（江苏专版）2022年高考数学一轮复习 第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ第五节 二次函数与幂函数学案（理）（含解析）

（江苏专版）2022年高考数学一轮复习 第二章 函数的概念与基本初等函数第五节 二次函数与幂函数学案（理）（含解析）1五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质yxyx2yx3yxyx1图象定义域Rx|x0x|x0值域y|y0y|y0y|y0奇偶性奇非奇非偶单调性(，0)减，(0，)增增(，0)和(0，)减公共点(1,1)2二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)；(2)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)；(3)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)3二次函数的图象和性质f(x)ax2bxca0a0图象定义域R值域单调性在上递减，在上递增在上递增，在上递减奇偶性b0时为偶函数，b0时既不是奇函数也不是偶函数图象特点对称轴：x；顶点：小题体验1已知幂函数yf(x)的图象过点(9,3)，则函数的解析式为_答案：f(x)x (x0)2(2019天一中学高三测试)已知点P1(x1,2 019)和P2(x2,2 019)在二次函数f(x)ax2bx9的图象上，则f(x1x2)的值为_答案：93已知f(x)ax2bx3ab是偶函数，且其定义域为a1,2a，则yf(x)的值域为_答案：1对于函数yax2bxc，要认为它是二次函数，就必须满足a0，当题目条件中未说明a0时，就要讨论a0和a0两种情况2幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点小题纠偏1已知函数f(x)ax2x5的图象在x轴上方，则a的取值范围是_答案：2给出下列命题：函数y2x是幂函数；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点；当n0时，幂函数yxn是定义域上的减函数；二次函数yax2bxc，xm，n的最值一定是.其中正确的是_(填序号)答案：题组练透1(2018苏州高三期中调研)已知幂函数yx2mm2(mN*)在(0，)是增函数，则实数m的值是_解析：由题意知2mm20，解得0m2，因为mN*，所以m1.答案：12(2019常州一中检测)已知函数f(x)(3m)x2m5是幂函数，则f_.解析：函数f(x)(3m)x2m5是幂函数，则3m1，解得m2，f(x)x1，f2.答案：23若(a1)(32a)，则实数a的取值范围是_解析：易知函数yx的定义域为0，)，在定义域内为增函数，所以解得1a.答案：谨记通法幂函数的指数与图象特征的关系(1)幂函数的形式是yx(R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式(2)若幂函数yx(R)是偶函数，则必为偶数当是分数时，一般将其先化为根式，再判断(3)若幂函数yx在(0，)上单调递增，则0，若在(0，)上单调递减，则0.典例引领已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式解：法一：(利用一般式)设f(x)ax2bxc(a0)由题意得解得故所求二次函数为f(x)4x24x7.法二：(利用顶点式)设f(x)a(xm)2n.因为f(2)f(1)，所以抛物线对称轴为x.所以m，又根据题意函数有最大值8，所以n8，所以yf(x)a28.因为f(2)1，所以a281，解得a4，所以f(x)4284x24x7.法三：(利用零点式)由已知f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值ymax8，即8.解得a4或a0(舍去)，故所求函数解析式为f(x)4x24x7.由题悟法求二次函数解析式的方法即时应用1已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(2，1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f(x)_.解析：法一：设所求解析式为f(x)ax2bxc(a0)由已知得解得所以所求解析式为f(x)x2x.法二：设所求解析式为f(x)ax2bxc(a0)由已知得解得所以所求解析式为f(x)x2x.法三：设所求解析式为f(x)a(xh)2k(a0)由已知得f(x)a(x2)21，将点(1,0)代入，得a，所以f(x)(x2)21，即f(x)x2x.答案：x2x2已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x)，求f(x)的解析式解：因为f(2x)f(2x)对xR恒成立，所以f(x)的对称轴为x2.又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，所以f(x)0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)a(x1)(x3)(a0)又因为f(x)的图象过点(4,3)，所以3a3，a1.所以所求f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.