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新问题新情景，如何面对高考中新定义问题？在近几年全国、各省的高考数学命题中,“新定义”问题越来越受到关注和重视.所谓“新定义”问题,是相对于高中教材而言,指在高中教材中不曾出现过的概念、定义.它的一般形式是:由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则,或者给出一个抽象函数的性质等,然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题.“新定义”问题总的来说题型较为新颖,所包含的信息丰富,能较好地考查学生分析问题、解决问题的能力.掌握好下列几种解题的思路与方法,为我们在宏观上把握这类题型提供了思维方向.一以集合为背景的新问题已知集合, .若存在实数使得成立,称点为“”点，则“”点在平面区域内的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个【答案】A代入（1）可得方程无整数解，故满足条件的点不存在，选A.例2 2020福建卷 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为k，即k5nk|nZ，k0,1,2,3,4.给出如下四个结论：20201；33；Z01234；“整a，b属于同一类”的充要条件是“ab0”其中，正确结论的个数是()A1 B2 C3 D4【答案】C二以函数为背景考查新定义 例32020天津卷 对实数a和b，定义运算“”；ab设函数f(x)(x22)(x1)，xR.若函数yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，则实c的取值范围是()A(1,1(2，) B(2，1(1,2C(，2)(1,2 D2，1则f(x)的图象如图，函数yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，函数yf(x)与yc的图象有两个交点，由图象可得2c1，或10(k1,2，1999)，即E数列An是递增数列综上，结论得证(3)对首项为4的E数列An，由于a2a113，a3a212，a8a713，所以a1a2ak0(k2,3，8)所以对任意的首项为4的E列An，若S(An)0，则必有n9.又a14的E数列A9：4,3,2,1,0，1，2，3，4满足S(A9)0，所以n的最小值是9.【最新模拟试题训练】【答案】A【解析】 T全部是偶数，V全部是奇数，那么T，V对乘法是封闭的，但如果T是全部偶数和1,3，那么此时T，V都符合题目要求，但是在V里面，任意取的是1和3，那么相乘等于3，而V里面没有3，所以V对乘法不封闭排除B、C、D选项，所以“至少一个”是对的2.【2020年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二)】对向量，定义一种运算“” ，已知动点P、Q分别在曲线和上运动，且(其中为坐标原点)，若，则的最大值为 A B2 C3 D【答案】C【解析】设又显然当时，取得最大值为3.3.【北京市石景山区2020学年高三第一学期期末考试】对于使成立的所有常数中，我们把的最小值1叫做的上确界,若，且，则的上确界为（ ）ABCD-4【答案】B4.【山东省日照市2020届高三12月月】若数列，则称数列为“调和数列”.已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是A.10B.100C.200D.400【答案】B【解析】由已知得为等差数列，且所以6.【宁夏银川2020年高三教学质量检测】若直线坐标系平面内的两点P,Q满足条件：（1）P,Q都在函数的图像上；（2）P、O关于原点对称。则称点P,Q是函数的一对“友好点对”。（注：点P,Q与Q，P看作同一对“友好点对”）。已知函数则此函数的“友好点对”有A.0对 B.1对 C.2对 D. 3对【答案】C 7.【河南豫西五校2020届高三下学期联合考试】设S是实数解R的非空子集，如果则称S是一个“和谐集”。下面命题为假命题的是A.存在有限集S，S是一个“和谐集”B对任意无理数a，集合都是“和谐集”C若且均为“和谐集”，则D对任意两个“和谐集”，若【答案】D8. 【北京市西城区2020 2020学年度第一学期期末试卷】已知点若曲线上存在两点，使为正三角形，则称为型曲线给定下列三条曲线：yy=-x+3OA ； ； 其中，型曲线的个数是（ ）x（A）（B）（C）（D）【答案】CxyAO【解析】对于，的图像是一条线段，记为如图（1）所示，从图中可以看出：在线段上一定存在两点B,C使ABC为正三角形，故满足型曲线；对于，的图象是圆在第二象限的部分，如图（2）所示，显然，无论点B、C在何处，ABC都不可能为正三角形，所以不是型曲线。yOAx对于，表示双曲线在第四象限的一支，如图（3）所示，显然，存在点B,C，使ABC为正三角形，所以满足；综上，型曲线的个数为2，故选C.10.(浙江省宁波市鄞州区2020年3月高考适应性考试)对于正项数列，定义,若则数列的通项公式为 . 【答案】【解析】本题主要考查数列通项公式的求法的问题。的“光阴”值，现知某数列 “光阴”值为，则数列的通项公式为 . 【答案】【解析】由可得，得，所以。12.【湖北省武汉市2020年普通高等学校招生适应性】定义在上的函数，如果存在函数（为常数），使得对一切实数都成立，则称为函数的一个承托函数.现有如下函数： 对于，注意到，因此存在函数，使得对一切实数都成立，存在承托函数.