2022年高考总复习文数（北师大版）讲义：第9章 第03节 圆的方程 Word版含答案

2022年高考总复习文数（北师大版）讲义：第9章 第03节 圆的方程 Word版含答案考点高考试题考查内容核心素养圆的方程xx全国卷T75分求过三点的圆的方程数学运算xx全国卷T2012分直线与圆的位置关系数学运算xx全国卷T155分直线与圆的位置关系数学运算命题分析圆的方程是高考热点，每年必考，选择填空解答都有可能，客观题突出小而巧，主要考查圆的标准方程，主观题与圆锥曲线结合命题.定义平面内与_定点_的距离等于_定长_的点的集合(轨迹)标准方程_(xa)2(yb)2r2(r0)_圆心：_(a，b)_,_半径：_r_一般方程_x2y2DxEyF0_，(D2E24F0)圆心：，半径： 提醒：1辨明两个易误点(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程(2)对于方程x2y2DxEyF0表示圆时易忽视D2E24F0这一条件2求解有关圆的问题的转化路径(1)注意二元二次方程表示圆的充要条件，善于利用切割线定理，垂径定理等平面中圆的有关定理解题；注意将圆上动点到定点、定直线的距离转化为圆心到它们的距离(2)在圆中，注意利用半径、半弦长及弦心距组成的直角三角形1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径()(2)方程(xa) 2(yb)2t2(tR)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆()(3)方程x2y24mx2y0表示圆()(4)若点M(x0，y0)在圆x2y2DxEyF0外，则xyDx0Ey0F0.()答案：(1)(2)(3)(4)2(教材习题改编)圆3x23y26x12y70的圆心坐标为()A(3,6)B(3，6)C(1,2) D(1,2)解析：选D圆的方程可化为x2y22x4y0.所以圆的圆心为，即(1,2)3(教材改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为_解析：设圆C的方程为x2y2DxEyF0，由题意E0，F6，D4答案：x2y24x604(xx浙江卷)已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是_，半径是_解析：由已知方程表示圆，则a2a2，解得a2或a1当a2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去当a1时，原方程为x2y24x8y50，化为标准方程为(x2)2(y4)225，表示以(2，4)为圆心，半径为5的圆答案：(2，4)5求圆的方程明技法求圆的方程的2种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法：若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值提能力【典例1】 圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A(x1)2(y1)21B(x1)2(y1)21C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22解析：选D圆的半径r，圆的方程为(x1)2(y1)22【典例2】 (xx全国卷)圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a()ABCD2解析：选A由圆的方程x2y22x8y130得圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得d1，解之得a刷好题1(xx天津卷)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆C的方程为_解析：设C的圆心C(a,0)(a0)，a2，a0，a2.C的方程(x2)2y2r2又M在C上，22()2r2，r29圆C方程(x2)2y29答案：(x2)2y292(xx全国卷)一个圆经过椭圆1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_解析：设圆心坐标为(m,0)，则半径为4m，由题意知m222(4m)2解得m，所以圆的标准方程为2y2答案：2y2与圆有关的轨迹问题明技法求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等提能力【典例】 (xx潍坊调研)已知圆x2y24上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y)因为P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24，故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21(2)设PQ的中点为N(x，y)，在RtPBQ中，|PN|BN|设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10刷好题(xx天津模拟)设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹解：如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为由于平行四边形的对角线互相平分，故，从而又N(x3，y4)在圆上，故(x3)2(y4)24因此所求轨迹为圆：(x3)2(y4)24，但应除去两点和(点P在直线OM上的情况)与圆有关的最值问题析考情与圆有关的最值问题，是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题、中档题提能力命题点1：斜率型最值问题【典例1】 已知实数x，y满足方程x2y24x10，则的最大值为_，最小值为_解析：原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆.的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k.(如图)所以的最大值为，最小值为答案：命题点2：截距型最值问题【典例2】 在典例1条件下，求yx的最大值解：原方程可化为(x2)2y23，圆心(2,0)，半径r设yxb，yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2所以yx的最大值为2命题点3：距离型最值问题【典例3】 在典例1条件下求x2y2的最大值和最小值解：x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图)又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274命题点4：利用对称性求范围【典例4】 设点M(x0,1)，若在圆O：x2y21上存在点N，使得OMN45，则x0的取值范围是_解析：由题意可知M在直线y1上运动，设直线y1与圆x2y21相切于点P(0,1)当x00即点M与点P重合时，显然圆上存在点N(1,0)符合要求；当x00时，过M作圆的切线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点N，都有OMNOMP，故要存在OMN45，只需OMP45.特别地，当OMP45时，有x01.结合图形可知，符合条件的x0的取值范围为1,1答案：1,1明技法与圆有关的最值问题的求解方法(1)形如的最值问题，可转化为过定点的动直线的斜率的最值问题(如命题点1)(2)形如taxby的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题，也可用三角代换求解(如命题点2)(3)形如m(xa)2(yb)2的最值问题，可转化为动点与定点的距离的平方的最值问题(如命题点3)(4)与圆相关的最值，若几何意义明显时，可充分利用几何性质，借助几何直观求解否则可用代数法转化为函数求最值(如命题点4)刷好题1设P为直线3x4y110上的动点，过点P作圆C：x2y22x2y10的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为_解析：圆的标准方程为(x1)2(y1)21，圆心为C(1,1)，半径为r1，根据对称性可知，四边形PACB的面积为2SAPC2|PA|r|PA|，要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小，最小值为圆心到直线l：3x4y110的距离d2所以四边形PACB面积的最小值为答案：2已知M(m，n)为圆C：x2y24x14y450上任意一点，则的最大值为_，最小值为_解析：因为x2y24x14y450的圆心C(2,7)，半径r2，记点Q(2,3)因为表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y3k(x2)，即kxy2k30，则k由直线MQ与圆C有公共点，所以2可得2k2，所以的最大值为2，最小值为2答案：22