数学弧长和扇形面积学习教案

数学数学(shxu)弧长和扇形面积弧长和扇形面积第一页，共34页。如果设这扇子的骨柄如果设这扇子的骨柄AO=R，弧，弧AB所对的圆心角为所对的圆心角为140度，请同学们想一想如何计算度，请同学们想一想如何计算(j sun)这扇子的周长这扇子的周长?已知已知 O半径半径(bnjng)为为R，求，求140的圆心角所的圆心角所对的弧长对的弧长ABO（1）半径为）半径为R的圆，周长的圆，周长(zhu chn)是多少？是多少？C=2 R （2）140的圆心角所对的弧长是多少？的圆心角所对的弧长是多少？ 1802360RnRn（3）n的圆心角所对的弧长是多少？的圆心角所对的弧长是多少？972360140RR圆的周长可以看作是度的圆心角所对的弧圆的周长可以看作是度的圆心角所对的弧.360140可以看成是可以看成是360的的360140第1页/共34页第二页，共34页。若设若设 O半径半径(bnjng)为为R， n的圆心角所对的的圆心角所对的弧长为弧长为l，则，则 180Rnl注意注意(zh y)(zh y)：（：（1 1）在）在l l，n n，R R这三个量中，任意这三个量中，任意知道两个量，就可以根据公式求出第三个量。知道两个量，就可以根据公式求出第三个量。n n表表示示1 1圆心角的倍数。（圆心角的倍数。（180180与与n n 都不带单位度）都不带单位度） （2）区分弧、弧的度数、弧长三概念度数相等的弧，区分弧、弧的度数、弧长三概念度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等孤，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等孤，而只有在同圆或等圆中，才可能是等弧而只有在同圆或等圆中，才可能是等弧第2页/共34页第三页，共34页。例例1 1、制造弯形管道、制造弯形管道(gundo)(gundo)时，要先按中心时，要先按中心线计算线计算“展直长度展直长度”，再下料，试计算图所示，再下料，试计算图所示管道管道(gundo)(gundo)的展直长度的展直长度L(L(单位：单位：mmmm，精确，精确到到1mm)1mm)解：由弧长公式解：由弧长公式(gngsh)，可得弧，可得弧AB 的长的长l l （mm） 1570500180900100因此因此(ync)(ync)所要求的展直长所要求的展直长度度 L （mm） 297015707002答：管道的展直长度为答：管道的展直长度为2970mm 第3页/共34页第四页，共34页。在田径二百米跑比赛中，有一段弯道是圆弧形的，在田径二百米跑比赛中，有一段弯道是圆弧形的，它的半径它的半径(bnjng)为为20米，所对的圆心角是米，所对的圆心角是90，你能求出这段弯路的展直长度吗你能求出这段弯路的展直长度吗? （取取3.14）20米米米4 .311802090180Rnl第4页/共34页第五页，共34页。 已知圆弧的半径已知圆弧的半径(bnjng)为为24，它所对的圆心角为，它所对的圆心角为60，它的弧长为，它的弧长为. 一弧长为一弧长为12cm，此弧所对的圆心角为，此弧所对的圆心角为240，则，则此弧所在圆的半径此弧所在圆的半径(bnjng)为为cm.89第5页/共34页第六页，共34页。如图，由组成圆心角的如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形围成的图形(txng)叫扇形叫扇形OAB第6页/共34页第七页，共34页。第7页/共34页第八页，共34页。 如果设这扇子如果设这扇子(shn zi)的骨柄的骨柄OA=R，弧，弧AB所所对的圆心角为对的圆心角为140度，请同学们想一想如何计算度，请同学们想一想如何计算这个大扇形的面积。这个大扇形的面积。OAB第8页/共34页第九页，共34页。扇形面积的大小到底扇形面积的大小到底(do d)和哪些因素有关呢？和哪些因素有关呢？1. 1. 圆心角是圆心角是36003600的扇形的扇形(shn xn)(shn xn)面积是多少？面积是多少？2. 2. 圆心角是圆心角是18001800的扇形的扇形(shn xn)(shn xn)面积是多少？面积是多少？3. 3. 圆心角是圆心角是90900 0的扇形面积是多少？的扇形面积是多少？4. 4. 圆心角是圆心角是2702700 0的扇形面积是多少？的扇形面积是多少？ (当圆半径一定时当圆半径一定时)扇形的面积随着圆心角的增扇形的面积随着圆心角的增大而增大。大而增大。第9页/共34页第十页，共34页。