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第三章 测量数据处理1，系统误差的发现 (1)在规定的测量条件下多次测量同一个被测量，从被测量的测得值与计量标准所复现的量值之差可以发现并得到恒定的系统误差的估计值。 (2)在测量条件改变时，例如随时间、温度、频率等条件改变时，测得值按某一确定的规律变化，可能是线性地或非线性地增长或减小，就可以发现测量结果中存在可变的系统误差。2，减小系统误差的方法（1）采用修正的方法（2）在实验过程中尽可能减少或消除一切产生系统误差的因素（3）选择使系统误差抵消而不致带入测得值的测量方法。3，试验和测量中常用的几种减小系统误差的测量方法：(1)恒定系统误差消除法异号法改变测量中的某些条件，例如测量方向、电压极性等，使两种条件下的测得值中的误差符号相反，取其平均值以消除系统误差。交换法将测量中的某些条件适当交换，例如被测物的位置相互交换，设法使两次测量中的误差源对测得值的作用相反，从而抵消了系统误差。例如：用等臂天平称重，x=（p p）1/2 替代法保持测量条件不变，用某一已知量值的标准器替代被测件再作测量，使指示仪器的指示不变或指零，这时被测量等于已知的标准量，达到消除系统误差的目的。(2)可变系统误差消除法：合理地设计测量顺序可以消除测量系统的线性漂移或周期性变化引入的系统误差。 对称测量法消除线性系统误差替代方案采用按“标准被校被校标准”顺序进行。半周期偶数测量法消除周期性系统误差这种方法广泛用于测角仪上。4，修正系统误差的方法：（1）在测得值上加修正值（2）对测得值乘修正因子（3）画修正曲线；实际画图时，通常要采用最小二乘法将各数据点拟合成最佳曲线或直线。（4）制定修正值表5，获得修正值或修正因子的注意事项：(1)修正值或修正因子的获得，最常用的方法是将测得值与计量标准的标准值比较得到，也就是通过校准得到。修正曲线往往还需要采用实验方法获得。(2)修正值和修正因子都是有不确定度的。在获得修正值或修正因子时，需要评定这些值的不确定度。(3)使用已修正测得值时，该测得值的不确定度中应该考虑由于修正不完善引入的不确定度分量。6，随机误差是指“在重复测量中按不可预见的方式变化的测量误差的分量”。它是测得值与对同一被测量进行无穷多次重复测量得到的平均值之差。由于实际工作中不可能测量无穷多次，因此不能得到随机误差的值。随机误差的大小程度反映了测得值的分散性，即测量的重复性。 重复性是用实验标准偏差表征的。用有限次测量的数据得到的标准偏差的估计值称为实验标准偏差，用符号s表示。实验标准偏差是表征测量值分散性的量。多次测量的算术平均值的实验标准偏差是单次测得值实验标准偏差的1/n倍(n为测量次数)。因此可以说，当重复性较差时可以增加测量次数取算术平均值作为测量结果，来减小测量的随机误差。7，几种常用的实验标准偏差的估计方法：在相同条件下，对同一被测量X作n次重复测量，每次测得值为xi，测量次数为n，则实验标准偏差可按以下几种方法估计:（1） 贝塞尔公式法 适合于测量次数较多的情况从有限次独立重复测量的一系列测量值代入式（36）得到估计的标准偏差（用样本的标准偏差s来衡量分析数据的分散程度）。 （36）计算步骤如下：1)计算算术平均值2)计算10个残差3)计算残差平方和4)计算实验标准偏差（2）极差法一般在测量次数较小时采用该法。从有限次独立重复测量的一系列测量值中找出最大值xmax最小值xmin，得到极差r=xmaxxmin，根据测量次数n查表3-3得到c值，代入式(3-8)得到估计的标准偏差。s(x)=( xmaxxmin)/c (3-8)（3）较差法适用于频率稳定度测量或天文观测等领域。从有限次独立重复测量的一列测量值中，将每次测量值与后一次测量值比较得到差值，代入下值得到估计的标准偏差：8，各种实验标准偏差估计方法的比较贝塞尔公式法是一种基本的方法，但n很小时其估计的不确定度较大，例如n=9时，由这种方法获得的标准偏差估计值的标准不确定度为25%，而n=3时标准偏差估计值的标准不确定度达50%，因此它适合于测量次数较多的情况。 极差法和最大残差法使用起来比较简便，但当数据的概率分布偏离正态分布较大时，应当以贝塞尔公式法的结果为准。在测量次数较少时常采用极差法。较差法更适用于随机过程的方差分析，如适用于频率稳定度测量或天文观测等领域。