（赣豫陕）2022-2023学年高中数学 第一章 立体几何初步 6.2 垂直关系的性质学案 北师大版必修2

（赣豫陕）2022-2023学年高中数学 第一章 立体几何初步 6.2 垂直关系的性质学案 北师大版必修2学习目标1.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理.2.能运用性质定理解决一些简单问题.3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系知识点一直线与平面垂直的性质定理思考在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？答案平行梳理性质定理文字语言如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行符号语言ab图形语言知识点二平面与平面垂直的性质思考黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？答案容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直梳理性质定理文字语言如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面符号语言，l，a，ala图形语言1若平面平面，任取直线l，则必有l.()2已知两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面()类型一线面垂直的性质及应用例1如图所示，在正方体A1B1C1D1ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交求证：EFBD1.考点直线与平面垂直的性质题点应用线面垂直的性质定理判定线线平行证明如图，连接AB1，B1C，BD，B1D1.DD1平面ABCD，AC平面ABCD，DD1AC.又ACBD，DD1BDD，AC平面BDD1B1，又BD1平面BDD1B1，ACBD1.同理BD1B1C，BD1平面AB1C.EFA1D，且A1DB1C，EFB1C.又EFAC，ACB1CC，EF平面AB1C，EFBD1.反思与感悟证明线线平行的常用方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直. (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行跟踪训练1如图，l，PA，PB，垂足分别为A，B，a，aAB.求证：al.考点直线与平面垂直的性质题点应用线面垂直的性质定理判定线线平行证明PA，l，PAl.同理PBl.PAPBP，l平面PAB.又PA，a，PAa.aAB，PAABA，a平面PAB.al.类型二面面垂直的性质及应用例2如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，平面PAB平面PBC.求证：BCAB.考点平面与平面垂直的性质题点应用面面垂直的性质定理判定线线垂直证明如图，在平面PAB内，作ADPB于点D.平面PAB平面PBC，且平面PAB平面PBCPB，AD平面PAB.AD平面PBC.又BC平面PBC，ADBC.又PA平面ABC，BC平面ABC，PABC，又PAADA，PA，AD平面PAB，BC平面PAB.又AB平面PAB，BCAB.反思与感悟证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线跟踪训练2如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是DAB60且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为边AD的中点求证：(1)BG平面PAD；(2)ADPB.考点平面与平面垂直的性质题点应用面面垂直的性质定理判定线面垂直证明(1)四边形ABCD是菱形且DAB60，ABD是正三角形，又G为AD的中点，BGAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BG平面ABCD，BG平面PAD.(2)由(1)可知BGAD，由题意知PAD为正三角形，G是AD的中点，PGAD.又BGPGG，AD平面PBG，又PB平面PBG，ADPB.类型三垂直关系的综合应用命题角度1线线、线面、面面垂直的转化例3如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD.E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.考点垂直问题的综合应用题点线线、线面、面面垂直的相互转化证明(1)PAAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA平面ABCD.(2)ABCD，ABAD，CD2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BEAD.又AD平面PAD，BE平面PAD，BE平面PAD.(3)在平行四边形ABED中，ABAD，四边形ABED为矩形，BECD.PA平面ABCD，PAAB，又ABAD，PAADA，AB平面PAD，CD平面PAD，CDPD.又E，F分别为CD和PC的中点，EFPD，CDEF.EFBEE，EF，BE平面BEF，CD平面BEF.又CD平面PCD，平面BEF平面PCD.反思与感悟在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题跟踪训练3如图，在四面体ABCD中，平面ABC平面BCD，ABAC，DCBC.求证：平面ABD平面ACD.考点垂直问题的综合应用题点线线、线面、面面垂直的相互转化证明平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，在平面ABC内，作AEBC于点E，如图，则AE平面BCD.又CD平面BCD，AECD.又BCCD，AEBCE，AE，BC平面ABC，CD平面ABC，又AB平面ABC，ABCD.又ABAC，ACCDC，AC，CD平面ACD.AB平面ACD.又AB平面ABD，平面ABD平面ACD.命题角度2垂直中的探索性问题例4已知在三棱锥ABCD中，BCD90，BCCD1，AB平面BCD，ADB60，E，F分别是AC，AD上的动点，且(01)(1)求证：不论为何值，总有平面BEF平面ABC；(2)当为何值时，平面BEF平面ACD?考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的计算与探索性问题(1)证明BCD90，BCCD.AB平面BCD，ABCD.又ABBCB，CD平面ABC.，EFCD，EF平面ABC.又EF平面BEF，平面BEF平面ABC.故不论为何值，总有平面BEF平面ABC.