（赣豫陕）2022-2023学年高中数学 第一章 立体几何初步 5.2 平行关系的性质学案 北师大版必修2

（赣豫陕）2022-2023学年高中数学 第一章 立体几何初步 5.2 平行关系的性质学案 北师大版必修2学习目标1.能应用文字语言、符号语言、图形语言准确描述直线与平面平行，两平面平行的性质定理.2.能用两个性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题知识点一直线与平面平行的性质思考1如图，直线l平面，直线a平面，直线l与直线a一定平行吗？为什么？答案不一定，因为还可能是异面直线思考2如图，直线a平面，直线a平面，平面平面直线b，满足以上条件的平面有多少个？直线a，b有什么位置关系？答案无数个，ab.梳理性质定理文字语言如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行符号语言a，a，bab图形语言知识点二平面与平面平行的性质观察长方体ABCDA1B1C1D1的两个面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.思考1平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？答案是的思考2若m平面ABCD，n平面A1B1C1D1，则mn吗？答案不一定，也可能异面思考3过BC的平面交平面A1B1C1D1于B1C1，B1C1与BC是什么关系？答案平行梳理性质定理文字语言如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言，a，bab图形语言知识点三平行关系的相互转化1若直线l不平行于平面，则直线l就不平行于平面内的任意一条直线()2若平面平面，l平面，m平面，则lm.()3夹在两平行平面的平行线段相等()类型一线面平行的性质定理的应用例1如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：APGH.考点直线与平面平行的性质题点利用性质证明平行问题证明连接MO.四边形ABCD是平行四边形，O是AC的中点又M是PC的中点，APOM.又AP平面BDM，OM平面BDM，AP平面BDM.又AP平面APGH，平面APGH平面BDMGH，APGH.引申探究如图，在三棱锥PABQ中，E，F，C，D分别是PA，PB，QB，QA的中点，平面PCD平面QEFGH.求证：ABGH.证明因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，所以EFAB，DCAB.所以EFDC.又EF平面PCD，DC平面PCD，所以EF平面PCD.又EF平面EFQ，平面EFQ平面PCDGH，所以EFGH.又EFAB，所以ABGH.反思与感悟线面线线在空间平行关系中，交替使用线线平行、线面平行的判定定理与性质定理是解决此类问题的关键跟踪训练1如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF平面AB1C，则线段FE的长度为_考点直线与平面平行的性质题点利用性质求线段长度答案解析EF平面AB1C，又平面ADC平面AB1CAC，EF平面ADC，EFAC，E是AD的中点，EFAC2.类型二面面平行的性质定理的应用例2如图，平面，A，C，B，D，直线AB与CD交于点S，且AS8，BS9，CD34，求CS的长考点平面与平面平行的性质题点利用性质求线段长解设AB，CD都在平面上，因为AC，BD，且，所以ACBD，所以SACSBD，所以，即，所以SC272.引申探究若将本例改为：点S在平面，之间(如图)，其他条件不变，求CS的长解设AB，CD共面，AC，BD.因为，所以AC与BD无公共点，所以ACBD，所以ACSBDS，所以.设CSx，则，所以x16，即CS16.反思与感悟应用平面与平面平行性质定理的基本步骤跟踪训练2已知：平面平面平面，两条直线l，m分别与平面，相交于点A，B，C和点D，E，F，如图所示，求证：.考点平面与平面平行的性质题点与面面平行性质有关的计算证明如图，连接DC，设DC与平面相交于点G，则平面ACD与平面，分别相交于直线AD，BG，平面DCF与平面，分别相交于直线GE，CF.因为，所以BGAD，GECF.于是，得，所以.类型三平行关系的综合应用命题角度1由面面平行证明线面平行例3设AB，CD为夹在两个平行平面，之间的线段，且直线AB，CD为异面直线，M，P分别为AB，CD的中点求证：MP平面.考点平行问题的综合应用题点线线、线面、面面平行的相互转化证明如图，过点A作AECD交平面于点E，连接DE，BE.AECD，AE，CD确定一个平面，设为，则AC，DE.又，ACDE，取AE的中点N，连接NP，MN，M，P分别为AB，CD的中点，NPDE，MNBE.又NP，DE，MN，BE，NP，MN，NPMNN，平面MNP.MP平面MNP，MP，MP.反思与感悟线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示：跟踪训练3如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CMDN. 求证：MN平面AA1B1B.考点平行问题的综合应用题点线线、线面、面面平行的相互转化证明如图，作MPBB1交BC于点P，连接NP，MPBB1，.BDB1C，DNCM，B1MBN.，NPCDAB.NP平面AA1B1B，AB平面AA1B1B，NP平面AA1B1B.MPBB1，MP平面AA1B1B，BB1平面AA1B1B，MP平面AA1B1B，又MP平面MNP，NP平面MNP，MPNPP，平面MNP平面AA1B1B.MN平面MNP，MN平面AA1B1B.