锁定考向高考对二次函数图象与性质的考查常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇常见的命题角度有：(1)二次函数的单调性问题；(2)二次函数的最值问题；(3)二次函数中恒成立问题 题点全练角度一：二次函数的单调性问题1(2019江安中学测试)已知函数f(x)x2(a1)x5在区间上为增函数，则f(2)的取值范围是_解析：函数f(x)的图象(抛物线)开口向上，对称轴为x，若函数f(x)在区间上为增函数，则，解得a2，所以f(2)4(a1)257，即f(2)7.答案：7，)角度二：二次函数的最值问题2(1)(2019苏州测试)已知函数f(x)x2abxa2b，若f(0)4，则f(1)的最大值为_(2)已知函数f(x)x22ax1a在x0,1时，有最大值2，则a的值为_解析：(1)因为f(0)4，所以a2b4，即a42b，所以f(1)aba2b1ab5(42b)b52b24b52(b1)27，所以当b1时，f(1)的最大值为7.(2)函数f(x)x22ax1a(xa)2a2a1，x0,1，对称轴方程为xa.当a0时，f(x)maxf(0)1a，所以1a2，所以a1.当0a1时，f(x)maxf(a)a2a1，所以a2a12，即a2a10，解得a(舍去)当a1时，f(x)maxf(1)a，所以a2.综上可知，a1或a2.答案：(1)7(2)1或2角度三：二次函数中恒成立问题3已知函数f(x)x22x1，f(x)xk在区间3，1上恒成立，则k的取值范围为_解析：由题意得x2x1k在区间3，1上恒成立设g(x)x2x1，x3，1，g(x)在3，1上单调递减，g(x)ming(1)1.k1.故k的取值范围为(，1)答案：(，1)通法在握1二次函数最值问题的3种类型及解题思路(1)类型：对称轴、区间都是给定的；对称轴动、区间固定；对称轴定、区间变动(2)思路：抓“三点一轴”，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴2由不等式恒成立求参数取值范围的2大思路及1个关键(1)思路：一是分离参数；二是不分离参数(2)关键：两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离这两个思路的依据是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.演练冲关已知函数f(x)x22ax2，x5,5(1)当a1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间5,5上是单调函数解：(1)当a1时，f(x)x22x2(x1)21，x5,5，所以当x1时，f(x)取得最小值1；当x5时，f(x)取得最大值37.(2)函数f(x)(xa)22a2的图象的对称轴为直线xa，因为yf(x)在区间5,5上是单调函数，所以a5或a5，即a5或a5.故a的取值范围是(，55，)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2018清河中学检测)已知幂函数f(x)kx的图象过点，则k_.解析：由幂函数的定义知k1.又f，所以，解得，从而k.答案：2(2019连云港调研)若函数f(x)x22(a1)x2在(，4)上为增函数，则a的取值范围是_解析：f(x)x22(a1)x2的对称轴为xa1，f(x)x22(a1)x2在(，4)上为增函数，对称轴xa14，a5.答案：5，)3(2018淮阴模拟)已知函数f(x)x2m是定义在区间3m，m2m上的奇函数，则f(m)，f(0)的大小关系为_解析：因为函数f(x)是奇函数，所以3mm2m0，解得m3或1.当m3时，函数f(x)x1，定义域不是6,6，不合题意；当m1时，函数f(x)x3在定义域2,2上单调递增，又m0，所以f(m)f(0)答案：f(m)f(0)4已知函数f(x)x2xm，若|f(x)|在区间0,1上单调，则实数m的取值范围为_解析：因为f(x)x2xm，且|f(x)|在区间0,1上单调，所以f(x)在0,1上满足f(0)f(1)0，即m(11m)0，解得m0或m2.答案：(，20，)5若二次函数f(x)x24xt图象的顶点在x轴上，则t_.解析：由于f(x)x24xt(x2)2t4图象的顶点在x轴上，所以f(2)t40，所以t4.答案：46(2019杭州测试)若函数f(x)x22x1在区间a，a2上的最小值为4，则实数a的取值集合为_解析：因为函数f(x)x22x1(x1)2的图象的对称轴为直线x1，f(x)在区间a，a2上的最小值为4，所以当a1时，f(x)minf(a)(a1)24，a1(舍去)或a3；当a21，即a1时，f(x)minf(a2)(a1)24，a1(舍去)或a3；当a1a2，即1a1时，f(x)minf(1)04.故a的取值集合为3,3答案：3,3二保高考，全练题型做到高考达标1(2019海安中学检测)已知幂函数f(x)x，其中.则使f(x)为奇函数，且在区间(0，)上是单调增函数的的取值集合为_解析：若幂函数f(x)为奇函数，则1,1,3，又f(x)在区间(0，)上是单调增函数，所以的取值集合为1,3答案：1,32(2019武汉调研)已知幂函数f(x)xm24m (mZ)的图象关于y轴对称，且在区间(0，)上为减函数，则m的值为_解析：幂函数f(x)xm24m (mZ)在区间(0，)上为减函数，m24m0，解得0m4.又mZ，m1或m2或m3.