综上所述，存在承托函数的的序号为.13.【2020延吉市质检理15】曲线：与轴交点关于原点的对称点称为“望点”，以“望点”为圆心，凡是与曲线C有公共点圆，皆称之为“望圆”，则当a=1，b=1时，所有的“望圆”中，面积最小 “望圆”的面积为 【答案】【解析】因为曲线：与轴交点关于原点的对称点称为“望点”，以“望点”为圆心，凡是与曲线C有公共点圆，皆称之为“望圆”，所以当时望圆的方程可设为，面积最小 “望圆”的半径为（0,1）到上任意点之间最小距离，所以半径，最小面积为14、【山东省微山一中2020届高三10月月考数学（文）】已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意实数a、b满足，有以下结论：为偶函数；数列an为等比数列；数列bn为等差数列。其中正确结论的序号是 。【答案】 解析:因为取得取得取得取得由得代入（1）得。该题通过函数方程考查函数性质与递推数列求数列通项公式，既考查函数方程问题一般的研究方法：赋值，又考查转化化归，对能力要求较高，是难题。12.【2020海淀区高三年级第二学期期中练习】（）写出和的值，并用列举法写出集合；（）用Card(M)表示有限集合M所含元素的个数，求的最小值；（）有多少个集合对（P，Q），满足，且？解：（），. 3分（）根据题意可知：对于集合，若且，则所以 要使的值最小，2，4，8一定属于集合；1，6，10，16是否属于不影响的值；集合不能含有之外的元素.所以 当为集合1,6,10,16的子集与集合2,4,8的并集时，取到最小值4. 8分所以 .所以 . 由 知：.所以 .所以 .所以 ，即.因为 ，所以 满足题意的集合对（P，Q）的个数为.14分13.【北京市西城区2020届高三4月第一次模拟考试试题】对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且，这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束数列能结束，各数列依次为； 3分（）解：经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是4分若，则经过一次“变换”就得到数列，从而结束5分当数列经过有限次“变换”后能够结束时，先证命题“若数列为常数列，（）证明：先证明引理：“数列的最大项一定不大于数列的最大项，其中”证明：记数列中最大项为，则令，其中因为， 所以，故，证毕 9分现将数列分为两类若()，则，此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列；若，则；，此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列 当数列中有三项为时，只能是，则，此数列各项均不为，为第一类数列总之，第二类数列至多经过次“变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历次“变换”，数列的最大项又开始减少又因为各数列的最大项是非负整数，故经过有限次“变换”后，数列的最大项一定会为，此时数列的各项均为，从而结束 13分14.【北京市东城区2020学年度高三数第一学期期末检测】（）对任意，且，求证：对于定义域中任意的，当，且时，.【命题分析】本题是一道以集合为背景的创新题，考查函数的性质和不等式的证明。考查学生的理解能力和分析能力。读懂题意是解题的前提，解题是注意分类讨论思想的应用。（）假设方程存在两个实数根，则，.不妨设，根据题意存在，满足. 因为，且，所以.与已知矛盾.又有实数根，所以方程有且只有一个实数根. 10分（）当时，结论显然成立；综上，对于任意符合条件的,总有成立.14分15.【北京市西城区2020 2020学年度第一学期期末试卷】已知数列.如果数列满足，其中，则称为的“衍生数列”.（）若数列的“衍生数列”是，求；（）若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：的“衍生数列”是；（）若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，.依次将数列，的第项取出，构成数列.证明：是等差数列.【命题分析】本题考查新概念的数列问题，考查学生的自学能力.试题特点是设问很有层次性，基本上前两个问题学生只要耐心认真做答都能够解答出来，考察学生代数推理能力，培养学生逻辑思维.（）解：. 3分（）证法一：证明：由已知，.因此，猜想. 4分故当时猜想也成立.由 、 可知，对于任意正整数，有. 7分设数列的“衍生数列”为，则由以上结论可知因此，数列即是数列. 9分证法二：因为 ， 由于为偶数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得 即，. 7分由于，根据“衍生数列”的定义知，数列是的“衍生数列”. 9分（）证法一：证明：设数列,中后者是前者的“衍生数列”.欲证成等差数列，只需证明成等差数列，即只要证明即可. 10分由（）中结论可知 ，所以，即成等差数列，所以是等差数列. 13分证法二：因为 ，所以 .所以欲证成等差数列，只需证明成等差数列即可. 10分对于数列及其“衍生数列”，因为 ， 因为 ，所以 ， 即成等差数列. 同理可证，也成等差数列.即 是等差数列.所以 成等差数列. 13分
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