9，什么是异常值异常值又称离群值，指在对一个被测量重复观测所获的若干观测结果中，出现了与其他值偏离较远且不符合统计规律的个别值，他们可能属于来自不同的总体，或属于意外的、偶然的测量错误。也称为存在着“粗大误差”。所以必须正确地判别和剔除异常值。在测量过程中，记错、读错、仪器突然跳动、突然震动等异常情况引起的已知原因的异常值，应该随时发现，随时剔除，这就是物理判别法。有时，仅仅是怀疑某个值，对于不能确定哪个是异常值时，可采用统计判别法进行判别。10,判别异常值常用的统计方法：（1）拉依达准则：Xd-X3s（2）格拉布斯准则：Xd-x/sG（a,n）（3）狄克逊准则：（考前加强，出的可能性不大）11，三种异常值判别准则的比较：(1)当50的情况下，3准则较简便；3n50的情况下，格拉布斯准则效果较好，适用于单个异常值；有多于一个异常值时狄克逊准则较好。(2)实际工作中，有较高要求的情况下，可选用多种准则同时进行，若结论相同，可以放心。当结论出现矛盾，则应慎重，此时通常需选a=0.01。当出现既可能是异常值，又可能不是异常值的情况时，一般以不是异常值处理较好。12，最大允许误差可以用绝对误差，相对误差，引用误差或它们的组合形式表示。绝对误差引用误差特定值（满刻度值）绝对误差相对误差示值13，计量器具的示值误差是指计量器具(即测量仪器)的示值与相应测量标准提供的量值之差。在计量检定时，用高一级计量标准所提供的量值作为约定值，称为标准值；被检仪器的指示值或标称值统称为示值。则示值误差可以用下式表示：示值误差=示值一标准值根据被检仪器的情况不同，示值误差的评定方法有比较法、分部法和组合法几种。14，计量器具（测量仪器）的合格评定又称符合性评定，就是评定仪器的示值误差是否在最大允许误差范围内，也就是测量仪器是否符合其技术指标的要求，凡符合要求的判为合格。评定的方法就是将被检计量器具与相应的计量标准进行技术比较，在检定的量值点上得到被检计量器具的示值误差，再将示值误差与被检仪器的最大允许误差相比较确定被检仪器是否合格。15，测量仪器示值误差符合性评定的基本要求按照JJFl094一2002测量仪器特性评定的规定，对测量仪器特性进行符合性评定时，若评定示值误差的不确定度满足下面要求：评定示值误差的测量不确定度(U95或k=2时的U)与被评定测量仪器的最大允许误差的绝对值(MPEV)之比小于或等于1：3，即满足U951/3MPEV时，示值误差评定的测量不确定度对符合性评定的影响可忽略不计(也就是合格评定误判概率很小)，此时合格判据为判为合格不合格判据为判为不合格(3-28)式中：被检仪器示值误差的绝对值； MPEV被检仪器示值的最大允许误差的绝对值。对于型式评价和仲裁鉴定，必要时U95与MPEV之比也可取小于或等于1：5。16，考虑示值误差的测量不确定度后的符合性评定依据计量检定规程以外的技术规范对测量仪器示值误差进行评定，并且需要对示值误差是否符合最大允许误差做出符合性判定时，必须对得到的示值误差进行测量不确定度评定，当示值误差的测量不确定度(U95 或是k=2时的U)与被评定测量仪器的最大允许误差的绝对值(MPEV)之比不满足小于或等于1：3的要求时，必须要考虑示值误差的测量不确定度对符合性评定的影响。(1)合格判据当被评定的测量仪器的示值误差的绝对值小于或等于其最大允许误差的绝对值MPEV与示值误差的扩展不确定度U95之差时可判为合格，即丨丨MPEV-U95 判为合格 (2)不合格判据当被评定的测量仪器的示值误差的绝对值大于或等于其最大允许误差的绝对值MPEV与示值误差的扩展不确定度u95之和时可判不合格，即 丨丨MPEV+U95 判为不合格 (3)待定区当被评定的测量仪器的示值误差既不符合合格判据又不符合不合格判据时，为处于待定区。这时不能下合格或不合格的结论，即 MPEV-U95 丨丨MPEV+U95 判为待定区当测量仪器示值误差的评定处于不能做出符合性判定时，可以通过采用准确度更高的计量标准、改善环境条件、增加测量次数和改善测量方法等措施，以降低示值误差评定的测量不确定度U95后再进行合格评定。对于只具有不对称或单侧允许误差限的被评定测量仪器，仍可按照上述原则进行符合性评定。17，计量器具其他一些计量特性的评定：（一）准确度等级测量仪器的准确度等级应根据检定规程的规定进行评定。有以下几种情况：（1）按最大允许误差评定准确度等级（2）按示值的标准值的测量不确定度评定准确度等级（3）测量仪器多个测量范围成多个参数时准确度等级的评定当被评定的测量仪器包含两个或两个以上的测量范围，并对应不同的准确度等级时，应分别评定各个测量范围的准确度等级。