椭圆焦点三角形面积公式的应用

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date椭圆焦点三角形面积公式的应用椭圆焦点三角形面积公式的应用椭圆焦点三角形面积公式的应用广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码530007）定理 y F1 O F2 xPP在椭圆（0）中，焦点分别为、，点P是椭圆上任意一点，则.证明：记，由椭圆的第一定义得在中，由余弦定理得：配方得：即由任意三角形的面积公式得：.同理可证，在椭圆（0）中，公式仍然成立.典题妙解例1 若P是椭圆上的一点，、是其焦点，且，求的面积.解法一：在椭圆中，而记点P在椭圆上，由椭圆的第一定义得：在中，由余弦定理得：配方，得：从而解法二：在椭圆中，而解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！例2 已知P是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（ ）A. B. C. D. 解：设，则，故选答案A.例3（04湖北）已知椭圆的左、右焦点分别是、，点P在椭圆上. 若P、是一个直角三角形的三个顶点，则点P到轴的距离为（ ）A. B. C. D. 或解：若或是直角顶点，则点P到轴的距离为半通径的长；若P是直角顶点，设点P到轴的距离为h，则，又，故答案选D.金指点睛1. 椭圆上一点P与椭圆两个焦点、的连线互相垂直，则的面积为（ ） A. 20 B. 22 C. 28 D. 242. 椭圆的左右焦点为、， P是椭圆上一点，当的面积为1时，的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 63. 椭圆的左右焦点为、， P是椭圆上一点，当的面积最大时，的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 4已知椭圆（1）的两个焦点为、，P为椭圆上一点，且，则的值为（ ）A1 B C D5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，、为焦点，点P在椭圆上，直线与倾斜角的差为，的面积是20，离心率为，求椭圆的标准方程.6已知椭圆的中心在原点，、为左右焦点，P为椭圆上一点，且， 的面积是，准线方程为，求椭圆的标准方程.参考答案1. 解：，.故答案选D.2. 解：设， ，.故答案选A.3. 解：，设， ，当的面积最大时，为最大，这时点P为椭圆短轴的端点，.故答案选D.4 解：，又，从而.故答案选C.5. 解：设，则. ，又，即.解得：.所求椭圆的标准方程为或.6解：设，.，.又，即.或.当时，这时椭圆的标准方程为；当时，这时椭圆的标准方程为；但是，此时点P为椭圆短轴的端点时，为最大，不合题意.故所求的椭圆的标准方程为.-