1 1个圆面积个圆面积21个圆面积个圆面积41个圆面积个圆面积43个圆面积个圆面积第10页/共34页第十一页，共34页。圆心角是圆心角是1010的扇形的扇形(shn xn)(shn xn)面积是多少？面积是多少？圆心角为圆心角为n0n0的扇形的扇形(shn xn)(shn xn)面积是面积是多少多少? ?圆心角是圆心角是10的扇形面积是圆面积的的扇形面积是圆面积的 3603601 1圆心角是圆心角是n0的扇形面积是圆面积的的扇形面积是圆面积的 360n如果用字母如果用字母(zm) S (zm) S 表示扇形的面积，表示扇形的面积，n n表示圆心角的度数，表示圆心角的度数，r r 表示圆半径，那么表示圆半径，那么扇形面积的计算公式是：扇形面积的计算公式是：S扇形扇形 S圆圆360n360n r2第11页/共34页第十二页，共34页。若设若设 O半径为半径为R，则圆心角为，则圆心角为n的扇形的扇形(shn xn)的面积为的面积为 ：3602RnS扇形第12页/共34页第十三页，共34页。例例2求图中红色部分的面积求图中红色部分的面积.（单位：（单位：cm, 取取3.14，得数，得数(dsh)保留整数）保留整数）S= r2360n= 3.14152360288解二解二 （间接（间接(jin ji)求法）求法） S扇形扇形S大圆大圆S小扇形小扇形r=15cm ,n=360o72o=288o565（cm2）解一解一(直接用扇形直接用扇形(shn xn)面积公式计算面积公式计算)第13页/共34页第十四页，共34页。3.如果一个扇形如果一个扇形(shn xn)面积是它所在圆的面积是它所在圆的面积的面积的 ，则此扇形，则此扇形(shn xn)的圆心角的圆心角（ ） (A)300 (B)360 (C)450 (D)600 181. 扇形面积大小扇形面积大小(dxio)（ ）2. (A)只与半径长短有关只与半径长短有关3. (B)只与圆心角大小只与圆心角大小(dxio)有关有关4. (C)与圆心角的大小与圆心角的大小(dxio)、半径、半径的长短有关的长短有关2.如果半径为如果半径为r，圆心角为，圆心角为n0的扇形的面积是的扇形的面积是S，那么那么(n me)n等于（等于（ ）3.(A) (B) (C) (D)360Sr360Sr2180Sr180Sr2CCB第14页/共34页第十五页，共34页。将一个金属丝围成的边长为将一个金属丝围成的边长为a的正方形的正方形ABCD中的边中的边AB、BC弯成以弯成以DA、DC为半径为半径(bnjng)的扇形的弧。的扇形的弧。a aa aa aa a2a2aa aa a你能求出这个你能求出这个(zh ge)扇形的面积吗？扇形的面积吗？ABCDABCD第15页/共34页第十六页，共34页。扇形的面积公式扇形的面积公式(gngsh)(gngsh)与弧长公式与弧长公式(gngsh)(gngsh)有联系吗？有联系吗？ 如果如果(rgu)扇形的半径为扇形的半径为R，圆心角为，圆心角为n ，那么，那么扇形面积的计算公式为：扇形面积的计算公式为：3602RnS扇形RRn18021lR21扇形扇形(shn xn)面积与扇形面积与扇形(shn xn)弧长的关系为：（用弧长的式子表示面弧长的关系为：（用弧长的式子表示面积）积）lRS21 扇形扇形第16页/共34页第十七页，共34页。现在，你能求出这个扇形现在，你能求出这个扇形(shn xn)的面的面积吗？积吗？a aa aa aa a2a2aa aa a2221aaaS扇形2aS正方形第17页/共34页第十八页，共34页。例例3、如图，水平放置、如图，水平放置(fngzh)的圆柱形排水管道的截的圆柱形排水管道的截面半径是面半径是0.6m，其中水面高，其中水面高0.3m.求截面上有水部分的求截面上有水部分的面积（精确到面积（精确到0.01m2）第18页/共34页第十九页，共34页。变式：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截变式：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面面(jimin)半径是半径是0.6cm，其中水面高，其中水面高0.9cm，求截面求截面(jimin)上有水部分的面积。（精确到上有水部分的面积。（精确到0.01cm）0ABDCE弓形弓形(n xn)的面积的面积 = S扇扇+ S第19页/共34页第二十页，共34页。(3) 已知扇形已知扇形(shn xn)的圆心角为的圆心角为120，半径为，半径为2，则这个则这个扇形扇形(shn xn)的面积的面积S扇形扇形(shn xn)=_. 