153定积分的概念1学习教案

会计学1153定积分定积分(jfn)的概念的概念1第一页，共23页。1、分割；、分割；2、近似代替、近似代替(dit)；3、求和；、求和；4、取极限、取极限 用黄色用黄色(hungs)(hungs)部分的面积来代替曲边梯形的面积，部分的面积来代替曲边梯形的面积，当曲边梯形分割的越细，蓝色部分面积就越小，就越接近当曲边梯形分割的越细，蓝色部分面积就越小，就越接近曲边梯形的面积曲边梯形的面积. .复习：如何复习：如何(rh)求曲边梯形的面积？求曲边梯形的面积？以直代曲以直代曲第1页/共23页第二页，共23页。从小从小(cngxio)于曲边梯形的面积于曲边梯形的面积来无限逼近来无限逼近从大于曲边梯形的面积从大于曲边梯形的面积(min j)来无限逼近来无限逼近在区间(q jin) 上的左端点和右端点的函数值来计算有何区别1, iinn第2页/共23页第三页，共23页。 复习第3页/共23页第四页，共23页。第4页/共23页第五页，共23页。 从求曲边梯形面积以及变速直线运动路程的过程可知，它们都可以通过“四步曲”：分割、近似代替、求和、取极限得到解决，且都可以归结为求一个(y )特定形式和的极限.曲边梯形(txng)面积变速(bin s)直线运动路程niinniixfnxfS110)(1lim)(limniinniitvntvS110)(1lim)(lim 复习第5页/共23页第六页，共23页。一、定积分(jfn)的概念bxxxxxabaxfnii110上连续，用分点，）在区间（一般地，如果函数，）（）（），作和式，（上任取一点，间个小区间，在每个小区等分成，将区间niniiiiiifnabxfnixxnba11121.上的定积分，）在区间（叫做函数某个常数，这个常数时，上述和式无限接近当baxfn.lim1niinbabafnabdxxfdxxf）（）（，即）（记作 概念第6页/共23页第七页，共23页。.( ).ababf xxf x dx积分下限积分上限： 积分区间 函数：被积函数：，叫做积分变量（叫做被积式）定积分(jfn)的概念的说明badxxf）（ 说明1120013Sf xdxx dx曲边梯形的面积（ ）112005(2)3Sdttdt汽车行驶的路程v（t）第7页/共23页第八页，共23页。正确理解定积分(jfn)的概念(),dt();( )( )( )bbbaaaf x dxf u duf t (1)定积分是一个数值 极限值 它的值仅仅取决于被积函数与积分的上下限 而与积分变量用什么字母表示无关 即称为积分形式的不变性 132200a,b,( ) ( )(1)(1),.baf x d xxdxxdx (2)定积分与积分区间息息相关 不同的积分区间所得的积分值也就不同 例如与的值就不同1lim.nbianibaf xdxfn（ ）（ ）第8页/共23页第九页，共23页。oabxysy=f(x)f(a)f(b).00面积形（图中阴影部分）的）所围成的曲边梯（曲线和），（，表示由直线）（积分，那么定）（连续且恒有）（上函数，如果在区间xfyybabxaxdxxfxfxfbaba二、定积分(jfn)的几何意义第9页/共23页第十页，共23页。oabxyy=f(x)y=f(x)探究(tnji)根据(gnj)定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积吗？12( )( )bbaaSf x dxfx dx 探究课本课本(kbn)P46第10页/共23页第十一页，共23页。130.x dx利用定积分的定义，计算的值例1: 3f xx解：令 在区间在区间0,1上等间割地插入上等间割地插入n-1个分点，把区间个分点，把区间0,1等分成等分成n个小区间个小区间 每个小区每个小区间的长度为间的长度为n（）i -1 i, i = 1,2,nnii -11x =-=nnn (1)分割(fng) 例题第11页/共23页第十二页，共23页。