(2)解由(1)得EF平面ABC，BE平面ABC，EFBE.要使平面BEF平面ACD，只需BEAC.BCD90，BCCD1，BD.又AB平面BCD，ADB60，AB，AC，BE，AE，.故当时，平面BEF平面ACD.反思与感悟解决开放性问题一般先从结论入手，分析得到该结论所需的条件或与其等价的条件，此类型题考查空间想象能力、推理论证能力、分析问题和解决问题的能力跟踪训练4如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知DCDD12AD2AB，ADDC，ABDC.(1)求证：D1CAC1；(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E平面A1BD，并说明理由考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的计算与探索性问题(1)证明在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，连接C1D，DCDD1，四边形DCC1D1是正方形，DC1D1C.又ADDC，ADDD1，DCDD1D，AD平面DCC1D1，ADD1C.AD，DC1平面ADC1，且ADDC1D，D1C平面ADC1.AC1平面ADC1，D1CAC1.(2)解连接AD1，AE，设AD1A1DM，BDAEN，连接MN，平面AD1E平面A1BDMN，需使MND1E.又M是AD1的中点，N是AE的中点，又易知ABNEDN，ABDE，即E是DC的中点综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E平面A1BD.1给出下列说法：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；垂直于同一个平面的两条直线互相平行；一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线垂直其中正确说法的个数是()A0 B1 C2 D3考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案D2平面平面，直线a，则()Aa BaCa与相交 D以上都有可能考点空间中直线与平面之间的位置关系题点空间中直线与平面之间的位置关系的判定答案D解析因为a平面，平面平面，所以直线a与垂直、相交、平行都有可能3已知直线l平面，直线m平面.有下面四个说法：lm；lm；lm；lm.其中正确的两个说法是()A B C D考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案C解析l，m，lm，故正确；lm，l，m，又m，故正确4如图，在三棱锥PABC中，侧面PAC底面ABC，且PAC90，PA1，AB2，则PB_.考点平面与平面垂直的性质题点有关面面垂直性质的计算答案解析侧面PAC底面ABC，交线为AC，PAC90(即PAAC)，PA平面ABC，PAAB，PB.5.如图所示，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC底面ABCD，求证：平面SCD平面SBC.考点平面与平面垂直的性质题点面面垂直性质的综合应用证明因为底面ABCD是矩形，所以BCCD.又平面SDC平面ABCD，平面SDC平面ABCDCD，BC平面ABCD，所以BC平面SCD.又因为BC平面SBC，所以平面SCD平面SBC.1线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据2面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：一、选择题1在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A相交 B平行C异面 D相交或平行考点直线与平面垂直的性质题点应用线面垂直的性质定理判定线线平行答案B解析由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面，所以它们平行2在长方体ABCDA1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EFA1B1于点F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是()A平行 BEF平面A1B1C1D1C相交但不垂直 D相交且垂直考点平面与平面垂直的性质题点应用面面垂直的性质定理判定线面垂直答案D解析在长方体ABCDA1B1C1D1中，平面A1ABB1平面A1B1C1D1且平面A1ABB1平面A1B1C1D1A1B1，又EF平面A1ABB1，EFA1B1，EF平面A1B1C1D1.3如图所示，在三棱锥PABC中，平面ABC平面PAB，PAPB，ADDB，则()APD平面ABCBPD平面ABCCPD与平面ABC相交但不垂直DPD平面ABC考点平面与平面垂直的性质题点应用面面垂直的性质定理判定线面垂直答案B解析PAPB，ADDB，PDAB.又平面ABC平面PAB，平面ABC平面PABAB，PD平面PAB，PD平面ABC.4在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知平面AA1C1C平面ABCD，且ABBC，ADCD，则BD与CC1的位置关系为()A平行 B共面C垂直 D不垂直考点平面与平面垂直的性质题点应用面面垂直的性质定理判定线线垂直答案C解析如图所示，在四边形ABCD中，ABBC，ADCD，BDAC.平面AA1C1C平面ABCD，平面AA1C1C平面ABCDAC，BD平面ABCD，BD平面AA1C1C.又CC1平面AA1C1C，BDCC1，故选C.5下列说法中错误的是()A如果平面平面，那么平面所有直线都垂直于平面B如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面C如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D如果平面平面，平面平面，l，那么l平面考点平面与平面垂直的性质题点面面垂直性质的综合应用答案A解析显然A不正确，若两个平面垂直，一个平面内只有和交线垂直的直线才和另一个平面垂直6设l是直线，是两个不同的平面，下列结论正确的是()A若l，l，则 B若l，l，则C若，l，则l D若，l，则l考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案B解析设a，若直线la，且l，l，则l，l，因此不一定平行于，故A错误；由于l，故在内存在直线ll，又因为l，所以l，故，所以B正确；若，在内作交线的垂线l，则l，此时l在平面内，因此C错误；已知，若a，la，且l不在平面，内，则l且l，因此D错误7.