命题角度2探索性问题例4在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积考点题点解能，如图，取AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，MC，CN，NA1.平面A1C1平面AC，平面A1C平面A1C1A1N，平面AC平面A1CMC，A1NMC.同理，A1MNC.四边形A1MCN是平行四边形C1NC1D1A1B1A1P，C1NA1P，四边形A1PC1N是平行四边形，A1NPC1且A1NPC1.同理，A1MBP且A1MBP.又A1NA1MA1，C1PPBP，平面A1MCN平面PBC1.故过点A1与截面PBC1平行的截面是A1MCN.连接MN，作A1HMN于点H.由题意，易得A1MA1N，MN2.MHNH，A1H.故222.反思与感悟在将线面平行转化为线线平行时，注意观察图形中是不是性质定理中符合条件的平面跟踪训练4如图所示，已知P是ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PBC平面PADl.(1)求证：lBC；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论考点直线与平面平行的性质题点利用性质证明平行问题(1)证明因为BCAD，BC平面PAD，AD平面PAD，所以BC平面PAD.又因为平面PBC平面PADl，所以BCl.(2)解平行证明如下：如图，取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NEAM且NEAM，所以四边形MNEA是平行四边形，所以MNAE.又AE平面PAD，MN平面PAD，所以MN平面PAD.1如图所示，在三棱锥SABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF平面ABC，则()AEF与BC相交 BEFBCCEF与BC异面 D以上均有可能考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案B解析EF平面ABC，而平面SBC平面ABCBC，EF平面SBC，EFBC.2直线a平面，内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有()A0条 B1条C0条或1条 D无数条考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案C解析过直线a与交点作平面，设平面与交于直线b，则ab，若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条3给出四种说法：若平面平面，平面平面，则平面平面；若平面平面，直线a与相交，则a与相交；若平面平面，P，PQ，则PQ；若直线a平面，直线b平面，且，则ab.其中正确说法的序号是_考点平行问题的综合应用题点线线、线面、面面平行的相互转化答案解析正确，因为平面与没有公共点；正确，若直线a与平面平行或直线a，则由平面平面，知a或a与无公共点，这与直线a与相交矛盾，所以a与相交正确，如图所示，过直线PQ作平面，a，b，由得ab，因为PQ，PQ.所以PQb，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线a与直线PQ重合，因为a，所以PQ；错误，若直线a平面，直线b平面，且，则a与b平行、相交和异面都有可能4.如图所示，直线a平面，A，并且a和A位于平面两侧，点B，Ca，AB，AC分别交平面于点E，F，若BC4，CF5，AF3，则EF_.考点直线与平面平行的性质题点利用性质求线段长度答案解析由于点A不在直线a上，则直线a和点A确定一个平面，所以EF.因为a平面，a平面，所以EFa.所以.所以EF.5.如图，AB是圆O的直径 ，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明考点直线与平面平行的性质题点利用性质证明平行问题 解直线l平面PAC.证明如下：因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EFAC.又EF平面ABC，且AC平面ABC，所以EF平面ABC.而EF平面BEF，且平面BEF平面ABCl，所以EFl.因为l平面PAC，EF平面PAC，所以l平面PAC.1空间中各种平行关系相互转化关系的示意图2证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“由已知想性质，由求证想判定”，是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段.一、选择题1.如图所示的三棱柱ABCA1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是()A异面B平行C相交D以上均有可能考点平面与平面平行的性质题点利用性质证明平行问题答案B解析由面面平行的性质定理，可得DEA1B1，又A1B1AB，所以DEAB.2如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面平面ABC，分别交线段PA，PB，PC于点A，B，C.若PAAA23，则SABCSABC等于()A225 B425C25 D45考点平面与平面平行的性质题点与面面平行性质有关的计算答案B解析平面平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为AB，AB，ABAB.同理BCBC，ACAC，从而易得ABCABC，且，SABCSABC2.3如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列说法中，错误的是()AACBDBAC截面PQMNCACBDD异面直线PM与BD所成的角为45考点题点答案C解析截面PQMN为正方形，PQMN，从而易得PQ平面DAC.