当m1时，f(x)x3，图象不关于y轴对称；当m2时，f(x)x4，图象关于y轴对称；当m3时，f(x)x3，图象不关于y轴对称综上，m的值为2.答案：23若关于x的不等式x24x2a0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是_解析：不等式x24x2a0在区间(1,4)内有解等价于a(x24x2)max，令f(x)x24x2，x(1,4)，所以f(x)f(4)2，所以a2.答案：(，2)4(2018泰州中学调研)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x22x1，不等式f(x23)f(2x)的解集为_解析：根据题意，f(x)是定义在R上的奇函数，则有f(0)0，当x0时，f(x)x22x1(x1)2为减函数，则当x0时，f(x)也为减函数，综上可得f(x)在R上为减函数，若f(x23)f(2x)，则有x232x，解得1x3，即不等式f(x23)f(2x)的解集为(1,3)答案：(1,3)5若函数f(x)x223 (常数Z)为偶函数，且在(0，)上是单调递减函数，则的值为_解析：根据幂函数的性质，要使函数f(x)为偶函数，且在(0，)上是单调递减函数，则223为偶数，且2230，解不等式可得13.因为Z，所以0,1,2.当0时，2233，不满足条件；当1时，2234，满足条件；当2时，2233，不满足条件，所以1.答案：16若函数yx23x4的定义域为0，m，值域为，则m的取值范围是_解析：二次函数图象的对称轴为x，且f，f(3)f(0)4，由图得m.答案：7对于任意实数x，函数f(x)(5a)x26xa5恒为正值，则a的取值范围是_解析：由题意可得解得4a4.答案：(4,4)8(2019南通一调)若函数f(x)ax220x14(a0)对任意实数t，在闭区间t1，t1上总存在两实数x1，x2，使得|f(x1)f(x2)|8成立，则实数a的最小值为_解析：由题意可得，当xt1，t1时，f(x)maxf(x)minmin8，当t1，t1关于对称轴对称时，f(x)maxf(x)min取得最小值，即f(t1)f(t)2ata208，f(t1)f(t)2ata208，两式相加，得a8，所以实数a的最小值为8.答案：89已知幂函数f(x)x(mN*)(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性(2)若该函数f(x)的图象经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2a)f(a1)的实数a的取值范围解：(1)因为m2mm(m1)(mN*)，而m与m1中必有一个为偶数，所以m2m为偶数，所以函数f(x)x(mN*)的定义域为0，)，并且该函数在0，)上为增函数(2)因为函数f(x)的图象经过点(2，)，所以2，即22，所以m2m2，解得m1或m2.又因为mN*，所以m1，f(x)x.又因为f(2a)f(a1)，所以解得1a，故函数f(x)的图象经过点(2，)时，m1.满足条件f(2a)f(a1)的实数a的取值范围为.10(2019启东检测)已知aR，函数f(x)x22ax5.(1)若a1，且函数f(x)的定义域和值域均为1，a，求实数a的值；(2)若不等式x|f(x)x2|1对x恒成立，求实数a的取值范围解：(1)因为f(x)x22ax5的图象的对称轴为xa(a1)，所以f(x)在1，a上为减函数，所以f(x)的值域为f(a)，f(1)又已知值域为1，a，所以解得a2.(2)由x|f(x)x2|1，得a.(*)令t，t2,3，则(*)可化为t2tat2t.记g(t)t2t2，则g(t)maxg，所以a；记h(t)t2t2，则h(t)minh(2)7，所以a7，综上所述，a7.所以实数a的取值范围是.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2019金陵中学期中)设f(x)与g(x)是定义在同一区间a，b上的两个函数，若函数yf(x)g(x)在a，b上有两个不同的零点，则称f(x)与g(x)在a，b上是“关联函数”，区间a，b称为f(x)与g(x)的“关联区间”若f(x)x3x2x与g(x)2xb的“关联区间”是3,0，则b的取值范围是_解析：由题意设m(x)f(x)g(x)x3x23xb，则m(x)x22x3，由m(x)0，得m1或m3.f(x)与g(x)在3,0上是“关联函数”，x1是函数m(x)在3,0上的极大值，同时也是最大值要使m(x)f(x)g(x)在3,0上有两个不同的零点，则即解得0b，故b的取值范围是.答案：2(2019泰州中学检测)已知函数f(x)x2(x1)|xa|.(1)若a1，求满足f(x)1的x的取值集合；(2)若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；(3)若a1且不等式f(x)2x3对一切实数xR恒成立，求a的取值范围解：(1)当a1时，有f(x)当x1时，令2x211，解得x1或x1；当x1时，f(x)1恒成立，x的取值集合为x|x1或x1(2)f(x)若f(x)在R上单调递增，且f(x)是连续的，则有解得a，即实数a的取值范围是.(3)设g(x)f(x)(2x3)，则g(x)若不等式g(x)0对一切实数xR恒成立，则当xa时，a1，g(x)单调递减，其值域为(a22a3，)a22a3(a1)222，g(x)0恒成立当xa时，a1，a，g(x)minga30，得3a5.a1，3a1，综上，a的取值范围是3,1)