对多参数的测量仪器，应分别评定各测量参数的准确度等级。(二)分辨力对测量仪器分辨力的评定，可以通过测量仪器的显示装置或读数装置能有效辨别的最小示值来确定。（1）带数字显示装置的测量仪器的分辨力为：最低位数字显示变化一个步进量时的示值差。（2）用标尺读数装置(包括带有光学机构的读数装置)的测量仪器的分辨力为：标尺上任意两个相邻标记之间最小分度值的一半。 (三)灵敏度对被评定测量一起，在规定的某激励值上通过一个小的激励变化x，得到相应的响应变化y，则比值s=y/x，即为该激励值时的灵敏度。对线性测量仪器来说，灵敏度是一个常数。（四）鉴别阈对被评定测量仪器，在一定的激励和输出响应下，通过缓慢单方向地逐步改变激励输入，观察其输出响应。使测量仪器产生恰能察觉有响应变化时的激励变化，就是该测量仪器的鉴别阈。（五)稳定性这是对测量仪器保持其计量特性恒定能力的评定。通常可用以下几种方法来评定：（1）方法一：通过测量标准观测被评定测量仪器计量特性的变化，当变化达到某规定值时，其变化量与所经过的时间间隔之比即为被评定测量仪器的稳定性。（2）方法二：通过测量标准定期观测被评定测量仪器计量特性随时间的变化，用所记录的被评定测量仪器计量特性在观测期间的变化幅度除以其变化所经过的时间间隔，即为被评定测量仪器的稳定性。（3）方法三：频率源的频率稳定性用阿伦方差的正平方根值评定，称频率稳定度。当稳定性不是对时间而言时，应根据检定规程、技术规范或仪器说明书等有关技术文件规定的方法评定。（六）漂移根据技术规范要求，用测量标准在一定时间内观测被评定测量仪器计量特性随时间的慢变化，记录前后的变化值或画出观测值随时间变化的漂移曲线。 当测量仪器计量特性随时间呈线性变化时，漂移曲线为直线，该直线的斜率即漂移率。在测得随时间变化的一系列观测值后，可以用最小二乘法拟合得到最佳直线，并根据直线的斜率计算出漂移率。（七）响应特性在确定条件下，激励与对应响应之间的关系称为测量仪器的响应特性。评定方法是：在确定条件下，对被评定测量仪器的测量范围内不同测量点输入信号，并测量输出信号。当输入信号和输出信号不随时间变化时，记下被评定测量仪器的不同激励输入时的输出值，列成表格、画出曲线或得出输入输出量的函数关系式，即为测量仪器静态测量情况下的响应特性。18，概率分布：（3-31）19，（一）期望：期望又称(概率分布或随机变量的)均值或期望值，有时又称数学期望。常用符号表示，也可用E(X)表示被测量X的期望。期望是在无穷多次测量的条件下定义的，通俗地说：期望值是无穷多次测量的平均值。期望是概率分布曲线与横坐标轴所构成面积的重心所在的横坐标，所以期望是决定概率分布曲线位置的量。对于单峰、对称的概率分布来说，期望值在分布曲线峰顶对应的横坐标处。因为实际上不可能进行无穷多次测量，因此测量中期望值是可望而不可得的。（二）方差：（随机变量或概率分布的）方差用符号2 表示（3-34）测量值与期望值之差是随机误差，用表示，i=xi，方差就是随机误差平方的期望值。方差说明了随机误差的大小和测量值的分散程度。但由于方差是平方，使用不方便、不直观，因此引出了标准偏差这个术语。21，标准偏差（概率分布或随机变量的）标准偏差是方差的正平方根值，用符号表示，又可称标准差。 （3-38） 标准偏差是表明测量值分散性的参数，小表明测量值比较集中，大表明测量值比较分散。用期望与标准偏差表征概率分布期望和方差是表征概率分布的两个特征参数。由于方差不便使用，通常用期望和标准偏差来表征一个概率分布。影响概率分布曲线的位置； 对于单峰、对称的概率分布来说，期望值在分布曲线峰顶对应的横坐标处。影响概率分布曲线的形状，表明测量值的分散性。 （小表明测量值比较集中，大表明测量值比较分散。）期望与标准偏差都是以无穷多次测量的理想情况定义的，无法由测量得到和2，因此都是概念性的术语。22，实验标准偏差：用有限次测量的数据得到的标准偏差的估计值称为实验标准偏差，用符号s表示。实验标准偏差s是有限次测量时标准偏差的估计值。最常用的估计方法是贝塞尔公式法，即在相同条件下，对被测量x作n次重复测量，每次测得值为xi，测量次数为n，则实验标准偏差按式(340)计算 （3-40）式中：v=n1自由度；在给出标准偏差的估计值时，自由度越大，表明估计值的可信度越高。