（2）近似）近似(jn s)代替，作和代替，作和1n3nnn133n40i=1i=1i=12224ii1x dxS =fx =innn1111 =nn+1=1+n44n213n0nn111x dx = lim S = lim1+=4n4（3）取极限）取极限(jxin)ii =(i = 1,2,n)n取，第12页/共23页第十三页，共23页。三、定积分(jfn)的性质cabcbababababababcadxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfxfkdxxfkdxxkf).()()()() 3 ()()()()() 2 ()()() 1 (2121其中；为常数）；（ 性质思考思考(sko)：你能从定积分的几何意义解释性质（：你能从定积分的几何意义解释性质（3）吗？）吗？第13页/共23页第十四页，共23页。题型二 利用定积分(jfn)表示曲边梯形的面积 2(12: 2)0,2;yx2,xy .yyx x例利用定积分表示下列曲线围成的平面区域的面积解:(1)曲线所围成的平面区域(qy)如下图所示,设此面积为S,则 20.Sxdx第14页/共23页第十五页，共23页。(2)曲线所围成的平面区域(qy)如下图所示. 22: 2 yx2,xy .例利用定积分表示下列曲线围成的平面区域的面积题型二 利用定积分表示(biosh)曲边梯形的面积110044211141201211SAA ,Ay;Ayy,1,()2,(2)x2,(2).2(2)x1x4.Ax yx xxxx dxxdxAxxdxxxdxSxdxxxdx 记由围成由和围成补充：定积分 的几何意义是:介于直线x=a,x=b,x轴及y=f(x)所围成图形面积的代数和,其中(qzhng)x轴上方部分为正,x轴下方部分为负.( )baf x dx第15页/共23页第十六页，共23页。变式训练(xnlin)2:用定积分表示下列阴影部分的面积. (1)S=_.4sinxdx第16页/共23页第十七页，共23页。 (2)S=_.2242xdx第17页/共23页第十八页，共23页。 (3)S=_.94()x dx第18页/共23页第十九页，共23页。题型三 利用定积分(jfn)的几何意义求定积分(jfn)例3:利用(lyng)定积分的几何意义,求下列各式的值.222(1)4;x dx分析:定积分 的几何意义是:介于(ji y)直线x=a,x=b,x轴及y=f(x)所围成图形面积的代数和,其中x轴上方部分为正,x轴下方部分为负.( )baf x dx 222: 1y,xy4 y,40.x解由知其图象如下图被积函数的曲线是圆心在原点,半径为2的半圆,由定积分的几何意义知,此定积分为半圆的面积,所以 2222242.2x dx第19页/共23页第二十页，共23页。 2ysinx,2 2x,函数在是奇函数 由定积分的几何意义知例3:利用(lyng)定积分的几何意义,求下列各式的值.22(2);sinxdx题型三 利用定积分的几何(j h)意义求定积分220sinxdx第20页/共23页第二十一页，共23页。120131(1)1;(2)(3:.).x dxsinxx dx变式训练利用定积分的几何意义求下列定积分 22221201313: 1yxy1(y0),10 x1 .1. 2ysinxx1,11411144()01.xx dxsinxx dx解由知其图象是以原点为圆心半径为 的圆的部分 函数在上为奇函数第21页/共23页第二十二页，共23页。 ,f x(2)a,b,x,x,x,x,f xxa,xb(ab);f x,a,bf x( )?| ( )|( )|( )| ( )|abbbaababaf x dxf xdxf x dxf x dxf xdx与在几何意义上有不同的含义绝不能等同看待由于被积函数在闭区间上可正可负也就是它的图象可以在 轴上方 也可以在 轴下方 还可以在轴的上下两侧 所以表示由 轴 函数的曲线及直线之间各部分面积的代数和 而是非负的所以表示在区间上所有以|( )|(;.),bbaaf x dxf x dx为曲边的正曲边梯形的面积 而则是的绝对值三者的值在一般情况下是不相同的正确理解定积分的概念几何(j h)意义第22页/共23页第二十三页，共23页。