2020届高中数学二轮总复习 综合训练（五） 理 新课标(湖南专用)

2020届高中数学二轮总复习 综合训练（五） 理 新课标(湖南专用)时量：50分钟满分：50分解答题：本大题共4小题，第1,2,3小题各12分，第4小题14分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤1.已知向量a(sin2x，cos2x)，b(cos2x，cos2x)(1)若x(，)，ab，求cos4x的值；(2)设ABC的三边a，b，c满足b2ac，且边b所对应的角为x，若关于x的方程abm有且仅有一个实数根，求实数m的值解析：由已知absin2xcos2xcos22xsin4x(1cos4x)sin(4x).(1)由ab，得sin(4x).又x，所以4x，所以cos(4x)，所以cos4xcos(4x)cos(4x)cossin(4x)sin.(2)由b2ac及余弦定理可得cosx.又x(0，)，则0x，所以6.635.故有99%的把握认为数学成绩与物理成绩有关系(3)由题设，可设成绩一般，成绩中档，成绩优秀的平均分分别为1，2，3，且166，277.5，394.75，而平均成绩的分布列为6677.594.75PE6677.594.7582.1.由此估计该班数学平均成绩为82.1分3.如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，BACACD90，EAC60，ABACAE.(1)在直线BC上是否存在一点P，使得DP平面EAB？请证明你的结论；(2)求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角的余弦值解析：(1)线段BC的中点就是满足条件的P.证明如下：取AB的中点F，连接DP，PF，EF，则FPAC，FPAC.取AC的中点M，连接EM，EC.因为AEAC且EAC60，所以EAC是正三角形，所以EMAC，所以四边形EMCD为矩形，所以EDMCAC.又因为EDAC，EDFP且EDFP，所以四边形EFPD是平行四边形所以DPEF，而EF平面EAB，DP平面EAB，所以DP平面EAB.(2)方法1：过B作AC的平行线l，过C作l的垂线交l于G，连接DG.因为EDAC，所以EDl，l是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱因为平面EAC平面ABC，DCAC，所以DC平面ABC，又因为l平面ABC，所以DCl，所以l平面DGC，所以lDG，所以DGC是所求二面角DBGC的平面角设ABACAE2a，则CDa，GC2a，所以GDa，所以coscosDGC.方法2：因为BAC90，平面EACD平面ABC，所以以点A为原点，直线AB为x轴，直线AC为y轴，建立空间直角坐标系Axyz，则z轴在平面EACD内(如图)设ABACAE2a，由已知，得B(2a,0,0)，E(0，a，a)，D(0,2a，a)所以(2a，a，a)，(0，a,0)，设平面EBD的法向量为n(x，y，z)，则n且n，所以，所以，取z2，得平面EBD的一个法向量为n(，0,2)又因为平面ABC的一个法向量为n(0,0,1)cos|cosn，n|.4.某市近郊有一块大约500 m500 m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其总面积为3000 m2，其中场地四周(阴影部分)为通道，通道宽度均为2 m，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地的占地面积为S m2.(1)分别写出用x表示y和S的函数关系式(写出函数定义域)；(2)怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？解析：(1)由已知xy3000,2a6y，则y(6x500)S(x4)a(x6)a(2x10)a(2x10)(x5)(y6)30306x(6x500)(2)S30306x30302303023002430.当且仅当6x，即x50时，“”成立，此时y60，Smax2430，即设计x50 m，y60 m时，运动场地面积最大，最大值为2430 m2.