(n1)越大，1/n1值越小，则其s(x)值也越小23，正态分布曲线：正态分布图，具有如下特征：单峰：概率分布曲线在均值处具有一个极大值；对称分布：正态分布以x= 为其对称轴，分布曲线在均值的两侧是对称的；当x 时，概率分布曲线以x轴为渐近线；概率分布曲线在离均值等距离(即x=)处两边各有一个拐点；分布曲线与x轴所围面积为1，即各样本值出现概率的总和为1；为位置参数，为形状参数。由于，能完全表达正态分布的形态，所以常用简略符号xn(,)表示正态分布。当=0,=1时表示为xn (0，1)，称为标准正态分布。24，几种非正态分布的标准偏差与置信因子的关系25，t分布又称学生分布，是两个独立随机变量之商的分布。如果随机变量x是期望值为的正态分布，设其算术平均值与其期望之差与算术平均值的实验标准偏差之比为新的随机变量t。t分布是期望值为零的概率分布。26，相关性是描述两个或多个随机变量间的相互依赖关系的特性。如果两个随机变量X和Y，其中一个量的变化会导致另一个量的变化，就说这两个量是相关的。27，协方差是两个随机变量相互依赖性的度量。两个随机变量x和y，各自的误差之积的期望称为x和y的协方差，用符号cov(x，y) 或v(x，y) 表示定义的协方差是在无限多次测量条件下的理想概念，根据有限次测量数据得到协方差的估计值。协方差的估计值用s(x，y)表示 （3-49）式中：28，相关系数也是两个随机变量之间相互依赖性的度量，它等于两个随机变量间的协方差除以它们各自的方差乘积的正平方根，用p(x，y)表示。定义的相关系数也是在无限多次测量条件下的理想概念。根据有限次测量数据，得到相关系数估计值。相关系数的估计值用r(x，y)表示，用式(351)求得 (3-51)式中，s(x)和s(y)分别为x和y的实验标准偏差。29，相关系数与协方差的关系(1)相关系数是一个纯数字，相关系数的值在1到+1之间，它表示两个量的相关程度，通常比协方差更直观。相关系数为零，表示两个量不相关；相关系数为+1，表明x与y正全相关(正强相关)，即随着x增大y也增大；相关系数为1，表明x与y负全相关(负强相关)，即随着x增大y变小。(2)协方差估计值s(x,y)与相关系数估计值r(x，y)的关系（3-52）（3-53）式中，s(x)和s(y)分别为x和y的实验标准偏差。30，GUM法评定测量不确定度的步骤：(1)明确被测量，必要时给出被测量的定义及测量过程的简单描述；(2)分析不确定度来源并写出测量模型；(3)评定测量模型中各输入量的标准不确定度u(xi)，计算灵敏系数ci从而给出与各输入量对应的输出量y的不确定度分量ui(yi)=丨ci丨u(xi)；(4)计算合成标准不确定度uc(y)，计算时应考虑各输入量之间是否存在值得考虑的相关性，对于非线性数学模型则应考虑是否存在值得考虑的高阶项；(5)列出不确定度分量的汇总表，表中应给出每一个不确定度分量的详细信息；(6)对被测量的概率分布进行估计，并根据概率分布和所要求的置信水平p确定包含因子kp；(7)在无法确定被测量y的概率分布时，或该测量领域有规定时，也可以直接取包含因子k=2；(8)由合成标准不确定度uc(y)和包含因子k或kp的乘积，分别得到扩展不确定度U或Up；(9)给出测量不确定度的最后陈述，其中应给出关于扩展不确定度的足够信息。利用这些信息，至少应该使用户能从所给的扩展不确定度进而评定其测量结果的合成标准不确定度。简化步骤：分析不确定度来源和建立测量模型评定标准不确定度分量ui计算合成标准不确定度uc确定扩展不确定度U或Up报告测量结果31，通常测量不确定度来源从以下方面考虑：（1）被测量的定义不完整 （2）复现被测量的测量方法不理想（3）取样的代表性不够，即被测样本不能代表所定义的被测量（4）对测量过程受环境影响的认识不恰如其分或对环境的测量与控制不完善（5）对模拟式仪器的读数存在人为偏移（6）测量仪器的计量性能的局限性（7）测量标准或标准物质提供的量值的不准确（8）引用的数据或其他参量值的不准确（9）测量方法和测量程序的近似和假设（10）在相同条件下被测量在重复观测中的变化在实际工作中，通常多次测量可以得到一系列不完全相同的数据，测得值具有一定的分散性，这是由诸多的随机因素影响造成的，这种随机变化常用测量重复性表征，也就是重复性是测量结果的不确定度来源之一。除此之外，如果已经对测量结果进行了修正，给出的是已修正测量结果，则还要考虑修正值不完善引入的测量不确定度。