34 已知扇形面积为已知扇形面积为 ，圆心角为，圆心角为50，则这个，则这个(zh ge)扇扇形的半径形的半径R=_ 6 5第20页/共34页第二十一页，共34页。 一个弧长与面积都是一个弧长与面积都是 的扇形，它的半径的扇形，它的半径为为.34已知半径已知半径(bnjng)为为4cm的扇形，其弧长为的扇形，其弧长为 cm，则这个扇形的面积则这个扇形的面积S扇形扇形=_cm22552第21页/共34页第二十二页，共34页。一扇形一扇形(shn xn)的弧长是的弧长是20 cm, 面积为面积为400cm2，那么扇形那么扇形(shn xn)的圆心角为的圆心角为_. 90度度 已知扇形已知扇形(shn xn)的圆心角为的圆心角为120，弧长为，弧长为20，扇形，扇形(shn xn)的面积为的面积为_.300第22页/共34页第二十三页，共34页。 BCA1:A, B, C1:A, B, C两两不相交两两不相交, ,且半径且半径(bnjng)(bnjng)都是都是1cm,1cm,则图中的三个扇形的则图中的三个扇形的面积之和为多少面积之和为多少? ?弧长的和为多少弧长的和为多少? ? （0707年北京）年北京）第23页/共34页第二十四页，共34页。2 2、如图，、如图，AA、 B B、 C C、 D D两两两两不相交，且半径都是不相交，且半径都是2cm2cm，求图中阴影，求图中阴影(ynyng)(ynyng)部分的面积。部分的面积。 （0707年山东）年山东）第24页/共34页第二十五页，共34页。第25页/共34页第二十六页，共34页。如图，某传送带的一个转动轮的半径为如图，某传送带的一个转动轮的半径为20cm，当物体从当物体从A传送传送20cm至至B时，这个转动轮转时，这个转动轮转(lnzhun)了度（精确到了度（精确到1）。）。57第26页/共34页第二十七页，共34页。5.5.一块等边三角形的木板一块等边三角形的木板, ,边长为边长为1, 1,现将现将木板沿水平线翻滚木板沿水平线翻滚( (如图如图), ),那么那么B B点从开点从开始至始至B2B2结束所走过的路径结束所走过的路径(ljng)(ljng)长长度度_._.(07(07年湖北年湖北) )BB1B2第27页/共34页第二十八页，共34页。如图， 把直角三角形如图， 把直角三角形 ABCABC 的斜边的斜边 ABAB 放在直线放在直线 l 上，按顺时针上，按顺时针方向在方向在 l 上转动两次， 使它转到上转动两次， 使它转到A A2 2B B2 2C C2 2的位置上， 设的位置上， 设 BCBC1 1，ACAC3， ABCA1B2A2C2（1 1）顶点）顶点A A运动运动(yndng)(yndng)到到A2A2的位置时，点的位置时，点A A经过的路线有多长？经过的路线有多长？（2 2）点）点A A经过的路线经过的路线(lxin)(lxin)与直线与直线l l所围成的图形的面积有多大？所围成的图形的面积有多大？l第28页/共34页第二十九页，共34页。ADBC.E第29页/共34页第三十页，共34页。2.2.扇形面积扇形面积(min j)(min j)公式与弧长公式的公式与弧长公式的区别：区别：S扇形扇形 S圆圆360nl弧弧 C圆圆360n1.1.扇形的面积扇形的面积(min j)(min j)大小与哪些因素有关？大小与哪些因素有关？（1 1）与圆心角的大小）与圆心角的大小(dxio)(dxio)有关有关（2 2）与半径的长短有关）与半径的长短有关3.3.扇形面积单位与弧长单位的区别：扇形面积单位与弧长单位的区别：（1 1）扇形面积单位是面积单位（有平方）扇形面积单位是面积单位（有平方）（2 2）弧长单位是长度单位（没有平方）弧长单位是长度单位（没有平方）第30页/共34页第三十一页，共34页。这节课你学到了什么知识？这节课你学到了什么知识？你是用什么方法获得这些知识的？你是用什么方法获得这些知识的？本节课你还有什么地方没有解决吗？本节课你还有什么地方没有解决吗？1弧长的计算公式弧长的计算公式180Rnl2扇形扇形(shn xn)的面积公式的面积公式 3602RnS扇形lrS21扇形或第31页/共34页第三十二页，共34页。课后思考课后思考: :已知正三角形已知正三角形ABCABC的边长为的边长为a a，分别，分别以以A A、B B、C C为圆心，以为圆心，以a/2a/2为半径为半径(bnjng)(bnjng)的的圆相切于点圆相切于点D D、 E E、F F，求图中阴影部分的面积，求图中阴影部分的面积S.S.第32页/共34页第三十三页，共34页。李老师爱你们( n men)哦！第33页/共34页第三十四页，共34页。