又平面ABC平面ADCAC，PQ平面ABC，PQAC.从而易得AC平面PNMQ.同理可得QMBD.又PQQM，PMQ45，ACBD，且异面直线PM与BD所成的角为45.故选项A，B，D正确4a，b，c为三条不重合的直线，为三个不重合的平面，给出的下列说法中，正确的个数为()ab；ab；.A1 B2 C3 D4考点平行的综合应用题点线线、线面、面面平行的相互转化答案B解析只有正确5设，A，B，C是AB的中点，当A，B分别在平面，内运动时，得到无数个AB的中点C，那么所有的动点C()A不共面B当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面C当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D不论A，B如何移动，都共面考点平面与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案D解析如图所示，A，B分别是A，B两点在，上运动后的两点，此时AB中点C变成AB的中点C，连接AB，取AB的中点E.连接CE，CE，AA，BB，CC，则CEAA，又CE平面，AA平面，CE平面.又CEBB，CE平面，BB平面，CE平面.又平面平面，CE平面，CE平面.CECEE，CE，CE平面CCE，平面CCE平面，CC平面.不论A，B如何移动，所有的动点C都在过C点且与平面，平行的平面上6设m，n表示不同的直线，表示不同的平面，则下列结论中正确的是()A若m，mn，则nB若m，n，m，n，则C若，m，mn，则nD若，m，nm，n，则n考点平行的综合应用题点线线、线面、面面平行的相互转化答案D解析A选项不正确，n可能在平面内，B选项不正确，平面可能与平面相交；C选项不正确，n可能在平面内；选项D正确7如图，四棱锥SABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为()A2 B3C32 D22考点直线与平面平行的性质题点利用性质求线段长度答案C解析CDAB，CD平面SAB，AB平面SAB，CD平面SAB.又平面CDEF平面SABEF，CDEF，又CDAB，ABEF.SEEA，EF为ABS的中位线，EFAB1，又DECF，四边形DEFC的周长为32.8过平面外的直线l，作一组平面与相交，如果所得的交线为a，b，c，则这些交线的位置关系为()A都平行B都相交且一定交于同一点C都相交但不一定交于同一点D都平行或交于同一点考点题点答案D解析l，l或l与相交若l，则由线面平行的性质定理可知la，lb，lc，a，b，c，这些交线都平行若l与相交，不妨设lA，则Al，又由题意可知Aa，Ab，Ac，这些交线交于同一点A.综上可知D正确二、填空题9，是三个两两平行的平面，且与之间的距离是3，与之间的距离是4，则与之间的距离是_考点平面与平面平行的性质题点与面面平行性质有关的计算答案1或7解析与位于的两侧时，与间的距离是7；当与位于同侧时，与间的距离是1.10如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ_.考点直线与平面平行的性质题点利用性质求线段长度答案a解析MN平面AC，平面PMN平面ACPQ，MNPQ，易知DPDQ，故PQDP.11.如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC平面EFGH，BD平面EFGH，ACm，BDn，当四边形EFGH是菱形时，AEEB_.考点直线与平面平行的性质题点与性质有关的其他问题答案mn解析AC平面EFGH，EFAC，GHAC，EFHGm ，同理EHFGn .四边形EFGH是菱形，m n ，AEEBmn.12已知平面，P且P，过点P的直线m与，分别交于点A，C，过点P的直线n与，分别交于点B，D，且PA6，AC9，PD8，则BD的长为_考点平面与平面平行的性质题点利用性质求线段长答案或24解析如图所示，ACBDP，经过直线AC与BD可确定平面PCD.，平面PCDAB，平面PCDCD，ABCD.，即，BD.如图所示，同理可证ABCD，即，BD24.综上所述，BD的长为或24.三、解答题13如图所示，四边形ABCD是平行四边形，P平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F.求证：四边形BCFE是梯形考点平行公理题点判断、证明线线平行证明因为四边形ABCD为平行四边形，所以BCAD，因为AD平面PAD，BC平面PAD，所以BC平面PAD.因为平面BCFE平面PADEF，BC平面BCFE，所以BCEF.因为ADBC，ADEF，所以BCEF，所以四边形BCFE是梯形四、探究与拓展14在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD平面EFGH时，下面结论正确的是()AE，F，G，H一定是各边的中点BG，H一定是CD，DA的中点CBEEABFFC，且DHHADGGCDAEEBAHHD，且BFFCDGGC考点直线与平面平行的性质题点与性质有关的其他问题答案D解析由于BD平面EFGH，所以有BDEH，BDFG，则AEEBAHHD，且BFFCDGGC.15如图所示，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若截面为平行四边形(1)求证：AB平面EFGH；(2)若ABCD，求证：四边形EFGH为矩形考点直线与平面平行的性质题点与性质有关的其他问题证明(1)EFGH为平行四边形，EFHG.HG平面ABD，EF平面ABD，EF平面ABD.EF平面ABC，平面ABD平面ABCAB，EFAB.又EF平面EFGH，AB平面EFGH，AB平面EFGH.(2)由(1)同理可证CDEH，FEH即是AB与CD所成的角ABCD，FEH90，平行四边形EFGH为矩形