通常，在分析测量结果的不确定度来源时，可以从测量仪器、测量环境、测量方法、被测量等方面全面考虑，应尽可能做到不遗漏、不重复。特别应考虑对测量结果影响较大的不确定度来源。32，标准不确定度分类的A类评定方法，基本的标准不确定度A类评定流程图33，测量过程的a类标准不确定度评定对一个测量过程，如果采用核查标准核查的方法使测量过程处于统计控制状态，则该测量过程的实验标准偏差为合并样本标准偏差sp。若每次核查时测量次数n相同(即自由度相同)，每次核查时的样本标准偏差为si，共核查m次，则合并样本标准偏差sp为 (3-57) 此时sp的自由度v=(n1)m。则在此测量过程中，测量结果的a类标准不确定度为n为获得测量结果时的测量次数; 34，规范化常规测量时a类标准不确定度评定规范化常规测量是指已经明确规定了测量程序和测量条件下的测量，如日常按检定规程进行的大量同类被测件的检定，当可以认为对每个同类被测量的实验标准偏差相同时，通过累积的测量数据，计算出自由度充分大的合并样本标准偏差，以用于评定每次测量结果的a类标准不确定度。在规范化的常规测量中，测量m个同类被测量，得到m组数据，每组测量n次，第j组的平均值为xj，则合并样本标准偏差sp(3-58)对每个量的测量结果的a类标准不确定度(3-59)自由度为v=m(n1)。若对每个被测件的测量次数nj不同，即各组的自由度vj不等，各组的实验标准偏差为sj，则(3-60)式中，vj= nj1。对于常规的计量检定或校准，当无法满足n10时，为使得到的实验标准差更可靠，如果有可能，建议采用合并样本标准差sp作为由重复性引入的标准不确定度分量。35，由最小二乘法拟合的最佳直线上得到的预期值的a类标准不确定度由最小二乘法拟合的最佳直线的直线方程：y=a+bx 预期值yi的实验标准偏差为(3-61)式中，r(a，b)为a和b的相关系数；sa,sb和sx分别为a，b和x的实验标准偏差。 预期值yi的a类标准不确定度为ua(yi)=sp(yi)。36，标准不确定度的B类评定是借助于一切可利用的有关信息进行科学判断，得到估计的标准偏差。根据有关信息或经验，判断被测量的可能值区间(a，a)；假设测得值在区间内的概率分布；根据概率分布和要求的包含概论p估计包含因子k，则B类评定的标准不确定度u为: u=a/k (3-62)式中a为被测量可能值区间的半宽度；k为包含因子。标准不确定度的B类评定流程见图315。37，区间半宽度a值是根据有关信息确定的，一般情况下，可利用的信息包括：以前的观测数据；对有关技术资料和测量仪器特性的了解和经验；生产部门提供的技术说明文件(制造厂的技术说明书)；校准证书、检定证书、测试报告或其他提供的数据、准确度等级等；手册或某些资料给出的参考数据及其不确定度；规定测量方法的校准规范、检定规程或测试标准中给出的数据；其他有用信息。例如： 制造厂的说明书给出测量仪器的最大允许误差为，并经计量部门检定合格，则可能值的区间为(，)，区间的半宽度为:a =校准证书提供的校准值，给出了其扩展不确定度为U，则区间的半宽度为:a=U由手册查出所用的参考数据，同时给出该数据的误差不超过，则区间的半宽度为:a =由有关资料查得某参数x的最小可能值为a和最大可能值为a+，区间半宽度可以用下式确定 a=1/2(a+-a) 数字显示装置的分辨力为1个数字所代表的量值x，则取：当测量仪器或实物量具给出准确度等级时，可以按检定规程或有关规范所规定的该等别或级别的最大允许误差或测量不确定度进行评定。根据过去的经验判断某值不会超出的范围来估计区间半宽度a值。必要时，用实验方法来估计可能的区间。38，B类评定时如何建设可能值的概率分布和确定k值。概率分布的假设a.若被测量受许多相互独立的随机影响量的影响，这些影响量变化的概率分布各不相同，但各个变量的影响均很小时，被测量的随机变化服从正态分布。b.如果有证书或报告给出的扩展不确定度是U90、U95或U99，除非另有说明，可以按正态分布来评定B类标准不确定度。c.一些情况下，只能估计被测量的可能值区间的上限和下限，测量值落在区间外的概率几乎为零。若测量值落在该区间内的任意值的可能性相同，则可假设为均匀分布。d.若落在该区间中心的可能性最大，则假设为三角分布。e.若落在该区间中心的可能性最小，而落在该区间上限和下限处的可能性最大，则假设为反正弦分布。f.对被测量的可能值落在区间内的情况缺乏了解时，一般假设为均匀分布。实际工作中，可依据同行专家的研究和经验来假设概率分布。