法解选择题

数学方法“估算法”在解答数学选择题中的应用来宾一中 覃卫平“估算法”在解答数学选择题中的应用来宾一中 覃卫平运算能力是高考数学的五个能力之一,高考中对运算能力的要求是:会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算.运算能力是思维能力和运算技能的结合.运算包括对数字的计算、估值的近似计算,对式子的组合变形与分解变形,对几何图形各几何量的计算求解等.运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力。高考中选择题的解题的方法灵活性很强，直接法是最常用的方法，用得最多，但如果过多地应象解答填空题或大题那样用直接法去求解将事倍功半，正确率降低不说，还要在考试中丢掉很多宝贵的时间，所以说做好选择题是数学考试取胜的前提，解选择题大多用数学的“头脑”而不是用数学的“知识”。1.从数理上的估算高考数学中除了对基本运算考查外，还注重对简算、估算和算理方面的考查。估算是运算中对逻辑思维能力要求较高的运算方式，也是较为巧妙的运算方式，它在题目的表面形式上很多时候是不易看出的，而且这些题目往往都可以用直接法计算出结果，所以很多同学看完题就不假思索地设计运算的程序,就用直接法求解,就是考后的试卷分析也未必能发现方法的所在, 真可谓:踏破铁鞋无觅处.但在设计运算程序的过程中,如果能预见到障碍可能较多的情况下,则不妨考虑一下估算法可能会给你带来一份惊喜.当选择题的答案的结构近乎运算的结果，从数的结构上去估算。如例1.(2005全国高考卷12)将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为(A) (B) (C) (D)解法1：设半径均为1且两两相切4个小球内切于大正四面体中, 则小正四面体的棱长为2, 小正四面体的高为,其中心到底面的距离为,又小正四面体底面中心O到大正四面体底面距离是小钢球的半径1,所以两正四面体公共中心O到底面的距离为,所以正四面体的高为.故选(C).如此做来固然得到正确的答案,而且作为当年高考的一个压轴题来看，这种解法也是无可厚非，但光分析理解题意到确定运算方案就花了不少的时间,加上运算过程的繁琐,一道5分的题就花10分钟左右的时间,未免有些得不偿失.下面看方法2:估算法: 因为棱长为2的小正四面体中心到面的距离是个无理数, 所以两正四面体公共中心O到底面的距离d是1与一个无理数的和的形式, 所以正四面体的高必定是4与一个无理数的和的形式. 故选(C).估算法中只需知道d中1以外的另一个加数是由勾股定理求出的一个带根号的无理数,这样就减少了解法1中为求出的诸多运算,节省很多有效的时间.2.从数值的范围上估算有些选择题的答案落在比较容易算出的某个范围内时，可以通过这个范围去确定答案。例2.如图,设椭圆和x轴的正方向的交点为A,和y轴的正方向交点为B,P为第一象限内椭圆上的点,那么四边形OPAB的面积的最大值为(A) (B) (C) (D)解法1(构造法):设,则解法2:(估算法)以OA,OB为邻边的矩形面积为,的面积为,所以四边形OPAB的面积的最大值在区间(,)上.而四个答案中只有B合适.解法1中经过面积分割然后再经平方、均值两次构造求到的最大值,从而求出正确正确答案,似乎也是很巧妙,但从时间和运算量上与估算法相比却是相差甚远,而解法2无需对不规则四边形OAPB的面积进行任何运算,只要掌握直角三角形和矩形面积的求法就可以了,估算法对知识点的要求显得非常低.3.数形结合法估算数形结合法本身是数学的一个大法，能作出函数和图形、方程的曲线时，可以通过其表达式不可能或只可能是怎样的图形，或者作出图形后，观察其特征量不可能或只可能是哪个范围内的数时选出答案。例3.(2006全国高考卷,11)过点作抛物线切线,则其中一条切线为(A) (B) (C) (D)解法1(直接法):令切线为,代入抛物线方程并整理得由解得k的值为1或3. 故选(D)解法2:利用数形结合法及估算法知直线的斜率为1或3，故选(D)当然利用这种方法做题时对作草图的要求是比较高的，不是随便画个图就可以了事的。例4.点P从点O出发,按逆时针方向沿周长为1的图形运动一周,O、P两点连线的距离y与点P走过的路程x函数关系如图(1)表示，那么点过的P所走图形是图(2)中的图(2)图(1)解法1(直接法):显然A、B不符合题意，由已知图形周长为1，可得圆的半径为当弧长为x时，圆心角为，故弦长为，故选(C).这里从周长半径弧长周心角弦长需要并非十分常用的四个公式,运算过程中产生失误就在所难免了.解法2(估算法):显然A、B不符合题意，若P点在圆上移动,则当时，y取得最大值等于直径长，当若P点在椭圆上移动,则当时，y就取到了最大值(即y的最大值点在区间上).故选(C).这个问题中,是对函数图像极大值点的一个估算,很快选到正确的答案.5.根据函数性质估算根据函数性质判断所求的结果只可能是某个答案时，也可以对答案进行估算。如例5.（2006 山东）已知定义在R上的奇函数满足，则的值为（ ）(A) (B)0 (C)1 (D)2我们知道在0处有定义的奇函数0，此题的已知条件没有其它数值，无论如何也不能从0算出个、1、2来，所以选D.例7.（2005 天津）设定义在R上的奇函数，且的图象关于直线关于直线对称，则 直接填0.(此题是填空题，好象偏题了?!)和解选择题的其它方法一样,根据选择题不要求写出具体的解题过程,或直接运算的又很繁杂的时候为在时间上占有绝对的优势而采用的间接法, 能用估算法解答的题目往往有这样的特点:几个答案支上的数值、区间、特征量分别分布在比较明显的几个范围内,根据题目给出的条件估算相对靠近或只可能是的结果来,从而达到选择答案的目的.除此之外,估算法对知识面及解题能力的要求相对窄、低得多，很多时候无需象直接法那样完全掌握解决有关问题所必须的知识点，而需要的是数学中特有的一种应变能力、逻辑推理能力以及足够的“胆量”。譬如实际问题中，某公司或工厂从贷款进行技术改造到获得利润，一般需要的时间是5年左右，因为第一责任人的任期常常是5年；某工厂超标排污一两年对环境造成污染，要能完全根治至少要花上10年甚至更长的时间，否则就不会引起人们的重视，也就不编成一道数学题了，也就是说还可以从数学命题的逻辑上进行估算。估算法是一种特殊的解题方法,它并非是孤立的,很多时候还应该和特殊值法、排除法、数形结合法等方法相结合，甚至作为大题的辅助方法，从而达到更好的效果。5