如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：SG平面EFG；SE平面EFG；GFSE；EF平面SEG.其中成立的有()A与 B与C与 D与考点垂直问题的综合应用题点线线、线面、面面垂直的相互转化答案B解析由SGGE，SGGF，得SG平面EFG，排除C、D；若SE平面EFG，则SGSE，这与SGSES矛盾，排除A，故选B.二、填空题8设两个平面，直线l，下列三个条件：l；l；.若以其中两个作为前提条件，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中，正确命题的个数为_考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案1解析作为前提条件，作为结论构成的命题正确，过l作一平面与交于l，则ll，所以l，故；作为前提条件，作为结论构成的命题错误，这时可能有l；作为前提条件，作为结论构成的命题错误，这时l与的各种位置关系都可能存在9.如图，直二面角l，点A，ACl，C为垂足，B，BDl，D为垂足，若AB2，ACBD1，则CD的长为_考点平面与平面垂直的性质题点有关面面垂直性质的计算答案解析如图，连接BC，二面角l为直二面角，AC，且ACl，AC.又BC，ACBC，BC2AB2AC23.又BDCD，CD.10.如图，四面体PABC中，PAPB，平面PAB平面ABC，ABC90，AC8，BC6，则PC_.考点平面与平面垂直的性质题点有关面面垂直性质的计算答案7解析取AB的中点D，连接PD，PAPB，PDAB，平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，PD平面PAB，PD平面ABC，PDCD.连接DC，则PDC为直角三角形，在RtABC中，AB2，在RtDBC中，DC，PD.在RtPCD中，PC7.11如图，在平行四边形ABCD中，ABBD，沿BD将ABD折起，使平面ABD平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为_考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案3解析因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，ABBD，所以AB平面BCD，所以平面ABC平面BCD.在折起前，因为ABBD，ABCD，所以CDBD.又因为平面ABD平面BCD，所以CD平面ABD，所以平面ACD平面ABD，共3对三、解答题12如图所示，四棱锥PABCD中，AP平面PCD，ADBC，ABBCAD，E，F分别为线段AD，PC的中点(1)求证：AP平面BEF；(2)求证：BE平面PAC.考点题点证明(1)如图所示，设ACBEO，连接OF，EC.由于E为AD的中点，ABBCAD，ADBC，所以AEBC，AEABBC，因此，四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点又F为PC的中点，因此，在PAC中，可得APOF.又OF平面BEF，AP平面BEF，所以AP平面BEF.(2)由题意，知EDBC，EDBC，所以四边形BCDE为平行四边形，所以BECD.又AP平面PCD，所以APCD，所以APBE.因为四边形ABCE为菱形，所以BEAC.又APACA，AP，AC平面PAC，所以BE平面PAC.13如图，在矩形ABCD中，AB2AD，E是AB的中点，沿DE将ADE折起(1)如果二面角ADEC是直二面角，求证：ABAC；(2)如果ABAC，求证：平面ADE平面BCDE.考点垂直问题的综合应用题点线线、线面、面面垂直的相互转化证明(1)过A作AMDE于点M，则由题意可得AM平面BCDE，AMBC.又ADAE，所以M是DE的中点取BC的中点N，连接MN，则MNBC，又AMMNM，所以BC平面AMN，所以ANBC.又N是BC的中点，所以ABC为等腰三角形，所以ABAC.(2)取BC的中点N，连接AN.因为ABAC，所以ANBC.取DE的中点M，连接MN，AM，所以MNBC，又ANMNN，所以BC平面AMN，所以AMBC.又M是DE的中点，ADAE，所以AMDE.又因为DE与BC是平面BCDE内的两条相交直线，所以AM平面BCDE.又因为AM平面ADE，所以平面ADE平面BCDE.四、探究与拓展14在三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，PCA90，ABC是边长为4的正三角形，PC4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为()A2 B2C4 D4考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的计算与探索性问题答案B解析如图，连接CM，则由题意PC平面ABC，可得PCCM，所以PM，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可在ABC中，当CMAB时，CM有最小值，此时有CM42，所以PM的最小值为2.15如图所示，在RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图所示(1)求证：DE平面A1CB；(2)求证：A1FBE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的计算与探索性问题(1)证明因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DEBC.又DE平面A1CB，BC平面A1CB，所以DE平面A1CB.(2)证明由已知得DCBC且DEBC，所以DEDC.又DEA1D，A1DCDD，A1D，CD平面A1DC，所以DE平面A1DC，而A1F平面A1DC，所以DEA1F.又因为A1FCD，CDDED，CD，DE平面BCDE，所以A1F平面BCDE，又BE平面BCDE，所以A1FBE.(3)解线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如图所示，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接DP，PQ，QE，则PQBC.又因为DEBC，所以DEPQ，所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE平面A1DC，A1C平面A1DC，所以DEA1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1CDP，又DEDPD，DE，DP平面DEP，所以A1C平面DEP，从而A1C平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，且Q为A1B的中点时，A1C平面DEQ.