例如：无线电计量中失配引起的不确定度为反正弦分布；几何量计量中度盘偏心引起的测角不确定度为反正弦分布；测量仪器最大允许误差、分辨力、数据修约、度盘或齿轮回差、平衡指示器调零不准等导致的不确定度按均匀分布考虑；两个独立量值之和或之差的概率分布为三角分布；按级使用量块时，中心长度偏差导致的概率分布为两点分布。k值的确定a.已知扩展不确定度是合成标准不确定度的若干倍时，则该倍数(包含因子)就是k值。b.假设概率分布后，根据要求的置信概率查表得到置信因子k值。常用的概率分布与置信因子的关系见表312和表313。表311正态分布的k值与概率p的关系P 0.50 0.90 0.95 0.99 0.9973 K 0.676 1.64 1.96 2.58 3 表312几种非正态分布时k的值 注：为梯形上底半宽度与下底半宽度之比。39，测量不确定度的传播律当被测量的测量结果y的数学模型为线性函数y=(x1,x2,xn)时，测量结果y的合成标准不确定度uc(y)按式(364)计算，此式称为“不确定度传播律”。（3-64）式中：y输出量的估计值，即被测量的测量结果；xi，xj输入量的估计值，ij；N输入量的数量； 偏导数，又称灵敏系数，可表示为ci，cj；u(xi），u(xj）输入量xi和xj的标准不确定度；r（xi，xj）输入量xi与xj的相关系数估计值；r（xi，xj）u(xi）u(xj）=u(xi，xj)输入量xi与xj的协方差估计值。注：灵敏系数是一个有符号和单位的量值，它表明了输入量xi的不确定度影响被测量估计值u(xi）的不确定度的灵敏程度。40，输入量不相关时合成标准不确定度的评定：(1)当各输入量间不相关，即r（xi，xj）=0时，公式(364)的简化形式为 （3-65） 若设ui(y)是测量结果y的标准不确定度分量 （3-66）则uc(y)由被测量y的标准不确定度分量合成时，可用式(367)评定 （3-67）对于直接测量，可简单地写成： （3-68）（2）当被测量当被测量的函数形式为：Y=A1X 1+A 2X 2+ A nX n，且各输入量间不相关时，合成标准不确定度uc(y)=（3）当被测量的函数形式为y=a(x1p1 x2p2xnpn)且各输入量间不相关时，合成标准不确定度uc(y)为（3-70）如果式(370)中pi=1，则被测量的测量结果的相对合成标准不确定度是各输入量的相对合成标准不确定度的方和根值（3-71）41，输入量间相关系数均为+1时合成标准不确定度的评定当所有输入量都相关，且相关系数为1时，合成标准不确定度uc(y)为（3-72）当所有输入量都相关，且相关系数为+1，灵敏系数为1时，合成标准不确定度uc(y)为（3-73）由此可见，当输入量都正强相关，且灵敏系数均为1时，合成标准不确定度是各输入量标准确定度分量的代数和。也就是说，强相关时不再是方和根法合成。,42，输入量间相关时的处理方法：(1)在以下情况时可取协方差为零或忽略不计在不同实验室用不同测量设备、在不同时间测得的量值。xi与xj中任意一个量可作为常数处理。独立测量的不同量的测量结果。(2)用同时观测两个量的方法确定协方差估计值对两个输入量xi及xj进行同时重复观测，设xik，xjk分别是输入量xi及xj的观测值。k为测量次数(k=1，2，n)。分别为第i个输入量和第j个输入量的k次测量的算术平均值；xi与xj的协方差估计值可由式(374)计算（3-74） （3）用同时观测两个量的方法确定相关系数的估计值；（3-75a）（4）用经验公式估计相关系数如果两个输入量xi，xj相关，xi变化i会使xj相应变化变化j，则xi和xj的相关系数可用经验公式(376)估计（3-75b）式中，u(xi）和u(xj）分别xi和xj的标准不确定度。（5）当两个量均因与同一个量有关而相关时，协方差的估计方法设xif(q),xj=g(q) ，q是为使xi与xj相关的变量q的估计值，f,g分别表示两个量与q的测量函数。则xi与xj的协方差按式（376a）计算（376a）如果多个变量使xi与xj相关，当时，则协方差按式（376b）计算（376b） (6)采用适当方法去除相关性将引起相关的量作为独立的附加输入量进入数学模型采取有效措施变换输入量43，合成标准不确定度的有效自由度的计算：合成标准不确定度uc(y)的自由度称为有效自由度，用符号veff表示。在以下情况时需要计算有效自由度veff （1）当需要评定Up时为求得kp而必须计算uc(y)的自由度veff；（2）当用户为了解所评定的不确定度的可靠程度而提出要求时。有效自由度的计算公式：当各分量间相互独立且输出量解决正态分布或t分布时，合成标准不确定度的有效自由度通常可按式(377)计算得到（3-77）当测量模型为 时，有效自由度可用相对标准不确定度的形式计算，式378（3-78） 实际计算中，得到的有效自由度veff不一定是一个整数。如果不是整数，可以采用将veff数字舍位到最接近的一个较低的整数。例如计算得到veff=12.65，则取veff=12。44，合成标准不确定度计算流程（图）45，扩展不确定度计算流程（图）46，明确规定包含概率时扩展不确定度Up的评定方法当要求扩展不确定度所确定的区间具有接近于规定的包含概率p时，扩展不确定度用符号up表示 Up=kp uc (380) kp是包含概率为p时的包含因子。(1)接近正态分布时kp的确定根据中心极限定理，当不确定度分量很多，且每个分量对不确定度的影响都不大时，其合成分布接近正态分布，此时若以算术平均值作为测量结果y，通常可假设概率分布为t分布，可以取kp值为t值。即kp=tp(veff) (381) 根据合成标准不确定度uc(y)的有效自由度veff和需要的置信水平p，查表得到的t值即置信水平为p的包含因子kp。扩展不确定度Up=kp uc(y)提供了一个具有包含概率(置信水平)为p的区间y士Up。获得kp的计算步骤为：求得测量结果的估计值y及其合成标准不确定度uc(y)。按式(382)计算uc(y)的有效自由度veff（3-82） 式中，ci为灵敏系数，u (xi)为输入量xi的标准不确定度，vi为u (xi)的自由度。当u (xi)为A类标准不确定度时是由n次观测得到的s(x)或s(x)，其自由度为vi=n1；当u (xi)为B类标准不确定度时，用式(383)估计自由度vi（3-83） 式中，u(xi)/ u(xi)是标准不确定度u(xi)的相对不确定度，是所评定的u(xi)的不可靠程度。在实际工作中，B类标准不确定度通常根据区间a,a的信息来评定。若可假设被测量值落在区间外的概率极小，则可认为u(xi)的评定是很可靠的，即u(xi)/ u(xi)趋于0，此时，可假设u(xi)的自由 度vi。根据要求的置信水平p和计算得到的有效自由度veff，查t分布的t值表得到tp(veff)值。取kp=tp(veff)，并计算Up=kp uc。 47，表示不确定度的符号常用的符号如下：(1)标准不确定度的符号： u (2)标准不确定度分量的符号：ui (3)相对标准不确定度的符号：ur或urel (4)合成标准不确定度的符号：uc (5)扩展不确定度的符号：U(6)相对扩展不确定度的符号：Ur或Urel (7)明确规定包含概率为p时的扩展不确定度的符号：Up (8)包含因子的符号：k (9)明确规定包含概率为户时的包含因子的符号：kp (10)置信概率(置信水平)的符号：p (11)自由度的符号：v (12)合成标准不确定度的有效自由度的符号：veff 48，蒙特卡洛法简称MCM，是用概率分布传播的方法来评定测量不确定度。蒙特卡洛法评定测量不确定度的方法：（1）建立测量模型；（2）对每个输入量设定概率密度函数（PDF）；（3）选定蒙特卡洛试验数；（4）输入量概率分布的抽样及模型值计算；（5）输出量分布函数的离散表示；（6）输出量的估计值及其标准不确定度和包含区间；（7）报告评定结果；49，GUM法与蒙特卡洛法（1）GUM法通过不确定传播率计算合成标准不确定度，从而得到被测量估计值的测量不确定度的方法成为GUM法，即不确定度指南的方法。GUM法的使用详见JJF 1059.12012测量不确定度表示与评定。GUM法主要适用条件：1.可以假设输入量的概率分布呈对称分布；2.可以假设输入量的概率分布近似为正态分布或t分布；3.测量模型为线性模型、可以转换为线性的模型或可用线性模型近似的模型。（2）蒙特卡洛法适用GUM法的条件MCM也都适用，除此之外，MCM对以下情况尤为有利：1，测量模型明显呈非线性。2，输入量的概率分布明显非对称。3，输出量的概率分布较大程度地偏离正态分布或t分布，尤其是明显非对称分布。50，在报告测量结果时，不确定度以U或uc(y)都只能是1-2位有效数字。也就是说，报告的测量不确定度最多为2位有效数字。建议：当第一位有效数字是1或2时，应保留2位有效数字。除此之外，对测量要求不高的情况可以保留1位有效数字。测量要求较高时，一般取二位有效数字。“近似值修约误差限的绝对值不超过末位的单位量值的一半”。51，通用的数字修约规则: 通用的数字修约规则通用的修约规则为：以保留数字的末位为单位，末位后的数字大于0.5者，末位进一；末位后的数字小于0.5者，末位不变(即舍弃末位后的数字)；末位后的数字恰为0.5者，使末位为偶数(即当末位为奇数时，末位进一；当末位为偶数时，末位不变。原则：“四舍六入，逢五取偶：52，测量结果（即被测量的最佳估计值）的末位一般应修约到与其测量不确定度的末位对齐。即同样单位情况下，如果有小数点，则小数点后的位数一样；如果是整数，则末位一致。53，完整的测量结果应包含：（1）被测量的最佳估计值（2）测量不确定度54，用合成标准不确定度报告测量结果：(1)基础计量学研究；(2)基本物理常量测量；(3)复现国际单位制单位的国际比对。合成标准不确定度可以表示测量结果的分散性大小，便于测量结果间的比较。55，带有扩展不确定度的测量结果报告的表示：(1)要给出被测量Y的估计值y及其扩展不确定度U(y)或Up(y)。对于U要给出包含因子k值；对于Up要在下标中给出置信水平p值。例如：p=0.95时的扩展不确定度可以表示为U95。必要时还要说明有效自由度veff，即给出获得扩展不确定度的合成标准不确定度的有效自由度，以便由p和veff查表得到t值，即kp值；另一些情况下可以直接说明kp值。需要时可给出相对扩展不确定度Urel。(2)测量结果及其扩展不确定度的报告形式扩展不确定度的报告有U或Up两种。 Up=kuc(y)的报告例如：标准砝码的质量为ms，测量结果为100. 02147g，合成标准不确定度uc (ms)为0.35mg，取包含因子k=2，Up=kuc(y)=20.35mg=0.70mg。一般，U可用以下两种形式之一报告：a. ms =l00.02147g；U=0.70mg，k=2。b. ms =(100.021470.00070)g，k=2。Up=kpuc(y)的报告例如：标准砝码的质量为ms，测量结果为100. 02147g，合成标准不确定度uc (ms)为b.35mg，veff=9，按p=95%，查t分布值表得kp=t95(9)=2.26，U95=2.260.35mg=0.79mg。Up可用以下四种形式之一报告：a.ms=100. 02147；u95= 0.79mg，veff=9. b. ms =(100. 021470.00079)g，veff=9，括号内第二项为u95的值。c. ms =100. 02147(79)g，veff=9，括号内为U95的值，其末位与前面结果末位数对齐。d. ms =100. 02147(0.00079)g，veff=9，括号内为U95。的值，与前面结果有相同的计量单位。另外，给出扩展不确定度Up时，为了明确起见，推荐以下说明方式. 例如： ms =(100. 021470.00079)g 式中，正负号后的值为扩展不确定度U95=k95uc，而合成标准不确定度uc (ms)=0.35mg，自由度veff=9，包含因子k95=t95(9)=2.26，从而具有约为95%概率的包含区间。56，相对扩展不确定度的表示：相对扩展不确定度：Urel=u/y相对不确定度的报告形式举例：a.ms=100.02147g；Urel =0.70106，k=2。b. ms=l00.02147g；U95rel=0.79106。c.ms=100. 02147(10.79 106)g;p=95%，veff=9，括号内第二项为相对扩展不确定度U95rel。57,其他注意事项：测量不确定表述和评定时应采用规定的符号。不确定度单独表示时，不需要加“”号。例如：uc0.1mm，或U0.2mm，不应该写成uc0.1mm，或U0.2mm。在给出合成标准不确定度时，不必说明包含因子k或包含概率p。如写成uc0.1mm（k=1）是不对的，括号内关于k的说明是不需要的，因为合成标准不确定度uc是标准偏差，它是一个表明分散性的参数。扩展不确定度U取k2或k3时，不必说明p。当用蒙特卡洛法评定测量不确定度时，测量结果表示为最佳估计值y、标准不确定度u和设定包含概率的包含区间ylow,yhigh。报告测量时不要再用uc 或U表示，也不要说明k的值。
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